福建省泉州台商投资区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（满分：150分 考试时间：120分钟）
友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
1. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简各选项后，根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式判断．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、，与不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与是同类二次根式，符合题意；
D、，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选C．
【点睛】此题考查同类二次根式问题，正确对根式进行化简，以及正确理解同类二次根式的定义是解决问题的关键．注意只有同类二次根式才能合并．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的化简和计算．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再逐一判断即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
3. 用配方法解方程，原方程应变为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将常数项移到右边，两边再同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】对进行配方：
移项，得：，
两边同时加上一次项系数一半的平方，即，得：
，
整理，得：，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的配方，熟练掌握配方的过程是本题的解题关键．
4. 已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根，则x1＋x2－x1·x2的值是（ ）
A. 1B. 3C. －1D. －3
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据根与系数关系求解．
详解】由题意知：，，
∴原式＝2－（－1）＝3
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则，．
5. 建平县某中学九年级各班举行篮球比赛，每两个班之间都要赛一场，共赛10场，设共有x个班参赛，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】共有x个班参赛，每个班需要比赛场，再根据每两个班之间都要赛一场，可知．
【详解】解：共有x个班参赛，
每个班需要比赛场，
又每两个班之间都要赛一场，共赛10场，
，
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据比赛规则找出等量关系．
6. 三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（ ）
A. 23B. 23或33C. 24D. 24或30
【答案】B
【解析】
【分析】先求方程的解 ，再根据三角形三边之间的关系判断是否能构成三角形，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
∵，
∴7，11，5能组成三角形，
∵，
∴7，11，15能组成三角形，
∴该三角形的周长是或，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法和步骤，以及三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
7. 如果等边三角形的边长为3，那么连接各边中点所成的三角形的周长为( )
A. 9B. 6C. 3D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：如图，根据三角形的中位线，由E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，得出EF=BC，FG=AB，EG=AC，代入求出△EFG的周长是EF+FG+EG=（AB+BC+AC）=×（3+3+3）=．
故选D.
点睛：本题考查了等边三角形的性质和三角形的中位线定理，解此题关键是求出EF、FG、EG的长，题目比较好，难度适中．
8. 我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为.如图，在中，，，平分交于点D，若，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得，然后利用等角对等边可得，从而可得是“黄金三角形”，最后进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
平分，
，
，
，
，
是“黄金三角形”，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握黄金分割，以及等腰三角形的判定是解题的关键．
9. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC.BD相交于O，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据△AOD与△DOC面积的比，求出它们底边AO:OC的比是1:3，又由AD∥BC，所以△AOD∽△BOC，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】∵，设 底边上的高为

∵AD∥BC,
∴△AOD∽△COB，
∴
故选B.
【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键.
10. 如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有( )
①∠ADG=∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2=AE•EG；④若AB=4，AD=5，则CE=1．
A. ①②③④B. ①②③C. ①③④D. ①②
【答案】B
【解析】
【分析】利用折叠的性质可以得出四边形DEFG是菱形，再证△DOE∽△ADE，结合矩形的性质和勾股定理逐一判断即可．
【详解】(1)由折叠的性质可得：∠ADG=∠AFG(故①正确)；
(2)由折叠的性质可知：∠DGE=∠FGE，∠DEG=∠FEG，DE=FE，
∵FG∥CD，
∴∠FGE=∠DEG，
∴∠DGE=∠FEG，
∴DG∥FE，
∴四边形DEFG是平行四边形，
又∵DE=FE，
∴四边形DEFG是菱形(故②正确)；
(3)如图所示，连接DF交AE于O，
∵四边形DEFG菱形，
∴GE⊥DF，OG=OE=GE，
∵∠DOE=∠ADE=90°，∠OED=∠DEA，
∴△DOE∽△ADE，
∴，即DE2=EO•AE，
∵EO=GE，DE=DG，
∴DG2=AE•EG，故③正确；
(4)由折叠的性质可知，AF=AD=5，DE=FE，
∵AB=4，∠B=90°，
∴BF=，
∴FC=BC-BF=2，
设CE=x，则FE=DE=4-x，
在Rt△CEF中，由勾股定理可得：，解得：．
故④错误；
综上所述，正确的结论是①②③．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，综合运用这些知识是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 如果式子有意义，那么x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，进行计算即可．
【详解】解：由题意得：，解得：；
故答案为：
【点睛】本题考查二次根数有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法，先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可，解题关键是掌握二次根式的乘法法则．
【详解】解：,
故答案为：．
13. 已知x=2是方程x2+ax－2=0的根，则a=______.
【答案】-1
【解析】
【分析】把x=2代入方程x2+ax-2=0得到关于a的一元一次方程，解之即可．
【详解】解：把x=2代入方程x2+ax-2=0得：
4+2a-2=0，
解得：a=-1，
故答案为-1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键．
14. 如果两个相似三角形的对应高之比是，则它们的面积之比是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．
【详解】解：两个相似三角形的相似比是，
它们的面积为．
故答案为：．
15. 如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE＝DB，作EF⊥DE，并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C，设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式为_____．
【答案】y＝（0＜x≤2）
【解析】
【分析】作FH⊥BC于H．证明△DBE≌△EHF，则FH＝BE＝x，EH＝BD＝2BE＝2x，由求得自变量的范围，根据FH∥AB，得＝，即可求解．
【详解】解：作FH⊥BC于H．
∵∠DBE＝∠DEF＝∠EMF＝90°，
∴∠DEB+∠BDE＝90°，∠DEB+∠FEH＝90°，
∴∠BDE＝∠FEH．
在△DBE和△EHF中，
，
∴△DBE≌△EHF，
BE＝DB，
∴FH＝BE＝x，EH＝BD＝2BE＝2x，
, AB＝4，
，即
∵FH∥AB，
∴＝，
∴＝，
∴y＝（0＜x≤2）．
故答案为：y＝（0＜x≤2）．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，函数关系式，证明是解题的关键．
16. 如图，△CAB与△CDE均是等腰直角三角形，并且∠ACB＝∠DCE＝90°．连接BE，AD的延长线与BC、BE的交点分别是点G与点F，且AF⊥BE，将△CDE绕点C旋转直至CD∥BE时，若DA＝4.5，DG＝2，则BF的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据平行线的性质、直角三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，由此可得的长，然后根据矩形的判定与性质可得，最后根据三角形全等的判定定理与性质可得，利用线段的和差即可得．
【详解】，
，
和均是等腰直角三角形, 且，
，
，
在和中，，
，
，即，
解得或（不符题意，舍去），
，
四边形是矩形，
，
又，
，
，
在和中，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出相似三角形和全等三角形是解题关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先化简二次根式、计算特殊角的三角函数、去绝对值，再混合计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查含特殊角三角函数值的实数混合运算．掌握其运算法则及熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则化简，再将a的值代入化简之后的式子即可求出答案．
【详解】解：原式
．
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19. 解方程：．
【答案】x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣
【解析】
【分析】先化二次项系数为1，然后常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，然后配成完全平方，再开方求解即可．
【详解】解：
二次项系数化为1，得：，
移项得：，
左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，得：
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法．将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
（1）请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为1∶2，变换后点的对应点分别为点，点在第一象限；
（2）若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为 ．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点坐标即可．
【小问1详解】
解：如图所示：△即为所求；
；
【小问2详解】
解：若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为：．
故答案为：．
21. 如图，在△ABC中，AB＝，AC，点D在AC上，且AD＝AB，
(1)用尺规作图作出点D(保留作图痕迹，不必写作法)；
(2)连接BD，并证明：△ABD∽△ACB．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）先尺规作线段AB的垂直平分线，再以点A为圆心，以AB的一半作弧，与AC的交点即为点D的位置；
（2）根据两边成比例且夹角相等证明即可．
【详解】解：（1）点D的位置如图所示：
（2）∵，且∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和相似三角形的判定，熟练掌握上述知识是解题的关键．
22. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根绝对值相等，求此时的值．
【答案】（1）见解析 （2）或
【解析】
【分析】先根据题意求出的值，再根据一元二次方程根的情况与根的判别式的关系即可得出结论；
利用因式分解法求得方程的解，然后根据题意列出关于的方程，解方程即可得到结论．
【小问1详解】
证明：，
方程总有两个实数根．
【小问2详解】
解：，
，
，．
方程两个根的绝对值相等，
．
或．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，掌握判别式与的关系判定方程根的情况是解决本题的关键．
23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）
（2）该品牌头盔的实际售价应定为50元
【解析】
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案．
【小问1详解】
解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
∴该品牌头盔销售量的月增长率为；
【小问2详解】
解：设该品牌头盔的实际售价应定为元，
由题意得，
整理得，
解得或，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法．
24. 如图，在四边形中，，，，，．
（1）求的长；
（2）动点M从B点出发沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．
①当时，求t的值；
②试探究：t为何值时，为等腰三角形．
【答案】（1）10；（2）①秒；②秒或 秒或秒．
【解析】
【分析】（1）作梯形的两条高，根据直角三角形性质与矩形性质进一步求解即可；
（2）平移梯形的腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质进一步求解即可；
（3）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以考虑三种情况，结合路程=速度×时间求得其中有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的方法进一步求解即可．
【详解】解：（1）如图①，过A、D分别作AK⊥BC于K，作DH⊥BC于H，
则四边形ADHK为矩形，
∴KH=AD=3，AK=DH，
在Rt△ABK中，
∴AK=AB∙sin45°==4，
又∵，
∴∠BAK=45°，
∴BK=AK=4，
∴DH=AK=4，
在Rt△CDH中，由勾股定理可得：
HC=，
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10；
（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，
则四边形ADGB为平行四边形，
∴BG=AD=3，
∴GC=10−3=7，
由题意得，当M、N运动t秒后，CN=2t，CM=10−3t，
∵AB∥DG，MN∥AB，
∴DG∥MN，
∴∠NMC=∠DGC，
又∵∠C=∠C，
∴△MNC~△GDC，
∴,
∴，
解得t=；
（3）第一种情况：当NC=MC时，如图③，
此时2t=10−3t，
∴t=；
第二种情况：当MN=NC时，如图④，作NE⊥MC于E，DH⊥BC于H，
∵∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°，
∴△NEC~△DHC，
∴，
即：，
解得：t=；
第三种情况：当MN=MC时，如图⑤，作DH⊥BC于H ，MF⊥CN于F，则FC=，
∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，
∴△MFC~△DHC，
∴，
即：，
解得：t=；
综上所述，当t=、t=或t=时，△MNC为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形与等腰三角形的动点问题，熟练掌握相关概念是解题关键．
25. 已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处．
（1）如图1，已知折痕与边交于点，连结、、．
①求证：∽；
②若与面积比为，求边的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕、线段，连结．动点在线段上（点与点、不重合），动点在线段的延长线上，且，连结交于点，作于点E.试问当点、在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
【答案】（1）①见解析；②10；（2）不变，
【解析】
【分析】（1）①只要证明∠PAD=∠CPO，由∠D=∠C=90°，即可证出△OCP∽△PDA；
②根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长．
（2）作MQ//AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，由（1）中的结论求出PB，即可判断．
【详解】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B．
∴∠APO=90°．
∴∠APD=90°-∠CPO=∠POC．
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．
∴△OCP∽△PDA；
②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，△OCP∽△PDA；
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．
∵AD=8，
∴CP=4；
∵BC=AD=8．
设OP=x，则OB=x，CO=8-x．
在Rt△PCO中，
∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8-x，
∴x2=（8-x）2+42．
解得：x=5．
∴AB=AP=2OP=10．
∴边AB的长为10．
（2）结论：线段EF的长度不发生变化，
理由：如图2中，作MQ∥AN，交PB于点Q，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP=∠MQP．
∴MP=MQ，
∵BN=PM，
∴BN=QM．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，
∴△MFQ≌△NFB（AAS），
∴QF=FB，
∴
∴
由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，
∴
∴
∴当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为
【点睛】此题考查了相似形综合题、全等三角形的判定与性质、翻折的性质，勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，