福建省莆田市第二中学2023-2024学年高二下学期返校考试数学试卷（Word版附解析）

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考试范围：选择性必修一、二；考试时间：120分钟；命题人：数学李
注意事项：
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．
2、请将答案正确填写在答题卡上．
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值不可能是（ ）
A. -2B. 0
C. 1D. 3
2. 如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（ ）

A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知向量，，且．若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知数列满足，若.则的值是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知为双曲线的焦点，过作轴的垂线交于点，且，则的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆为圆上两个动点，且为弦AB的中点，，，当A，B在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数恰好有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 设直线与圆，则下列结论正确的为（ ）
A. 可能将的周长平分
B. 若圆上存在两个点到直线的距离为1，则的取值范围为
C. 若直线与圆交于两点，则面积的最大值为2
D. 若直线与圆交于两点，则中点的轨迹方程为
10. 双曲线C：的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线C离心率为
B. 双曲线与双曲线C的渐近线相同
C. 若，则的面积为
D. 的最小值为
11. 若为抛物线上动点，焦点为，点，直线：，则下列说法正确的有（ ）
A. 的最小值为4
B. 点到直线和轴的距离之和的最小值为
C. 点到直线的距离的最小值为1
D. 过，两点的直线与抛物线相交的弦长为8
12. 在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列说法正确的有（ ）
A. 存在点，使得平面
B. 不存在点，使得直线与平面所成的角为
C. 最小值为
D. 以为球心，为半径的球体积最小时，被正方形截得的弧长是
第II卷（非选择题）
三、填空题
13. 设不同直线，，则“”是“”的________条件.
14. 已知数列的前项和为，满足，则______．
15. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为．
①轨迹的方程为.
②在轴上存在异于的两点，使得.
③当三点不共线时，射线是的角平分线.
④在上存在点，使得.
以上说法正确的序号是______．
16. 已知函数，若关于x的不等式（e是自然对数的底数）在R上恒成立，则a的取值范围______．
四、解答题
17. 已知数列的前项和为，，且.
（1）求数列的通项公式，
（2）设数列满足（），求数列的前项和为
18. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马中，侧棱 底面，且 ，过棱的中点 ，作交 于点，连接
（Ⅰ）证明：．试判断四面体 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写
出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若面与面 所成二面角的大小为，求的值．
19. 已知函数处取极大值，．
（1）求的值；
（2）求证：．
20. “太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”来源于《乾坤谱》，用于解释中国传统文化中太极衍生原理.“大衍数列”的前几项分别是：0，2，4，8，12，18，24，…，且满足其中.
（1）求（用表示）；
（2）设数列满足：其中，是的前项的积，求证：，.
21. 已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：直线与的斜率之积为定值；
（3）判断三点，，是否共线：并证明你的结论．
22. 已知函数，
（1）求函数的单调增区间；
（2）若函数有两个极值点，，不等式恒成立，求实数的取值范围．