四川省绵阳市2023届高三数学仿真文试题含解析

这是一份四川省绵阳市2023届高三数学仿真文试题含解析，共22页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
第I卷（选择题，共60分）
一､单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求解不等式得出，进而即可根据交集的运算得出答案.
【详解】解可得，或，
所以或.
又，
所以.
故选：D.
2. 已知（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】由已知等式求出复数，得到复数，由复数的几何意义得在复平面内对应的点所在象限.
【详解】由，得，则，在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B
3. 若向量，且，则（）
A. 1B. 5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合，列出方程求得，即可求解.
【详解】由向量，可得，
因为，可得，解得，
所以，可得.
故选：D.
4. 不等式“”是“”成立的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解对数不等式和指数不等式，求出解集，进而判断出答案.
详解】，解得，，解得，
因为，但，
故“”是“”成立的充分不必要条件.
故选：A
5. 某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取名同学参加课外知识测试，测试共道题，每答对一题得分，答错得分.已知每名同学至少能答对道题，得分不少于分记为及格，不少于分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 该次课外知识测试及格率为
B. 该次课外知识测试得满分的同学有名
C. 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D. 若该校共有名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有名
【答案】C
【解析】
【分析】由百分比图知，成绩为100分、80分、60分、40分的百分比分别为，结合各项的描述即可判断其正误.
【详解】由图知，及格率为，故A错误.
该测试满分同学的百分比为，即有名，B错误.
由图知，中位数为分，平均数为分，故C正确.
由题意，名学生成绩能得优秀的同学有，故D错误.
故选：C
6. 在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（）
A. B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由正弦定理求得，及，结合两角和的正弦公式求得，根据面积公式，即可求解.
【详解】在中，因为，可得，
由正弦定理，可得，
又因为，可得，所以，
所以，
则.
故选：A.
7. 若曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，则实数a的值为（）
A. -3B. C. 1D. -3或1
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可设直线与直线平行，且与曲线的图象相切于点，求导从而得出直线的斜率，进而求得直线的方程，然后结合题意可分析出直线与直线之间的距离为，求得的值，再分析验证是否满足题意即可.
【详解】依题意，设直线与直线平行，且与曲线的图象相切于点，
对于，定义域为，则，
所以有，直线的斜率，
又因为直线与直线平行，则有，解得：，
则，故点的坐标为，所以直线的方程为：，
若曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，
必有直线到直线的距离为，则有，解得：或，
当时，直线即为与曲线没有交点，
曲线上只有个点到直线的距离为，不符合题意；
当时，直线即为与曲线有个交点，
曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，
一个点为点，剩余的两个点则在直线的右下方，符合题意；
故.
故选：A.
8. 记函数的最小正周期为，若，为的一个零点，则的最小值为（）
A. B. 3C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合为的一个零点，求得，即可求解.
【详解】由函数的最小正周期为，
因为，可得，
又因为，可得，所以，
因为为函数的一个零点，所以，
解得，即，
又因为，所以的最小值为.
故选：B.
9. 已知抛物线的焦点为，准线为，以为顶点的射线依次与抛物线以及轴交于，两点.若，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点分别作轴和准线的垂线，垂足分别为为，得到，结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】由题意，抛物线，可得且，
过点分别作轴和准线的垂线，垂足分别为为，如图所示，
由抛物线的定义，可得，
则，则.
故选:A.
10. 已知定义在R上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平移法则确定函数关于直线对称，且在上单调递增，结合函数对称性和单调性求解不等式即可.
【详解】因为函数是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，
又在上单调递增，
由，得，即，
平方并化简，得，解得，即x的取值范围为.
故选：C
11. 掷铁饼是一项体育竞技活动．如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量，此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：，）（）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】由扇形弧长公式可求得圆心角，根据可求得结果.
【详解】根据题意作图如下，
由题意知：的长为，为的中点，，
，即所求距离约为米.
故选：A.
12. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱上的动点（点不与点重合）．若，则下列说法正确的个数是（）
①存在点，使得点到平面的距离为；
②直线与所成角为；
③平面；
④用平行于平面的平面去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知得出到平面的距离的范围，即可得出①；平移即可得出②正确；根据①可知平面平面，进而说明与平面相交即可判断③；根据已知作出截面，即可求出周长.
【详解】对于①，连接，如图1所示：
因为，所以易知，
且平面平面，
又已知三棱锥各条棱长均为，所以三棱锥为正四面体，
所以到平面的距离为：，
因为平面，所以，又，且，
所以平面，又平面，所以，
同理可得，且，所以平面，
又因为，所以到平面的距离，且，故①正确；
对于②，易知，直线与所成角即等于与所成角或其余角.
因为均为正方体的面对角线，所以为等边三角形，
所以，，即直线与所成角为，故②正确；
对于③，连接，由①可知平面平面，
又因为平面平面，所以不平行于平面，所以平面不成立，故③错误；
对于④，
如图2，在上取点，过点作交于，过作交于，
以此类推，依次可得点，此时截面为六边形，根据题意可知：
平面平面，不妨设，
所以，所以，
所以六边形的周长为：，故④正确.
综上所述，正确的为①②④.
故选：C.
二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 双曲线的离心率为2，则右焦点到其渐近线的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线离心率结合方程求出，得到右焦点的坐标和双曲线渐近线方程，利用公式求点到直线的距离.
【详解】双曲线的离心率为2，由得，则，
右焦点，渐近线方程为，到渐近线的距离为.
故答案为：
14. 连续掷骰子两次得到的点数分别记为a和b，则使直线与圆相交的概率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】列举出符合题意的，由古典概型的概率计算公式可得结果．
【详解】连掷骰子两次试验结果共有36种，要使直线与圆相交，
则，即满足．符合题意的有
，
共21种，
由古典概型的概率计算公式可得所求概率为．
故答案：
15. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图是直角边长分别为2和4的两个全等的直角三角形，则这个几何体的外接球的表面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】作出直观图，将其补形为长方体，长方体体对角线长即为外接球直径，从而求出外接球半径和表面积.
【详解】画出直观图，如下，三棱锥即为所求，
将其补形为长方体，长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
其中，
故几何体的外接球的直径为长方体的体对角线长，即，
其中，故半径为，
故这个几何体的外接球的表面积为.
故答案为：
16. 已知函数，若函数有两个极值点，，且，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】对函数求导，函数有两个极值点，，则，化简得到，利用换元法令，则，构造函数，利用导数求出，结合将参数分离出来，构造函数，即可得出.
【详解】
所以，令，所以
令，则
令，则
所以在上单调递减，所以
所以在上单调递减，
所以
令，则恒成立
所以在上单调递增，即
【点睛】已知函数有零点，求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式;再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离，转化成求函数值城问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解
三､解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（一）必考题：共60分．
17. 设数列的前项和为，．
（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若和分別是等差数列的第二项和第六项，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知求出.当时，由的关系推得，即可得出证明.进而根据等比数列的通项公式，即可得出答案；
（2）根据（1）的结果结合已知条件，可得出首项、公差，进而得出的通项公式.裂项求得，相加即可得出答案.
【小问1详解】
当时，，解得.
当时，
有，
，
两式作差可得，，
整理可得，.
又，
所以，数列为首项为2，公比为2等比数列，
所以，，
所以，.
【小问2详解】
由（1）可知，，，
所以，，.
设公差为，
则，
解得，，
所以，.
所以，，
所以，数列的前项和
.
18. 为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，
发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型；②作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系.
其中，，，
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
（1）根据表中数据，模型①、②的相关指数计算分别为，，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.
（2）根据（1）中的判断，在拟合效果更好的模型下求y关于x的回归方程；并估计温度为30℃时的产卵数.（，，，与估计值均精确到小数点后两位）
（参考数据：，，）
【答案】（1）模型②的拟合效果更好；（2），当时，估计产卵数为.
【解析】
【分析】（1）根据相关指数的大小，即可比较模型拟合效果的优劣，相关指数越大，拟合效果越好；
（2）由（1）可知选模型②，两边取对数得，再令，则，所以先利用最小二乘法求的回归系数，再代换回去即可.
【详解】解：（1）因为，所以模型②的拟合效果更好.
（2）由（1）知模型②的拟合效果更好，
对于模型②：设，则，
其中，
.
所以y关于x的回归方程为，
当时，估计产卵数为.
【点睛】此题考查了线性回归方程的应用问题，考查了相关指数的应用问题，属于中档题.
19. 如图所示，在直角三角形中，，将沿折起到的位置，使平面平面，点满足.
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图中的几何关系，利用面面平行证明线面垂直，再证明线线垂直；
（2）运用等体积法求解.
【小问1详解】
在直角三角形中，因为，所以，
即在四棱锥中，，平面PDB，平面PDB，
所以平面，从而平面，
如图，在上取一点，使得，连接，
因为，所以，所以，
又，所以四边形是矩形，所以，平面MEF，平面MEF，平面MEF，
在中，，所以，平面MEF,平面MEF，平面MEF，
又因为，平面PBD，平面PBD，所以平面平面，
所以平面，故；
【小问2详解】
连接，因为平面平面，交线为，且，所以平面，
所以三棱锥的体积，
所以，
在中，计算可得，由余弦定理得，所以，
，
设点到平面的距离为，则，故；
综上，点M到平面PBE的距离为 .
20. 已知椭圆四个顶点形成的四边形为菱形，它的边长为，面积为，过椭圆左焦点与椭圆C相交于M，N两点（M，N两点不在x轴上），直线l的方程为：，过点M作垂直于直线l交于点E．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点O为坐标原点，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求解即可；
（2）根据题意设直线及交点坐标，联立方程结合韦达定理，先证直线过定点，进而可得面积为，换元，构建新函数，利用导数判断单调性求最大值.
【小问1详解】
由题意可得：，解得，
椭圆C的标准方程为．
【小问2详解】
由（1）可得：，即，
由题意可设直线，则，
联立方程，消去x可得：，
∴，则，
∴直线的斜率，则直线的方程为．
令，则可得，
即直线过定点．
∴面积为，
令，则，
令，则，当时恒成立．
∴在上单调递减，则，即，
∴面积的最大值为．
【点睛】解本题两个关键思路：
①利用韦达定理得出两者之间的关系，并利用该关系证明直线过定点；
②求面积最大值时，因为使用基本不等式时等号成立条件不满足，所以利用导数求其最大值.
21. 已知函数．
（1）若在上为单调递减函数，求实数的取值范围；
（2）设函数，，若恰有1个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）函数单调递减，等价于恒成立，分参即可求出的取值范围
（2）讨论在区间上的单调性，根据零点存在性定理判断零点个数，从而确定的取值范围
【详解】（1）∵在上为单调递减函数，∴对任意恒成立
∴，则，令，．则，
∴在单调减，则的最小值为
∴，即，所以实数a的取值范围是
（2）①，，所以，
当时，，所以在单调递增，
又因为，所以在上无零点．
当时，，使得，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
又因为，，
所以若，即时，在上无零点，
若，即时，在上有一个零点，
当时，，在上单调递减且，所以在上无零点，综上，
【点睛】题目考察三角函数相关的导数问题，第一小问已知单调性求参数是比较基础的题型，第二小问，已知零点个数求参数，需要对参数进行分类讨论，三角函数的分类讨论要结合三角的范围进行，所以要考虑，和的情况进行讨论
（二）选考题：共10分．请考生在第22､23题中任选一题作答．并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂､错涂､漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系xOy中，直线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）设直线交曲线于两点A，B，求的大小.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）代入，即可求解；
（2）联立直线和曲线的极坐标方程，根据极角的定义利用和差的正切公式即可求解.
【小问1详解】
依题意，
把，代入，
得直线的极坐标方程为；
把，代入，
得，即曲线的极坐标方程为.
【小问2详解】
联立和，
得，
即，
，
，
，
所以或，
即A，B两点对应的极角的正切值分别是和3，
于是，所以.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知a，b，c为实数且．
（1）若a，b，c均为正数，当时，求的值；
（2）求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由基本不等式可推得，结合已知以及不等式等号成立的条件，即可列出关系式，进而得处答案；
（2）根据已知转化为求解的最小值，进而根据柯西不等式，即可得出答案.
【小问1详解】
由基本不等式得：，，．
以上三个式子相加得，
所以，
当且仅当时等号成立，此时，，，
所以．
【小问2详解】
，
，
温度x/℃
20
22
24
26
28
30
32
产卵数y/个
6
10
21
24
64
113
322
400
484
576
676
784
900
1024
1.79
2.30
3.04
3.18
4.16
4.73
5.77
26
692
80
3.57
1157.54
0.43
0.32
0.00012