2023届福建省百校联盟高三下学期4月联合测评数学试卷＋答案

这是一份2023届福建省百校联盟高三下学期4月联合测评数学试卷＋答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数，，在复平面上对应的点在第四象限，则（ ）
A．6B．4C．D．
3．已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．11B．12C．13D．14
4．已知，恒成立，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．在中，，，，为所在平面上的一点，，则的最大值为（ ）
A．B．25C．D．
7．已知双曲线（，）的渐近线与交于第一象限内的两点，，若为等边三角形，则双曲线的离心率（ ）
A．B．C．2D．
8．已知数列满足，，恒成立，则的最小值为（ ）
A．3B．2C．1D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．的最小值为6
10．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，两圆的公切线过点
B．若，两圆的相交弦长为
C．若两圆的一个交点为，分别过点的两圆的切线相互垂直，则
D．若时，两圆的位置关系为内含
11．已知一组个数据：，，…，，满足：，平均值为，中位数为，方差为，则（ ）
A．B．
C．函数的最小值为
D．若，，…，成等差数列，则
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．为增函数
B．的最小值为
C．函数有且仅有两个零点
D．若，且，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．5个人站成一排，小王不站两端的概率为__________．
14．已知，角的终边上有点，则__________．
15．函数的单调增区间是__________．
16．如图，正四面体的棱长为3，，，分别是，，上的点，，，，截去三棱锥，同理，分别以，，为顶点，各截去一个棱长为1的小三棱锥，截后所得的多面体的外接球的表面积为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知等差数列，等比数列，满足，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，求满足的最小的正整数的值．
18．（本小题满分12分）
在中，内角，，的对边分别为，，，．
（1）证明：；
（2）若，当取最大值时，求的面积．
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，为等边三角形，，．
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成的角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
疫情过后，某工厂快速恢复生产，该工厂生产所需要的材料价钱较贵，所以工厂一直设有节约奖，鼓励节约材料，在完成生产任务的情况下，根据每人节约材料的多少到月底发放，如果1个月节约奖不少于1000元，为“高节约奖”，否则为“低节约奖”，在该厂工作满15年的为“工龄长工人”，不满15年的为“工龄短工人”，在该厂的“工龄长工人”中随机抽取60人，当月得“高节约奖”的有20人，在“工龄短工人”中随机抽取80人，当月得“高节约奖”的有10人．
（1）若以“工龄长工人”得“高节约奖”的频率估计概率，在该厂的“工龄长工人”中任选取5人，估计下个月得“高节约奖”的人数不少于3人的概率；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析得“高节约奖”是否与工人工作满15年有关．
参考数据：附表及公式：，
21．（本小题满分12分）
已知椭圆的上顶点为，右顶点为，直线的斜率为，，，，是椭圆上4个点（异于点），，直线与的斜率之积为，直线与的斜之和为1．
（1）证明：，关于原点对称；
（2）求直线与之间的距离的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求的单调区间和极值；
（2）若有零点，求的最小值．
2023届4月高三联合测评（福建）·数学
参考答案、提示及评分细则
1．C ，，故．故选C．
2．A ，，
由在复平面上对应的点在第四象限，故舍去，．故选A．
3．C 设的公差为，则，．故选C．
4．D ，，得，A是的必要不充分条件，
B是的必要不充分条件，C：是的充要条件，
D：是的充分不必要条件．故选D．
5．A 因为，所以为奇函数，的图象关于原点对称，排除B，D，
又，故在，上都为增函数，故选A．
6．B 以为原点，，方向分别为轴，轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，设，则，，，，与的距离为，的最大值为，的最大值为．故选B．
7．B 满足，又满足，故，轴，，
可得，．故选B．
8．C ，是等差数列，
，故对，，也符合上式，
，故可取1，
，且，故的最小值为1．故选C．
9．AC A：，故A正确；
B：，显然满足条件，故B错误；
C：，故C正确；
D：，由于在上为增函数，故最小值为5，D错误．故选AC．
10．AD 当时，两圆公切线分别与，切于点，，交轴于点，，故，故A正确；
当时，两圆相交弦直线方程为，交弦长为，故B错误；
若，则，故C错误；
当时，，故两圆关系是内含，D正确，故选AD．
11．BCD A：当时．一组数据1，2，4，17，，不在2，4之间，故A错误；
B：由中位数定义知：B正确；
C：，当时，取最小值为，C正确；
D：若，，…，成等差数列，则，故D正确．故选BCD．
12．BCD A：，，
故在上，，为淢函数，A错误；
在上，，故的最小值为，B正确；
C：由B选项可知，过原点且与曲线的图象相切为临界点，设切点为，
点处的切线方程为，
代入原点坐标化简可得，令，
有，可得函数单调递增，记方程的根为，
又由，可知，
令，有，可得函数单调递增，
有，
由图像得函数有且仅有两个零点，故C正确；
D：对函数，有，，，故为淢函数，由，
故为增函数，
故为淢函数，即，，
故，又，为的增区间，
，故D正确．故选BCD．
13． 所求概率为．
14．
，
故，，，
故在第四象限，．
15．或 ，由复合函数单调性知：的增区间即为所求，．
16． 中心为，底面正六边形中心为，球心在上，
正三角形外接圆半径为，底面正六边形外接圆半径为1，原正四面体高为，
故，，解得，故．
17．解：（1）设公差为，由．
当时，不符合题意，舍去，故，，；
（2），
，
由，
当时，，
当时，，故的最小值为8．
18．（1）证明：，
则，而，
故，故，故；
（2）解：，
当且仅当时，取最大值，此时，且，
则，，故．
19．（1）证明：不妨设，取的中点为，
则，，，同理，
则平面四边形为正方形，，
且，，易求得，
在中，由勾股定理可得，故与，
可得平面；
（2）解：取的中点，连接，过作的平行线，
由（1）知：，，两两垂直，以为原点，、、方向分别为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，由，，
得，，，，
设平面的法向量为，
由，，有
取，，，有，又，
故所求线面角的正弦值为．
20．解：（1）以“工龄长工人”得“高节约奖”的频率估计概率，
每个“工龄长工人”得“高节约奖”的概率为，
5人中，恰有3人得“高节约奖”概率为，
恰有4人得“高节约奖”概率为，
5人都得“高节约奖”概率为，所求概率为；
（2）列出列联表如下：
零假设：得“高节约奖”是否与工人工作满15年有关．
，
根据小概率值的独立性检验，得“高节约奖”与工人工作满15年有关．
21．（1）证明：由题意得，，故椭圆方程为，
取椭圆下顶点为，设，则，
而，故，
，由椭圆关于原点中心对称可知：，关于原点对称；
（2）解：设直线方程为，设，两点的坐标分别为，，
联立方程消去后整理为，
有，，
又由，有．有，可得，
有，有，可得，
又由，可得，
由点不在直线上，可得，故的取值范围为．
，之间的距离，即原点到的距离：，
，且，，即所求范围为．
22．解：（1），
故在上，，为减函数；在上，，为减函数；
在上，，为增函数．当时，有极小值为；
（2）对，，，，，
则，故取，，
则，
设为零点，则，
则，，
令，由定义域，
设，由（1）知：仅当时，取最小值为，
的最小值为，仅当，时成立．0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
“高节约奖”
“低节约奖”
合计
“工龄长工人”
20
40
60
“工龄短工人”
10
70
80
合计
30
110
140