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四川省泸州市泸县第五中学2023-2024学年高二上学期第一次月考试数学试卷（Word版附解析）
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这是一份四川省泸州市泸县第五中学2023-2024学年高二上学期第一次月考试数学试卷（Word版附解析），文件包含四川省泸州市泸县第五中学2023-2024学年高二上学期第一次月考试数学试题原卷版docx、四川省泸州市泸县第五中学2023-2024学年高二上学期第一次月考试数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1 已知，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 把红､蓝､黑､白4张纸牌随机分给甲､乙､丙､丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A. 对立事件B. 必然事件
C. 互斥但不对立事件D. 不可能事件
3. 设x，，向量，，且，，则（ ）
A. B. C. 3D. 4
4. 在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，若共面，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，平行六面体所有棱长都为1，底面为正方形，．则对角线的长度为（ ）
A. B. C. 2D.
7. 如图，在长方体中，，，为中点，则到平面的距离为（ ）
A. 1B. C. D. 2
8. 在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）．
A. B.
C. D. 4a
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设，是两个不同的平面，是一条直线，以下命题不正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A. 乙发生的概率为B. 丙发生的概率为
C. 甲与丁相互独立D. 丙与丁互为对立事件
11. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ）
A
B. ，夹角的余弦值为
C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数
D. 在上的投影向量为
12. 疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（ ）
A. B. 事件与互斥
C. D. 事件与对立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：
137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为______.
14. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
15. 已知空间中三点，则点A到直线的距离为__________．
16. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论中正确结论的序号是_____．
①若保持，则点在底面内运动路径的长度为
②三棱锥体积的最大值为
③若，则二面角余弦值的最大值为
④若则与所成角的余弦值的最大值为
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知甲､乙､丙参加某项测试时，通过概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．
（1）求甲､乙､丙都通过测试的概率；
（2）求甲､乙､丙至少有一人通过测试的概率；
（3）求甲､乙､丙恰有有两人通过测试的概率．
18. 四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
（1）设向量，，，用、、表示向量、；
（2）求证：、、 三点共线．
19. 9月19日，2023年中国地理标志博览会主会场启动仪式在泸州市成功举行，志愿者的服务工作是丰收节成功举办的重要保障，泸州市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数；
（2）从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．现计划从第四组和第五组抽取的人中，再随机抽取2名作为组长．求选出的两人来自同个一组的概率．
20. 一位同学想调查某学校学生阅读古典四大名著《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》的情况，他随机问了5名同学（√表示已读），得到了以下表格：
（1）现在从这五位同学中选出两位，设事件A为“两位同学都读过《红楼梦》和《三国演义》”，请用集合的形式分别写出样本空间和事件A所包含的所有结果，并计算出事件A的概率；
（2）经过统计，该学校读过《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》四本名著的概率分别为，，，，求一位同学恰好读过其中三本书的概率．
21. 如图，在四棱锥中，，是棱上靠近点三等分点．
（1）证明：平面；
（2）设平面与平面的交线为，若平面平面，，求与平面所成角的正弦值．
22. 如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
（1）求四棱锥的体积的最大值；
（2）若棱的中点为，求的长；《红楼梦》
《三国演义》
《西游记》
《水浒传》
同学A
√
√
√
同学B
√
√
同学C
√
√
同学D
√
√
√
同学E
√
√
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1 已知，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 把红､蓝､黑､白4张纸牌随机分给甲､乙､丙､丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A. 对立事件B. 必然事件
C. 互斥但不对立事件D. 不可能事件
3. 设x，，向量，，且，，则（ ）
A. B. C. 3D. 4
4. 在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，若共面，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，平行六面体所有棱长都为1，底面为正方形，．则对角线的长度为（ ）
A. B. C. 2D.
7. 如图，在长方体中，，，为中点，则到平面的距离为（ ）
A. 1B. C. D. 2
8. 在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）．
A. B.
C. D. 4a
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设，是两个不同的平面，是一条直线，以下命题不正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A. 乙发生的概率为B. 丙发生的概率为
C. 甲与丁相互独立D. 丙与丁互为对立事件
11. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ）
A
B. ，夹角的余弦值为
C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数
D. 在上的投影向量为
12. 疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（ ）
A. B. 事件与互斥
C. D. 事件与对立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：
137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为______.
14. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
15. 已知空间中三点，则点A到直线的距离为__________．
16. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论中正确结论的序号是_____．
①若保持，则点在底面内运动路径的长度为
②三棱锥体积的最大值为
③若，则二面角余弦值的最大值为
④若则与所成角的余弦值的最大值为
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知甲､乙､丙参加某项测试时，通过概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．
（1）求甲､乙､丙都通过测试的概率；
（2）求甲､乙､丙至少有一人通过测试的概率；
（3）求甲､乙､丙恰有有两人通过测试的概率．
18. 四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
（1）设向量，，，用、、表示向量、；
（2）求证：、、 三点共线．
19. 9月19日，2023年中国地理标志博览会主会场启动仪式在泸州市成功举行，志愿者的服务工作是丰收节成功举办的重要保障，泸州市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数；
（2）从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．现计划从第四组和第五组抽取的人中，再随机抽取2名作为组长．求选出的两人来自同个一组的概率．
20. 一位同学想调查某学校学生阅读古典四大名著《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》的情况，他随机问了5名同学（√表示已读），得到了以下表格：
（1）现在从这五位同学中选出两位，设事件A为“两位同学都读过《红楼梦》和《三国演义》”，请用集合的形式分别写出样本空间和事件A所包含的所有结果，并计算出事件A的概率；
（2）经过统计，该学校读过《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》四本名著的概率分别为，，，，求一位同学恰好读过其中三本书的概率．
21. 如图，在四棱锥中，，是棱上靠近点三等分点．
（1）证明：平面；
（2）设平面与平面的交线为，若平面平面，，求与平面所成角的正弦值．
22. 如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
（1）求四棱锥的体积的最大值；
（2）若棱的中点为，求的长；《红楼梦》
《三国演义》
《西游记》
《水浒传》
同学A
√
√
√
同学B
√
√
同学C
√
√
同学D
√
√
√
同学E
√
√
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