江苏省南通市通州区2024届高三下学期开学质量监测试题数学试卷（Word版附解析）

这是一份江苏省南通市通州区2024届高三下学期开学质量监测试题数学试卷（Word版附解析），共23页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效．
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 有8位同学一次数学测试的分数分别是：111，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是（ ）
A 130B. 132C. 134D. 136
2. 若，且是纯虚数，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
3. 己知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 设l，m是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
5. 某台小型晚会由5个节目组成，演出顺序有如下要求，节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A. 36种B. 42种C. 48种D. 54种
6. 设直线被圆所截得的弦的中点为，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的一个对称中心
C. 区间上单调递减
D. 在区间上有3个零点
10. 已知正方体的棱长为4，E，F，G分别是棱，，的中点，则（ ）
A. 平面
B. ，，共面
C. 平面截正方体所得截面的面积为
D. 三棱锥的体积为
11. 已知函数的定义域为R，，则（ ）
A
B. 是奇函数
C. 若，则
D. 若当时，，则，在单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知数列是等比数列，且．设，数列的前n项和为，则______．
13. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______．
14. 在中，，，，点D，E，F分别在，，边上，且，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 不透明的袋子中有8个除所标数字外均相同的球，其中标号为1号的球有3个，标号为2号的球有3个，标号为3号的球有2个．现从这8个球中任选2个球．
（1）求选出的这2个球标号相同的概率；
（2）设随机变量为选出的2个球标号之差的绝对值，求的分布列与数学期望．
16. 已知函数，曲线在处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）求的单调区间，并证明在上没有零点．
17. 如图，在三棱柱中，平面平面为等边三角形，，分别是线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.
18. 设抛物线，过焦点F的直线与C交于点A，B．当直线垂直于x轴时，．
（1）求C方程；
（2）已知点，直线，分别与C交于点C，D．
①求证：直线过定点；
②求与面积之和的最小值．
19. 对于数列，若存在正数k，使得对任意，，都满足，则称数列符合“条件”．
（1）试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？
（2）若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”．
①求q的取值范围；
②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”
2024届高三第二学期期初质量监测
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效．
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 有8位同学一次数学测试的分数分别是：111，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是（ ）
A. 130B. 132C. 134D. 136
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数的定义进行求解.
【详解】解：因为，
所以这组数据的75百分位数是.
故选：C．
2. 若，且是纯虚数，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用复数运算法则，化简得到，结合是纯虚数，求得，即可求解．
【详解】设，则
因为是纯虚数，可得，即，所以．
故选：B.
3. 己知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据投影向量的定义，由求解.
【详解】由，可得，所以，
则在上的投影向量为.
故选：D
4. 设l，m是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
【答案】B
【解析】
【分析】对于A，C与D，可通过举反例的方式说明其错误性，B选项可以直接证明其正确性.
【详解】对于A，若，，，此时与可能相交，如下图所示：

对于C与D，若，，，则与均可能发生，如下图所示：


对于B，若，，则，
又因为，故.
故选：B.
5. 某台小型晚会由5个节目组成，演出顺序有如下要求，节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A. 36种B. 42种C. 48种D. 54种
【答案】B
【解析】
分析】据元素分析法即可解出．
【详解】若甲排在第一位，则有种排法；
若甲排在第二位，由于乙不能排在第一位，则第一位有3种排法，其他位次全排列有种排法，则共有种排法，因此编排方案共有种.
故选：B．
6. 设直线被圆所截得的弦的中点为，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出直线的定点，得出点的轨迹方程，设，根据直线与圆的位置关系进行求解.
【详解】解：直线过定点，
因为M是弦的中点，
所以，
故的轨迹方程为：，
设，即
即是直线与圆的公共点，
由直线与圆的位置关系可得，，解得，
所以的最大值为.
故选：C.
7. 已知为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，再利用三角函数恒等变形进行弦化切即可求解.
【详解】由，得，即，解得或.
因为为锐角，所以.
故
故选：B
8. 双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，求出及，由三角形面积及三角函数值得到，由双曲线定义得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到离心率.
【详解】设切点为，，连接，则，，
过点作⊥轴于点E，则，故，
因为，解得，
由双曲线定义得，所以，
在中，由余弦定理得，
化简得，又，
所以，方程两边同时除以得，
解得，所以离心率.
故选：A
【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围).
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的一个对称中心
C. 在区间上单调递减
D. 在区间上有3个零点
【答案】AC
【解析】
【分析】化为，求出函数的周期判断A选项，根据解析式求对称中心纵坐标判断B选项，求出函数的个单调减区间为，而，判断C选项，令，求出或，求出函数在区间上零点个数判断D选项.
【详解】，，A对；
对称中心纵坐标为1，B错；
，则，即的一个单调减区间为
而，在上单调递减，C对；
，则或
或．
，；，；，；，
，在区间上有4个零点，D错．
故选：AC．
10. 已知正方体的棱长为4，E，F，G分别是棱，，的中点，则（ ）
A. 平面
B. ，，共面
C. 平面截正方体所得截面的面积为
D. 三棱锥的体积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量的方法可以轻松判断AB，先作出过点、、的截面，再求截面的面积，可判断C；利用“等积转换”求出三棱锥的体积，判断D.
【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，
因为为正方体，所以平面，又平面，所以，
∵，，，
所以，、是平面内的两条相交直线，所以面，A对．
，，，
若，，共面，则，
，，B对．

由平面基本性质得：如图截面为等腰梯形，，，，
，梯形的高，梯形面积，C错．
，D对.
故选：ABD
11. 已知函数的定义域为R，，则（ ）
A.
B. 是奇函数
C. 若，则
D. 若当时，，则，在单调递减
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用赋值法判断AC选项的正确性，利用函数的奇偶性判断B选项的正确性，利用函数的单调性判断D选项的正确性.
【详解】对于A，时，，，A错．
对于B，时，，，
，，为奇函数，B正确．
对于C，，，，，C正确．
对于D，时，，，
时，，时，
，，即，
上单调递减，D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知数列是等比数列，且．设，数列的前n项和为，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据等比数列的性质求得，根据等差数列的性质求得.
【详解】为等比数列，，所以，
为等差数列，所以．
故答案为：
13. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______．
【答案】1215
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性，求得的值后，利用二项式定理展开式的通项公式求解即可.
【详解】，，
，．
展开式第项：
，．
故答案为：1215.
14. 在中，，，，点D，E，F分别在，，边上，且，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得A，F，D，E四点共圆，且为该圆直径，则当最小时，需最小，当时，最小，结合题意可计算出此时的长度，即可得的最小值.
【详解】由，，故A，F，D，E四点共圆，且为该圆直径，
又，故最小时，需最小，当时，最小，
由，故此时，由正弦定理可得，
．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 不透明的袋子中有8个除所标数字外均相同的球，其中标号为1号的球有3个，标号为2号的球有3个，标号为3号的球有2个．现从这8个球中任选2个球．
（1）求选出的这2个球标号相同的概率；
（2）设随机变量为选出的2个球标号之差的绝对值，求的分布列与数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，．
【解析】
【分析】（1）根据组合数以及古典概型概率计算公式求得正确答案.
（2）根据组合数以及古典概型概率计算公式求得分布列，进而求得数学期望.
【小问1详解】
依题意，选出的这2个球标号相同的概率为．
小问2详解】
的所有可能取值为，，，
，，．
的分布列如下：
X的数学期望．
16. 已知函数，曲线在处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）求的单调区间，并证明在上没有零点．
【答案】（1），
（2）单调递增区间为，单调递减区间为，，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出导函数，依题意可得，解得即可；
（2）由（1）可得，求出函数的定义域与导函数，即可求出单调区间，结合函数的单调性说明在上没有零点.
【小问1详解】
因为，所以，
由题意知，解得.
【小问2详解】
由（1）可得定义域为，
又
，
因为，
所以当时，当或时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，；
因为在上单调递增，在上单调递减，
时，，
在上没有零点．
17. 如图，在三棱柱中，平面平面为等边三角形，，分别是线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先证明，然后证明平面，可得，即可证明；
（2）首先证明平面ABC，然后以D为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，算出两个平面的法向量，然后求出二面角的余弦值，然后可得答案.
【小问1详解】
连接，由题设知四边形为菱形，，
分别为中点，
；又D为AC中点，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面；
，又平面，平面.
【小问2详解】
，为等边三角形，，
平面平面，平面平面，
平面,平面，
D为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，,
设，则，；
由（1）知：平面，所以平面的一个法向量；
设平面的法向量，则，
令，则；
，
令，则；
，
即平面与平面夹角的余弦值的取值范围为.
18. 设抛物线，过焦点F的直线与C交于点A，B．当直线垂直于x轴时，．
（1）求C的方程；
（2）已知点，直线，分别与C交于点C，D．
①求证：直线过定点；
②求与面积之和的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析；②.
【解析】
【分析】（1）根据通径的定义求出得解；
（2）①设直线方程与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，同理可得和的坐标关系，设与x轴交于点G，同上面方法可求得为定值；
②利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可.
【小问1详解】
由题意通径长，，
的方程为．
【小问2详解】
①设直线方程为，，，，，
联立，
，，且，
同理，可得，，，
设与x轴交于点G，同上方法可得，
直线过定点；
②，
当且仅当时取“”．
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是根据直线过轴上点，设出直线方程与抛物线联立，得到，进行转化运算得解.
19. 对于数列，若存在正数k，使得对任意，，都满足，则称数列符合“条件”．
（1）试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？
（2）若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”．
①求q的取值范围；
②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”
【答案】（1）符合条件；
（2）①；②证明见解析.
【解析】
【分析】（1）直接利用定义判断结论是否成立；
（2）①，根据的单调性去掉绝对值，通过构造新数列，由不等式恒成立得到新数列不递减，求q的取值范围；
②要证数列符合“条件”，只要证，构造新数列，由不等式恒成立得到新数列不递减，由条件只要证即可.
【小问1详解】
公差为2的等差数列，设，
由，所以公差为2的等差数列符合条件．
【小问2详解】
①首项为1，公比为q的正项等比数列，，
对恒成立，
若，则，符合．
若，数列单调递增，不妨设，
，，
设，由（*）式中m，n任意性得数列不递增，
，，
但当，，矛盾．
若，则数列单调递减，不妨设，
，即，
设，由（**）式中m，n的任意性得，数列不递减，
，，
时，单调递增，
，，，
综上，公比q的取值范围为．
②：由①得，，，
当时，，要存在使得，只需即可；
当时，要证数列符合“条件”，
只要证存在，使得，，
不妨设，则只要证：，
只要证：，
设，由m，n的任意性，不递减，
只要证，
只要证：，，
，存在上式对成立．
存在正数使数列符合条件．
【点睛】关键点点睛：在判断数列是否符合“条件”时，分类讨论，根据的单调性去掉绝对值，通达构造新数列，由不等式恒成立得到新数列不递减，研究此数列不递减的条件即可.