2024中考数学二次函数压轴专题训练-专题01新定义问题（含解析）

这是一份2024中考数学二次函数压轴专题训练-专题01新定义问题（含解析），共25页。
专题01 新定义问题
训练题01【2023·四川巴中·中考真题】
规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ．
训练题02【2023·江苏无锡·校考二模】
已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表所示，以下结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下B．当时，y随x增大而增大
C．当时，x的取值范围是D．方程的根为0和2
训练题03【2022秋·湖南长沙·外国语学校校考】
定义若抛物线（）与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”．
(1)已知直线解析式为，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是________；（填序号）
①；②；③；
(2)如图，已知直线l：，抛物线为直线l的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为、，在直线l上方抛物线部分是否存在点使△面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)已知x轴的“双幸运曲线”（）经过点（1，3），（0，），在x轴的“幸运点”分别为、，试求的取值范围．
训练题04【2023·湖北黄冈·中考真题】
已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①④
训练题05【2023·河北石家庄·九年级统考】
二次函数的图象如图．点位于坐标原点，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，点，，，…，在二次函数位于第二象限的图象上，四边形，四边形，四边形，…，四边形．都是菱形，，则的边长为 ，菱形的周长为 ．
训练题06【2023·河南省·中考真题】
二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
训练题07【2021·甘肃兰州·中考真题】
如图1，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）过点作轴分别交线段，抛物线于点，，连接．当时，求的面积；
（3）如图2，将线段绕点逆时针旋转90得到线段．
①当点在抛物线上时，求点的坐标；
②点在抛物线上，连接，当平分时，直接写出点P的坐标．
训练题08【2023·山东菏泽·中考真题】
若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
训练题09【2022·江苏南通·中考真题】
定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（13，13）是函数y＝x图象的“12阶方点”；点（2，1）是函数y=2x图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，-12）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
训练题10【2022·广西柳州·文华中学九上期末】
定义：将二次函数l的图象沿x轴向右平移t，再沿x轴翻折，得到新函数l′的图象，则称函数l′是函数l的“t值衍生抛物线”．已知l：y＝x2﹣2x﹣3．
(1)当t＝﹣2时，
①求衍生抛物线l′的函数解析式；
②如图1，函数l与l'的图象交于M（，n），N（m，﹣2）两点，连接MN．点P为抛物线l′上一点，且位于线段MN上方，过点P作PQ∥y轴，交MN于点Q，交抛物线l于点G，求S△QNG与S△PNG存在的数量关系．
(2)当t＝2时，如图2，函数l与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC．函数l′与x轴交于D，E两点，与y轴交于点F．点K在抛物线l′上，且∠EFK＝∠OCA．请直接写出点K的横坐标．
题型训练
x
…
0
1
2
3
…
y
…
3
0
m
3
…
答案&解析
训练题01【2023·四川巴中·中考真题】
【答案】或
【分析】根据题意与x轴的交点坐标和它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标关于y轴对称，再进行分类讨论，即和两种情况，求出与x轴的交点坐标，即可解答．
【详解】解：①当时，函数的解析式为，
此时函数的图象与x轴只有一个交点成立，
当时，可得，解得，
与x轴的交点坐标为，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为；
①当时，
函数的图象与x轴只有一个交点，
，即，
解得，
函数的解析式为，
当时，可得，
解得，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为，
综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为或，
故答案为：或．
训练题02【2023·江苏无锡·校考二模】
【答案】D
【分析】根据表格确定对称轴的位置，进而求出的值，画出二次函数的图象，利用数形结合的思想，进行判断即可．
【详解】解：由表格可知：和的函数值相同，均为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴和的函数值相等，即：，
根据五点作图法，得到二次函数的图象如下：
由图可知：
抛物线开口向上， 时，随值的增大而减小，时，随值的增大而增大，
当时，x的取值范围是或，
抛物线与轴交于，
∴方程的根为0和2；
综上：选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意；
故选D．
训练题03【2022秋·湖南长沙·外国语学校校考】
【答案】(1)②
(2)存在，最大面积为此时
(3)
【分析】（1）分别联立一次函数与抛物线的解析式，再判断方程组的解的个数得到函数图象的交点个数，结合新定义可得答案；
（2）如图，过作轴交于点先求解A，B的坐标，再设则可得再利用面积公式列二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案；
（3）先求解则抛物线为：再结合抛物线与x轴有两个交点，可得再利用，结合二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：联立
∴即
∴方程无解，
∴两个函数图象没有交点，
∴根据定义：抛物线不为该直线的“双幸运曲线”；
同理：由可得：方程有两个不相等的实根，
∴两个函数有两个交点，
∴抛物线为该直线的“双幸运曲线”；
由可得：
解得：方程有两个相等的实根，
∴两个函数有1个交点，
∴抛物线不为该直线的“双幸运曲线”；
故选②
（2）存在，理由如下：
如图，过作轴交于点
联立
∴
解得：
∴
∴
设则
∴
∴
当时，面积最大，最大面积为
此时
∴
（3）∵（）经过点（1，3），（0，），
∴
解得：
∴抛物线为：
令则结合题意可得方程有两个不相等的实根
∴
∴
∵
∴，解得，
∴，
∴
∴当时，最小，为，
当时，最大，为
∴
训练题04【2023·湖北黄冈·中考真题】
【答案】B
【分析】将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④．
【详解】解：将代入，可得，
故①正确；
二次函数图象的对称轴为直线，
点到对称轴的距离分别为：4，1，3，
，
图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
，
故②错误；
二次函数图象的对称轴为直线，
，
又，
，
，
当时，y取最大值，最大值为，
即二次函数的图象的顶点坐标为，
若m为任意实数，则
故③正确；
二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，
与x轴的另一个交点坐标为，
的图象向上平移一个单位长度，即为的图象，
的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧，
若方程的两实数根为，且，则，
故④正确；
综上可知，正确的有①③④
训练题05【2023·河北石家庄·九年级统考】
【答案】
【分析】过点作垂直轴于点，过点作垂直轴于点，过点作垂直轴于点，过点于点，过点于点，根据四边形，四边形，四边形，…，四边形．都是菱形，，得到是等边三角形，设点坐标为，则：，在中，，求出点的坐标，进而求出的边长，菱形的周长，同法求出菱形的周长，菱形的周长，进而推出菱形的周长．
【详解】过点作垂直轴于点，过点作垂直轴于点，过点作垂直轴于点，过点于点，过点于点，
∵四边形，四边形，四边形，…，四边形．都是菱形，，
∴是等边三角形；
设点坐标为，则：，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
∴，
∴的边长为，
∴菱形的周长；
设点坐标为，在中， ，
且，
∴，
解得，或 (舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的周长；
同法可得：菱形的周长；
∴菱形的周长为：；
故答案为：，．
训练题06【2023·河南省·中考真题】
【答案】D
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答．
【详解】解：由图象开口向下可知，
由对称轴，得．
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
训练题07【2021·甘肃兰州·中考真题】
【答案】（1）；（2）；（3）①或；②或．
【分析】（1）根据点的坐标以及已知条件，将的坐标代入即可求得的值，进而求得抛物线的解析式；
（2）依题意根据（1）的解析式求得的坐标，进而求得，据此求得，根据进而求得的坐标，根据即可求得的面积；
（3）①过作轴，分点在轴上方和下方两种情况讨论，证明，设，将点的坐标代入（1）中抛物线解析式中即可求得点的坐标情形2，方法同情形1；
②分当不平行于轴和轴两种情况讨论，当当不平行于轴时，过点作交于点,过点作于点，证明进而可得的坐标，当轴时，结合已知条件即可求得的坐标．
【详解】（1）二次函数的图象经过
解得
（2）由，令
解得
当时，
,则
；
（3）如图，当点在轴下方时，过点作于点，
由，令，
解得
，
，
将线段绕点逆时针旋转90得到线段，
，，
设，
点在抛物线上，
解得（舍）
当点在轴上方时，如图，
过点作于点，设
同理可得
点在抛物线上，
解得（舍去），
综上所述，或；
②当不平行于轴时，过点作交于点,过点作于点，如图，
平分，，
，
,
，
当不平行于轴时，重合，
，
当轴时，如图，
此时
则
综上所述，当平方时，点的坐标为或．
训练题08【2023·山东菏泽·中考真题】
【答案】D
【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．
【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，和至少有一个交点，
令，整理得：，
则，解得，
，
∴，
∴或
当时，，即，解得，
当时，，即，解得，
综上，c的取值范围是，
故选：D．
训练题09【2022·江苏南通·中考真题】
【详解】解：（1）①（﹣2，-12）到两坐标轴的距离分别是2＞1，12＜1，∴（﹣2，-12）不是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”；
②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”；
③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，∴（1，1）是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”；
故答案为：②③；
（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，∴函数经过定点（3，1），
在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，综上所述：a的值为3或a＝﹣1；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，
二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，
如图2，当n＞0时，A（n，n），B（n，﹣n），C（﹣n，﹣n），D（﹣n，n），
当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n=14；当抛物线经过点B时，n＝1；
∴14≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；
综上所述：14≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．

训练题10【2022·广西柳州·文华中学九上期末】
【答案】(1)①；②；
(2)点K的横坐标为4或
【分析】（1）①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义解答即可；
②利用待定系数法求得直线MN的解析式，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则得到Q（m，﹣2m），G（m，m2﹣2m﹣3），利用m的代数式分别表示出PQ，QG的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论；
（2）利用函数解析式求得点A，B，C，D，E，F的坐标，进而得出线段OA，OC，OD，OE，AC，OF的长，设直线FK的解析式为y＝kx﹣5，设直线FK交x轴于点M，过点M作MN⊥EF于点N，用k的代数式表示出线段OM．FM，ME的长，利用∠EFK＝∠OCA，得到sin∠EFK＝sin∠OCA，列出关于k的方程，解方程求得k值，将直线FK的解析式与衍生抛物线l′的函数解析式联立即可得出结论．
【详解】
(1)
解：①∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴当t＝﹣2时，将二次函数l的图象沿x轴向右平移t个单位得：y＝（x+1）2﹣4．
∴此时函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
再沿x轴翻折，得到新函数的顶点坐标为（﹣1，4）．
∵沿x轴翻折，得到新函数的形状大小不变，开口方向相反，
∴沿x轴翻折，得到新函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+4．
∴衍生抛物线l′的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
②∵M（，n），N（m，﹣2）两点在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴n＝2，m．
∴M（，2），N（，﹣2）．
∴直线MN的解析式为y＝﹣2x．
如图，设P（m，﹣m2﹣2m+3），
∵PQ∥y轴，
∴Q（m，﹣2m），G（m，m2﹣2m﹣3）．
∴PQ＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（﹣2m）＝﹣m2+3，
QG＝（﹣2m）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3，
∴PQ＝QG．
∴QGPG．
∵△PNG与△QNG高相等，
∴．
∴S△QNG与S△PNG存在的数量关系：；
(2)
解：点K的横坐标为4或．理由：
当t＝2时，函数l的衍生抛物线l′的函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5．
令x＝0，则y＝﹣5，
∴F（0，﹣5）．
∴OF＝5．
令y＝0，则﹣x2+6x﹣5＝0，
解得：x＝1或5．
∴D（1，0），E（5，0）．
∴OE＝5．
∴OF＝OE．
∴∠OFE＝∠OEF＝45°．
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．
∴OC＝3．
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1或3．
∴A（﹣1，0）．
∴OA＝1．
∴AC．
设直线FK交x轴于点M，过点M作MN⊥EF于点N，如图，
设直线FK的解析式为y＝kx﹣5，
令y＝0，则x，
∴M（，0）．
∴OM，
∴FM．
ME＝OE﹣OM＝5．
∵MN⊥EF，∠OEF＝45°，
∴MN＝NE（5）．
∵∠EFK＝∠OCA，
∴sin∠EFK＝sin∠OCA．
∵sin∠MFE，
∴．
解得：k＝2或．
∴直线FK的解析式为y＝2x﹣5或yx﹣5．
∴或．
∴或．
∴点K的横坐标为4或．