2024中考数学二次函数压轴专题训练-专题05四边形相关问题（含解析）

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专题05 四边形相关问题
训练题01【2023·山东东营·中考真题】
如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
训练题02【2022·四川眉山·中考真题】
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．
(1)求点的坐标；(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
训练题03【2023·广东江门·九年级校考期末】
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，其对称轴为，
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接，过点C作交x轴于点Q，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
训练题04【2022·湖北黄冈·九年级统考期末】
如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称．
(1)求直线的解析式；
(2)如图，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作于点G，求线段的最大值；
(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点Q的坐标．
训练题05【2022·湖南郴州·统考中考真题】
已知抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，水线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
训练题06【2023·辽宁鞍山·中考真题】
如图，在矩形中，对角线交于点O，，，垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线与重合时停止运动，运动过程中分别交矩形的对角线于点E，F，以为边在左侧作正方形，设正方形与重叠部分的面积为S，直线的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
训练题07【2023·广东韶关·预测模拟】
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知．
(1)求抛物线和直线的函数解析式；
(2)若点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，求四边形的最大面积；
(3)在抛物线的对称轴上找一点，使得以为顶点的三角形与相似，请直接写出点的坐标．
训练题08【2023·福建·统考中考真题】
空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．
（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
训练题09【2022·辽宁抚顺·九年级校考】
如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点B的坐标是
(1)求直线及抛物线的解析式；
(2)C为抛物线上的一点，的面积为3，求点C的坐标；
(3)P在抛物线上，Q在直线上，M在坐标平面内，当以A，P，Q，M为顶点的四边形为正方形时，直接写出点M的坐标．
训练题10【2022·湖南湘潭市·中考真题】
已知抛物线．
(1)如图①，若抛物线图象与轴交于点，与轴交点．连接．
①求该抛物线所表示的二次函数表达式；
②若点是抛物线上一动点（与点不重合），过点作轴于点，与线段交于点．是否存在点使得点是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)如图②，直线与轴交于点，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点落在轴的正半轴上，若该抛物线与线段没有交点，求的取值范围．
题型训练
答案&解析
训练题01【2023·山东东营·中考真题】
【答案】(1)
(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为
(3)4
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；
（2）由抛物线的对称性得，则，再得出，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；
（3）连接A，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形是平行四边形，则，．求出时，点A的坐标为，则，即可得出结论．
【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为．
∵当时，，
∴点C的坐标为．
将点C坐标代入表达式，得，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由抛物线的对称性得：，
∴．
当时，．
∴矩形的周长为
．
∵，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
（3）解：连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接．

∵直线平分矩形的面积，
∴直线过点P．．
由平移的性质可知，四边形是平行四边形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴P是的中点．
∴．
当时，点A的坐标为，
∴．
∴抛物线平移的距离是4．
训练题02【2022·四川眉山·中考真题】
【答案】(1)(2)最大为(3)存在，的坐标为或（3，-16）或
【分析】（1）把点A的坐标代入，求出c的值即可；
（2）过作于点，过点作轴交于点，证明 是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，，运用待定系数法求直线解析式为，设，，则，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分①当AC为平行四边形ANMC的边，②当AC为平行四边形AMNC的边，③当AC为对角线三种情况讨论求解即可．
(1)
（1）∵点在抛物线的图象上，
∴
∴，
∴点的坐标为；
(2)过作于点，过点作轴交于点，如图：
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，
将代入得，
∴，
∴直线解析式为，
设，，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴此时最大为，即点到直线的距离值最大；
(3)存在．∵
∴抛物线的对称轴为直线，
设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，）
分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴，即
解得，x=3.
∴
∴点M的坐标为（3，-16）
②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，
方法同①可得，，
∴
∴点M的坐标为（-7，-16）；
③当AC为对角线时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴线段AC的中点H的坐标为，即H（）
∴，解得，。
∴
∴点M的坐标为（-3，8）
综上，点的坐标为：或（3，-16）或．
训练题03【2023·广东江门·九年级校考期末】
【答案】(1)
(2)面积的最大值为4，此时P的坐标为
(3)存在，点F的坐标为，
【分析】（1）把点A的坐标代入得到，再根据抛物线的对称轴，得出a和b的关系式，即可求解；
（2）连接，过P点作平行于y轴的直线交于H点，根据可得，从而求面积的最大值即可，通过设P的坐标，得到H的坐标，从而建立关于面积的二次函数表达式，最终结合二次函数的性质求解即可；
（3）通过（2）的结论首先确定出平移后抛物线的解析式，设出E，F的坐标，运用勾股定理进行分类讨论即可．
【详解】（1）将，代入得：，
∵抛物线对称轴为对称轴为，
∴，即，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）如图所示，连接PC，PB，BC，过P点作平行于y轴的直线交BC于H点，
∵，
∴，即求面积的最大值即可，
把代入得，
∴C坐标为，
设直线BC的解析式为：，
将，代入得：，解得：，
∴直线BC的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
根据二次函数的性质可得：当时，取得最大值为4，
将代入，得到此时P的坐标为，
∴面积的最大值为4，此时P的坐标为；
（3）存在，理由如下：
由（2）可知，当面积的最大值为4时，P的坐标为，
∵，
∴，则，
∵原抛物线解析式为：，
∴设向右平移后的解析式为：，
将代入求得：（舍负值），
∴平移后抛物线的解析式为：，其对称轴为直线，
∴设，，则结合A、P的坐标可得：
，，，
①当时，如图所示，
此时根据勾股定理得：，
即：，解得：，即：，
此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得：
，解得：，
∴；
②当时，如图所示，
此时根据勾股定理得：，
即：，解得：，即：，
此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得：
，解得：，
∴；
③当AE⊥PE时，根据勾股定理得：，
即：，
整理得：，
∵，
∴上述方程在实数范围内无解，即不存在的情况，
综上所述，所有可能的点F的坐标为，．
训练题04【2022·湖北黄冈·九年级统考期末】
【答案】(1)直线的解析式为；
(2)的最大值为：；
(3)或．
【分析】（1）先求解A，B，C的坐标，再求解D的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可；
（3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：．
【详解】（1）解：当时，，则，
当时，，
解得，，则，，
∵，
∴抛物线对称轴为直线， 而点D和点C关于直线对称，
∴，
设直线的解析式为，
把，分别代入得 ，
解得 ，
∴直线的解析式为；
（2）记于y轴的交点为，
当时，，则，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
过作轴交于，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
当时，有最大值，
∴的最大值为：；
（3）如图，当在的右边，
记直线交y轴于R，，则，
设直线的解析式为，
把、分别代入得 ，
解得 ，
∴直线的解析式为，
当时，，则，
设，而四边形为矩形，
∴，
∴，
解得：，即，
由平移的性质可得：；
如图，当在的左边，
同理可得：，
解得：，即，
由平移的性质可得：；
综上：或．
训练题05【2022·湖南郴州·统考中考真题】
【答案】(1)
(2)①；②在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为时，点D的坐标：或；当点F的坐标为时，点D的坐标：．
【分析】(1)把，代入即可得出抛物线的表达式；
（2）①求出直线BC解析式：，再由直线MN：及抛物线的对称轴：，即可得出．进而得出直线CD的解析式为：，即可得出答案；②分以BC为边时，即， ，以及分以BC为对角线时，进行讨论即可得出答案 ．
【详解】（1）解：将点，代入得：
解得
∴抛物线的表达式为．
（2）①由（1）可知：，
设直线BC：，将点，代入得：
解得
∴直线BC：，则直线MN：．
∵抛物线的对称轴：，
把代入，得，
∴．
设直线CD：，将点，代入得：
解得
∴直线CD：．
当时，得，
∴，
∴．
②存在点F，使得以B，C，D，F为项点的四边形是平行四边形．
理由如下：
（I）若平行四边形以BC为边时，由可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即．
由点D在直线MN上，设．
如图2-1，若四边形BCFD是平行四边形，则．
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则．
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，解得．
∴，
如图2-2，若四边形BCDF是平行四边形，则．
同理可证：，
∴，
∵，，
∴，解得．
∴
（II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方．
∴如图2-3，存在一种平行四边形，即．
设，，同理可证：，
∴，
∵，，，
∴．
解得
∴，．
综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
当点F的坐标为时，点D的坐标：或；
当点F的坐标为时，点D的坐标：．
训练题06【2023·辽宁鞍山·中考真题】
【答案】B
【分析】求出在点左侧时的两段图象，即可得出结论．
【详解】解：当在点左侧，即：时：
①当正方形的边在的外部时，重叠部分为矩形，如图：

设分别交于点，
∵垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，
∴，
∵在矩形中，，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，图象为开口向下的一段抛物线；
②当正方形的边在的内部时，与重叠部分即为正方形，如图：

由①可知：，
∴，图象是一段开口向上的抛物线；
当过点时，即时，重合，此时，；
综上：满足题意的只有B选项
训练题07【2023·广东韶关·预测模拟】
【答案】(1)抛物线的函数解析式为，直线的函数解析式为
(2)
(3)点P的坐标为或，，
【分析】（1）把点代入抛物线，求解出m，n的值，即可得到抛物线的函数解析式；设直线的函数解析式为，把点代入，求出k，b的值，即可得到直线的函数解析式；
（2）设点E的横坐标为m（），则，，，所以；因为点D的坐标为，所以，，，因此
，当时，四边形的面积有最大值，为；
（3）由于，且为顶点的三角形与相似，所以分两种情况讨论：①或②．把，，的长代入，即可求得的长，从而得到点P的坐标．
【详解】（1）∵抛物线过点
，解得
∴抛物线的函数解析式为
设直线的函数解析式为
∵直线过
，解得
∴直线的函数解析式为．
（2）
设点E的横坐标为m（）
∵轴，点E在直线上，点F在抛物线上
∴，
，
∵抛物线的对称轴为
∴点D的坐标为
∵
，
∴当时，四边形的面积有最大值，为．
（3）
∵，为顶点的三角形与相似
∴分两种情况讨论：①或②
①若，则
∴
∴点P的坐标为或
②若，则
∴
∴点P的坐标为或
综上所述，点P的坐标为或，，．
训练题08【2023·福建·统考中考真题】
【答案】（1）利用旧墙AD的长为10米．（2）见解析．
【分析】（1）按题意设出AD，表示AB构成方程；
（2）根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论s与菜园边长之间的数量关系．
【详解】解：（1）设AD=x米，则AB=100-x2米
依题意得，x(100-x)2＝450
解得x1=10，x2=90
∵a=20，且x≤a
∴x=90舍去
∴利用旧墙AD的长为10米．
（2）设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米
①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意
得：
S=x(100-x)2＝-12(x-50)2+1250，0＜x＜a
∵0＜a＜50
∴x＜a＜50时，S随x的增大而增大
当x=a时，S最大=50a-12a2
②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得
S=x(100+a-2x)2＝-[x-(25+a4)]2+(25+a4)2，a≤x＜50+a2
当a＜25+a4＜50时，即0＜a＜1003时，
则x=25+a4时，S最大=（25+a4）2=10000+200a+a216，
当25+a4≤a，即1003≤a＜50时，S随x的增大而减小
∴x=a时，S最大=a(100+a-2a)2=50a-12a2，
综合①②，当0＜a＜1003时，10000+200a+a216-（50a-12a2）=(3a-100)216＞0
10000+200a+a216＞50a-12a2，
此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为10000+200a+a216平方米
当1003≤a＜50时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．
∴当0＜a＜1003时，围成长和宽均为（25+a4）米的矩形菜园面积最大，最大面积为10000+200a+a216平方米；
当1003≤a＜50时，围成长为a米，宽为（50-a2）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（50a-12a2）平方米．
训练题09【2022·辽宁抚顺·九年级校考】
【答案】(1)直线的解析式为，抛物线的解析式是
(2)，
(3)
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）讨论C在直线上方时，作轴交于D ，，求出t的值，C在直线下方时，作轴交于D ，，求出t的值，即可得出点C的坐标；
（3）分是正方形的边和是正方形的对角线两种情况分析，再根据正方形的性质即可得出答案．
【详解】（1）∵直线与抛物线交于点
∴，，
∴，
∴直线的解析式为，抛物线的解析式是；
（2）联立方程组，
解得或，
∴点A的坐标是，
当C在直线上方时，作轴交于D， 设点C的坐标为，则D点坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴或，
∴，
当C在直线下方时，作轴交于D ，设点C的坐标为，则D点坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，
∴，；
（3）如图，当是正方形的边时，
∵
∴直线的解析式为
∴
∴M点与A点关于y轴对称
∴
∵在抛物线上，
∴当时，；
当M点关于A点对称时，；
如图，当是正方形的对角线时，
∴点P的纵坐标为-1
∴
∴
∵
∴
综上所述：M点坐标为
训练题10【2022·湖南湘潭市·中考真题】
【答案】(1)①，②存在，点P坐标为(2，-3)或（，-），理由见解析
(2)b
【分析】（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB的解析式，设点M(m，m-3)点P（m，m2-2m-3）若点是线段的三等分点，则或，代入求解即可；
（2）先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5，因为四边形CDFE是菱形，由此得出点E的坐标．再根据该抛物线与线段没有交点，分两种情况（CE在抛物线内和CE在抛物线右侧）进行讨论，求出b的取值范围．
(1)
①解：把，代入，得
，
解得：，
∴
②解：存在，理由如下，
设直线AB的解析式为y=kx+b，把， 代入，得
，
解得，
∴直线AB的解析式为y=x-3，
设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3）
若点是线段的三等分点，
则或，
即或，
解得：m=2或m=或m=3，
经检验，m=3是原方程的增根，故舍去，
∴m=2或m=
∴点P坐标为(2，-3)或（，-）
(2)解：把点D（-3，0）代入直线，解得n=4，
∴直线，
当x=0时，y=4，即点C（0，4）
∴CD==5，
∵四边形CDFE是菱形，
∴CE=EF=DF=CD=5，
∴点E（5，4）
∵点在抛物线上，
∴（-3）2-3b+c=0，
∴c=3b-9，
∴，
∵该抛物线与线段没有交点，
分情况讨论
当CE在抛物线内时
52+5b+3b-9
综上所述，b