重庆市万州第一中学2023-2024学年高一下学期入学考试数学试卷（Word版附解析）

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1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出补集，进而求出交集.
【详解】由题意可得或，则.
故选：A
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题.
【详解】命题“，”的否定是“，”．
故选：B
3. （ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式和两角差的余弦公式即可求出答案．
【详解】
．
故选：B．
4. 函数在上存在零点，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由，即可求得.
【详解】当时，，不存在零点；
当时，是一次函数，必然单调，
故只需即可，
，
解得：.
故选：D.
【点睛】考查零点存在性定理的应用，属基础题.
5. “”是“函数在区间上单调递增”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性之间的关系由对数函数初步确定的范围，再结合基本不等式和充分必要条件判断.
【详解】由题设易知，且，设，
则函数开口向上且对称轴为，
所以在上单调递增，为增函数，
所以．
要使在上单调递增，则，即，
所以，要使对恒成立，
分离参数可得，，因为，当且仅当时取等号，但，所以所以．
综上，．
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，
故选：A．
6. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出右平移个单位后的解析式，对比列出式子即可判断.
【详解】依题意，
，
，
当时，.
故选：B.
【点睛】本题考查三角函数题图象的平移，属于基础题.
7. 设函数，则f(x)（ ）
A. 是偶函数，且在单调递增B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是偶函数，且在单调递增D. 是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
8. 已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作函数的大致图像（实线），平移直线，数形结合得出实数k的取值范围.
【详解】如图，作函数的大致图像（实线），平移直线，由可得，，，故当时，直线与曲线相切；当时，直线经过点，且与曲线有2个不同的交点；当时，直线经过点，且与的图像有3个不同的交点．由图分析可知，当时，的图像与直线有3个不同的交点．
故选：D
二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意求出角三角函数值，然后利用诱导公式、三角恒等变换分析即可.
【详解】设，则，
所以有，，
所以，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：BD.
10. 已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最小值是B. 的最大值是
C. 的最小值是D. 的最大值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式和二次函数的图象与性质，逐一分析选项，即可得出答案．
【详解】对于A：，，，
则，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；
对于B：，，，，当且仅当时等号成立，
，即，故的最大值为，故B正确；
对于C：，，，即，，
，
当时，的最小值为，故C错误；
对于D：，，，即 ，，
，
当时，的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
11. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A. 的图像关于直线对称B. 在上单调递增
C. 在内有4个零点D. 在上的值域为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，再利用正弦型函数的性质解决选项中的相关问题.
【详解】，
因为的最小正周期为，所以，得到.
对于A，令，得函数对称轴方程，当时，，A选项正确；
对于B，令，得函数单调递增区间为，所以在上单调递增，又，故B选项错误；
对于C，令，得，得，若，则x可取，，，即此时函数有3个零点，C选项错误；
对于D，由，得，，所以，D选项正确．
故选：AD
12. 定义在上的函数，对任意的，都有，且函数为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 关于直线对称
B. 在上单调递增
C.
D. 若，则的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据定义判断函数单调性再结合对称性得出单调性判断A,B,C选项，结合函数值及不等式解法判断D选项.
【详解】解：因为对任意的，都有，
所以函数在上单调递增，又因为函数为偶函数，所以函数关于直线对称，所以函数关于直线对称，A正确；
根据函数在上单调递增，且关于直线对称，可得函数在上单调递减，B错误；
因为函数在上单调递减，所以，且，所以，C正确；
由可得，，则结合函数的单调性和对称性可得，
时，，时，，时，，
所以由，可得或，解得或，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，若，则实数 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求出为奇函数且单调递增，从而可求得，从而可求得.
【详解】因为，定义域为，
所以，即为奇函数，
因为在上单调递增，
若，则，
所以，即．
故答案为：.
14. 已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质，可以求出点，把点代入一次函数，得出，然后利用不等式的性质进行求解．
【详解】∵函数且的图象恒过定点，可得 ，∵点在一次函数的图象上，∴，∵，所以 ，当且仅当时取得等号；
故答案为：4
【点睛】求得指数函数过定点是解决该题的关键．基本不等式最值注意“1”的妙用.
15. 已知函数（，）的图象与轴的交点为，且在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据结合求得，然后求出在坐标原点两侧最接近0的两个零点，根据题意列不等式求解即可.
【详解】由题意知，则.因为，所以，所以.
令，得，令，得，
所以在坐标原点两侧最接近0的两个零点分别为和，
由题意且，解得，即的取值范围是.
故答案为：
16. 已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数为______．

【答案】
【解析】
【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式，再验证数值即可得解.
【详解】由图可知，即，所以；
将点代入，有，
所以，，即，，
由于同一个图象对应的解析式通过转化为相同，
不妨取，则，所以，
因为，；
所以由可得或；
因为，
所以结合图形可知，最小正整数应该满足，
又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】方法点睛：已知的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：
（1）由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令（或），即可求出.
（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 求值：已知.
（1）化简；
（2）若是第二象限角，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简函数的解析式即可．
（2）然后正弦函数值，然后利用同角三角函数基本关系式求解即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
， ,
，是第二象限角，．
所以 .
18. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由同角基本关系式可求；
（2）先由同角基本关系式求出，再由，可解.
【小问1详解】
因为，
所以，又，
则，
【小问2详解】
由，
，
所以，则，
所以，
因为，所以.
19. 已知函数，，满足，.
（1）求的解析式；
（2）将的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换可得，根据题意结合正弦函数最值分析求解；
（2）根据图象变换可得，以为整体，结合正弦函数的有界性分析求解.
【小问1详解】
，
由题意可知：在处取到最大值，
则，解得，
又因为，故只有时成立，得，
所以；
【小问2详解】
将的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，得到的图象，
再将得到的图象向左平移个单位长度，
得的图象.
令，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
故，所以，
当时，，当时，，
故在上的值域为.
20. 如图为某市拟建的一块运动场地的平面图，其中有一条运动赛道由三部分构成：赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数在的图象，且图象的最高点为）；赛道的中间部分为长度是的水平跑道；赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧.
（1）求，和的值；
（2）若要在圆弧赛道所对应扇形区域内建一个矩形草坪，如图所示，记，求矩形草坪面积的最大值及此时的值.
【答案】（1），,；
（2）当时，.
【解析】
【分析】（1）根据三角形函数的图像性质求值；
（2）由题意，表示出，，，从而得到矩形草坪面积的表达式，由三角恒等变形求最值.
【小问1详解】
由题意可得，
则，故，
将点代入，得，
所以，又，所以，
从而可得曲线段的解析式为，
令，可得，所以，
所以，则，
.
【小问2详解】
由(1)，可知，
又易知当矩形草坪的面积最大时，点在弧上，故，
由,
则，，，
所以矩形草坪的面积为
.
又，所以,
故当，即时，，
矩形草坪面积取得最大值．
21. 已知函数对于任意实数x，y，恒有，且当时，，．
（1）求在区间上的最大值和最小值；
（2）若在区间上不存在实数x，满足，求实数a的取值范围．
【答案】（1）最大值和最小值分别为6和
（2）
【解析】
【分析】（1）通过赋值法证明函数为奇函数且单调递增，可求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）利用（1）中的结论，不等式等价于，在区间上无解，即在区间上恒成立，利用二次函数性质求解.
【小问1详解】
由题可知函数的定义域为，令，得，解得，
令，得，所以，所以为奇函数．．
任取，且，则，
因为当时，，所以，即．
因为为奇函数，所以，则，即，
所以在上单调递增．
所以在上的最大值为，最小值为．
因为，令，得．
因为为奇函数，所以．
所以在上的最大值为6，最小值为．
【小问2详解】
由（1）知为奇函数，所以．
由得，即，
又在上单调递增，所以，即．
因为不存在，使得，所以，．
因为抛物线开口向上，所以，解得，
所以a的取值范围是．
22. 已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质．
（1）已知，判断是否满足性质，并说明理由；
（2）若满足性质，且定义域为．
已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由；
若在上单调递增，判定并证明在上的单调性．
【答案】22. 不满足，理由见解析
23. ，没有正整数解，理由见解析；在上单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接根据性质列式计算验证即可；
（2）通过可求得函数的解析式，先假设方程有正整数解，然后列方程找到矛盾即可；任取，计算判断的正负即可证明．
【小问1详解】
因为不恒成立，
所以不满足性质；
【小问2详解】
当时，，
此时，
又当时，，所以，
所以，
假设方程有正整数解，
则，
要使上式能成立，则必有，，，
所以，
明显为单调递增函数，
又当时，，
当时，，
故方程没有正整数解；
证明：任取，则，
则，
因为在上单调递增，且，
所以，
所以，
即
所以在上单调递增．
【点睛】方法点睛：对于新定义问题，直接模仿定义中的条件来列式计算即可对（1）问求解，然后结合新定义及函数的单调性从而可对（2）问进行求解.