湖南省岳阳市岳阳县2023-2024学年高三下学期开学数学试题

这是一份湖南省岳阳市岳阳县2023-2024学年高三下学期开学数学试题，共9页。试卷主要包含了下列有关命题说法正确的是，设函数f，复数z满足，则|z|＝等内容，欢迎下载使用。
1．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．（M∩P）∩SB．（M∩P）∪SC．（M∩P）∩∁ISD．（M∩P）∪∁IS
2．下列有关命题说法正确的是（ ）
A．“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的必要不充分条件
B．命题“∃x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＜0”
C．三角形ABC的三内角为，则sinA＞sinB是A＞B的充要条件
D．函数f（x）＝x﹣sinx（x∈R）有3个零点
3．如图所示的程序框图，输出S的结果的值为（ ）
A．0B．1C．D．
4．一个盒子里有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每次取后不放回，则若已知第一只是好的，则第二只也是好的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．设函数f（x）＝2cs（x﹣），若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|的最小值为（ ）
A．4B．2C．1D．
6．棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（ ）
A．B．C．D．
7．复数z满足，则|z|＝（ ）
A．2iB．2C．iD．1
8．公比不为1的等比数列{an}中，若a1a5＝aman，则mn不可能为（ ）
A．5B．6C．8D．9
9．在平面直角坐标系xOy中，已知M（﹣1，2），N（1，0），动点P满足||＝||，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．y2＝4xB．x2＝4yC．y2＝﹣4xD．x2＝﹣4y
10．已知△ABC的垂心为H，且AB＝3，AC＝5，M是BC的中点，则＝（ ）
A．5B．6C．7D．8
11．已知正实数a，b，c满足：（）a＝lg2a，（）b＝lg2b，c＝lgc，则（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．c＜a＜b
12．函数f（x）＝（x2﹣ax）ex﹣ax+a2（e为自然对数的底数，a∈R，a为常数）有三个不同零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．（﹣∞，0）C．D．（0，+∞）
二．填空题（共4小题，共20分）
13．已知展开式中各项系数和为3，则的展开式中的常数项为 ．
14．若圆与圆外切，则a+b的最大值为 ．
15．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）+f（x）＝0，，则f（10）等于 ．
16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，垂直于棱AA1的截面分别与面对角线A1D，A1B，C1B，C1D相交于点E，F，G，H，则四棱锥A1﹣EFGH体积的最大值为 ．
三．解答题（共6小题，共70分）
17．已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；（10分）
（2）设向量取最大值时，tanC的值．
18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2（12分）
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
19．已知a∈R，函数（12分）
（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性；
（2）是否存在实数x0∈（0，+∞），使曲线y＝g（x）在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．
20．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acsθ（a＞0），已知过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N．（14分）
（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；
（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
21．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，AA1＝，E是BC的中点，F是A1E上一点，且A1F＝3FE．（10分）
（Ⅰ）证明：AF⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求二面角B﹣A1E﹣B1余弦值的大小．
22．已知椭圆四个顶点中的三个是边长为的等边三角形的顶点．（12分）
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线y＝kx+m与圆相切且交椭圆E于两点M，N，求线段|MN|的最大值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1-5：CCACB 6-10 CDBAD 11-12 BA
二．填空题（共4小题）
13． 14． 15．．
16．故答案为：．
三．解答题（共6小题）
17．
【解答】解：（1）由题意…（1分）
所以…（3分）
∵0＜A＜π，∴…（4分）
∵0＜B＜π，∴…（5分）
（2）∵（3）…（6分）
∴…（7分）
所以当时，取最大值．…（8分）
此时…（9分）
∴…（10分）
18．
【解答】解：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，
则O（0，0，0），A（0，﹣3，0），B（4，2，0），C（﹣4，2，0），P（0，0，4）
（I）则＝（0，3，4），＝（﹣8，0，0）
由此可得•＝0
∴⊥
即AP⊥BC
（II）设＝λ，λ≠1，则＝λ（0，﹣3，﹣4）
＝+＝+λ＝（﹣4，﹣2，4）+λ（0，﹣3，﹣4）
＝（﹣4，5，0），＝（﹣8，0，0）
设平面BMC的法向量＝（a，b，c）
则
令b＝1，则＝（0，1，）
平面APC的法向量＝（x，y，z）
则
即
令x＝5
则＝（5，4，﹣3）
由＝0
得4﹣3＝0
解得λ＝
故AM＝3
综上所述，存在点M符合题意，此时AM＝3
19．
【解答】解：（1）∵，（x＞0），
∴f′（x）＝﹣+＝
①若a≤0，则，f′（x）＞0，f（x）在（0，e]上单调递增
②若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，
当x∈（a，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增
③若a≥e，则f′（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减．
（2）∵g（x）＝（lnx﹣1）ex+x
∴g′（x）＝（+lnx﹣1）ex+1，由（1）易知，
当a＝1时，f（x）在（0，+∞）上的最小值：f（x）min＝f（1）＝0
即x0∈（0，+∞）时，．又，
∴g′（x0）≥1＞0，
曲线y＝g（x）在点x＝x0处的切线与y轴垂直等价于方程g′（x0）＝0有实数解．
而g′（x0）＞0，即方程g′（x0）＝0无实数解，故不存在．
20．
【解答】解：（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的转化可得，C：ρsin2θ＝2acsθ⇒ρ2sin2θ＝2aρcsθ，
即 y2＝2ax，
直线L的参数方程为：，消去参数t得：直线L的方程为y+4＝x+2即y＝x﹣2（3分）
（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），
代入y2＝2ax得到，
则有…（8分）
因为|MN|2＝|PM|•|PN|，所以
即：[2（4+a）]2﹣4×8（4+a）＝8（4+a）
解得 a＝1…（10分）
21．
【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AE，AF，在△ABC中，＝，
即＝×AE，
解得AE＝1，
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AE，
Rt△A1AE中，AA1＝，AE＝1，
∴A1E＝2，∴EF＝，
∵＝，∴∠AFE是直角，∴A1E⊥AF，
∵E是BC中点，且△ABC是等腰三角形，∴AE⊥BC，
∵AA1⊥BC，BC⊥AF，BC∩A1E＝E，∴AF⊥平面A1BC．
（Ⅱ）解：∵AE⊥BC，如图以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，
BE＝＝，∴B（﹣，0，0），A1（0，1，），E（0，0，0），B1（﹣），
＝（﹣），＝（0，1，），＝（﹣），
设面BA1E的法向量＝（x，y，z），面B1A1E的法向量＝（x'，y'，z'），
则，取z＝1，得＝（0，﹣，1），
，取z'＝1，得＝（1，﹣，1），
设二面角B﹣A1E﹣B1的平面角为θ，
则csθ＝＝＝．
∴二面角B﹣A1E﹣B1余弦值为．
22．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，椭圆上下顶点与左右顶点其中一个构成等边三角形，
所以a＝b，b＝，即a＝3，
所以椭圆E的方程为；
（Ⅱ）圆O：x2+y2＝2，因为直线y＝kx+m与圆O：x2+y2＝2相切，
所以，即m2＝2（1+k2），
联立方程，得（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣3）＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），x1+x2＝﹣，x1x2＝，
由弦长公式|MN|＝|x1﹣x2|＝•＝，
将m2＝2（1+k2），|MN|＝•＝•≤•＝，
当且仅当2+2k2＝7k2+1，即k2＝时等号成立，弦长|MN|最大值为．