四川省成都市石室中学2023-2024学年高三下学期二诊模拟考试数学（文）试卷（Word版附解析）

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（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2. 若集合，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 如图是根据某校高三8位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则下列结论正确的是（ ）
A. 这8位同学数学月考成绩的极差是14
B. 这8位同学数学月考成绩的中位数是122
C. 这8位同学数学月考成绩的众数是118
D. 这8位同学数学月考成绩的平均数是124
4. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，则这个几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
6. 若是正实数，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 当时，关于的不等式有解，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A. 为函数的一个周期
B. 是函数图象的一个对称中心
C. 函数在区间上单调递增，则实数的最大值为
D. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象
9. 已知抛物线，弦过其焦点，分别过弦的端点的两条切线交于点，点到直线距离的最小值是（ ）
A. B. C. 1D. 2
10. 如图，四棱柱中，为棱的中点，为四边形对角线的交点，下列说法：
①平面；
②若平面，则；
③若四边形矩形，且，则四棱柱为直四棱柱.
其中正确说法的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
11. 已知函数，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
12. 若双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线交于两点，已知的斜率为，，且，，则直线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量=（1，-2），=（2，m），若⊥，则m=______．
14. 已知实数满足约束条件，则的最大值是_________.
15. 已知等比数列前项和为，若，则取最大值时，的值为__________．
16. 当时，恒有成立，则的取值范围是__________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将他们的期中成绩（均为整数）分成六段，，后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：
（1）求，并估计此次期中考试成绩的众数.
（2）利用分层抽样的方法从样本中成绩在和两个分数段内的学生中抽5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
18. 已知，设.
（1）求函数的对称中心；
（2）若中，角所对边分别为，，且外接圆的半径为，是边的中点，求线段长度的最大值.
19. 如图，棱长为的正方体中，.
（1）若是线段的中点，求证：平面；
（2）求三棱锥体积.
20. 已知点是椭圆的右焦点，过原点的直线交椭圆于两点，△面积的最大值为，.
（1）求椭圆标准方程；
（2）已知过点的直线与椭圆交于两点，是否存在定点，使得直线的斜率之和为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.
21. 已知函数
（1）是否存在实数使得在区间上恒成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由；
（2）求函数在区间上零点个数（为自然对数的底数）.
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22. 在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线过定点，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于不同的两点.
（1）若，求线段中点的直角坐标；
（2）若，求的最小值.
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对于正实数，，，满足，证明:.