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2024年高考一轮复习精细讲义第13讲 抛体运动(原卷版+解析)
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这是一份2024年高考一轮复习精细讲义第13讲 抛体运动(原卷版+解析)，共44页。试卷主要包含了定义，性质，合运动，速度改变量，两个重要推论，如图，两个靠得很近的小球等内容，欢迎下载使用。
考点一 平抛运动的基本规律
一．平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动，叫平抛运动．
2．性质：平抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
二．平抛运动的规律
以抛出点为原点，以水平方向(初速度v0方向)为x轴，以竖直向下的方向为y轴建立平面直角坐标系，则
1．水平方向：做匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t.
2．竖直方向：做自由落体运动，速度：vy＝gt，位移：y＝eq \f(1,2)gt2
3．合运动
(1)合速度：v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))＝eq \r(v\\al(2,0)＋gt2)，方向与水平方向夹角为θ，则tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0).
(2)合位移：s＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(v0t2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)gt2))2)，方向与水平方向夹角为α，则tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0).
1．飞行时间：由t＝eq \r(\f(2h,g))知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
2．水平射程：x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
3．落地速度：vt＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))＝eq \r(v\\al(2,0)＋2gh)，以α表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan α＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(\r(2gh),v0)，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关．
4．速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示．
5．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图乙中A点和B点所示．
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
三．斜抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿斜向上或斜向下抛出，物体仅在重力的作用下所做的运动，叫做斜抛运动．
2．性质：加速度恒为g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
3．基本规律
以斜向上抛为例说明，如图所示．
(1)水平方向：v0x＝v0cs_θ，F合x＝0.
(2)竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg.
因此斜抛运动可以看做是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上(下)抛运动的合运动．
【典例1】做平抛运动的物体，落地过程在水平方向通过的距离取决于( )
A．物体的初始高度和所受重力
B．物体的初始高度和初速度
C．物体所受的重力和初速度
D．物体所受的重力、初始高度和初速度
【典例2】如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点．O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为( )
A. eq \r(\f(3gR,2)) B． eq \r(\f(3\r(3)gR,2))
C. eq \r(\f(\r(3)gR,2)) D.eq \r(\f(\r(3)gR,3))
【典例3】从某高度水平抛出一小球，经过t时间到达地面时，速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列结论中正确的是( )
A．小球初速度为gttan θ
B．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
C．小球着地速度大小为eq \f(gt,sin θ)
D．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ
【典例4】距地面高5 m的水平直轨道上A、B两点相距2 m，在B点用细线悬挂一小球，离地高度为h，如图．小车始终以4 m/s的速度沿轨道匀速运动，经过A点时将随车携带的小球由轨道高度自由卸下，小车运动至B点时细线被轧断，最后两球同时落地．不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2.可求得h等于( )
A．1.25 m B．2.25 m
C．3.75 m D．4.75 m
分解思想在平抛运动中的应用
(1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度．
(2)画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方向间的关系，通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知量．
考点二 类平抛运动
1．受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直．
2．运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝eq \f(F合,m).
3．求解技巧
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
【典例1】(多选)如图所示，两个足够大的倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等．有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于斜面同一高度处，其中小球b在两斜面之间，a、c分别在两斜面顶端．若同时释放a、b、c，小球到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3.若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，小球到达水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′.下列关于时间的关系正确的是( )
A．t1＞t3＞t2 B．t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′
C．t1′＞t3′＞t2′ D．t1＜t1′、t2＜t2′、t3＜t3′
【典例2】质量为m的飞机以水平初速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)．今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h，如图所示，求：
(1)飞机受到的升力大小；
(2)上升至h高度时飞机的速度．
考点三 多体平抛问题
1．多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时所涉及的问题．
2．三类常见的多体平抛运动
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动．
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定．
(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动．
【典例1】如图所示，在距水平地面分别为H和4H的高度处，同时将质量相同的a、b两小球以相同的初速度v0水平抛出，则以下判断正确的是( )
A．a、b两小球同时落地
B．两小球落地速度的方向相同
C．a、b两小球水平位移之比为1∶2
D．a、b两小球水平位移之比为1∶4
【典例2】如图所示，半圆形容器竖直放置，从其圆心O点处分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，己知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成θ角，则两小球的初速度之比为( )
A.eq \r(tan θ) B．tan θ
C.eq \r(tan3θ) D．tan2θ
(1)物体做平抛运动的时间由物体被抛出点的高度决定，而物体的水平位移由物体被抛出点的高度和物体的初速度共同决定．
(2)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处．
考点四 斜面上的平抛运动
与斜面相关的平抛运动，其特点是做平抛运动的物体落在斜面上，包括两种情况：
1．物体从空中抛出垂直落在斜面上；
2．从斜面上抛出落在斜面上．
在解答这类问题时，除了要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决．两种模型对比如下：
题组一 顺着斜面的平抛运动
【典例1】跳台滑雪运动员的动作惊险而优美，其实滑雪运动可抽象为物体在斜坡上的平抛运动．如图所示，设可视为质点的滑雪运动员从倾角为θ的斜坡顶端P处，以初速度v0水平飞出，运动员最后又落到斜坡上A点处，AP之间距离为L，在空中运动时间为t，改变初速度v0的大小，L和t都随之改变．关于L、t与v0的关系，下列说法中正确的是( )
A．L与v0成正比B．L与v0成反比
C．t与v0成正比 D．t与veq \\al(2,0)成正比
【典例2】如图所示，滑板运动员从倾角为53°的斜坡顶端滑下，滑下的过程中他突然发现在斜面底端有一个高h＝1.4 m、宽L＝1.2 m的长方体障碍物，为了不触及这个障碍物，他必须在距水平地面高度H＝3.2 m的A点沿水平方向跳起离开斜面(竖直方向的速度变为零)．己知运动员的滑板与斜面间的动摩擦因数μ＝0.1，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.(已知sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6)求：
(1)运动员在斜面上滑行的加速度的大小；
(2)若运动员不触及障碍物，他从斜面上起跳后到落至水平面的过程所经历的时间；
(3)运动员为了不触及障碍物，他从A点沿水平方向起跳的最小速度．
题组二 对着斜面的平抛运动
【典例3】(多选) 如图所示，A、D分别是斜面的顶端、底端，B、C是斜面上的两个点，AB＝BC＝CD，E点在D点的正上方，与A等高．从E点以一定的水平速度抛出质量相等的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过程( )
A．球1和球2运动的时间之比为2∶1
B．球1和球2动能增加量之比为1∶2
C．球1和球2抛出时初速度之比为2eq \r(2)∶1
D．球1和球2运动时的加速度之比为1∶2
【典例4】如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t为(重力加速度为g)( )
A.eq \f(v0tan θ,g) B．eq \f(2v0tan θ,g)
C.eq \f(v0ct θ,g) D.eq \f(2v0ct θ,g)
(1)物体的竖直位移与水平位移之比是同一个常数，这个常数等于斜面倾角的正切值；
(2)当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远．
考点五 平抛运动中的临界问题
(1)在体育运动中，像乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界，某物理量(尤其是球速)往往要有一定的范围限制，在这类问题中，确定临界状态，画好临界轨迹，是解决问题的关键点．
(2)分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件．
【典例1】如图所示，水平屋顶高H＝5 m，墙高h＝3.2 m，墙到房子的距离L＝3 m，墙外马路宽x＝10 m，小球从房顶水平飞出，落在墙外的马路上，g＝10 m/s2.求：
(1)小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；
(2)小球落在马路上的最小速度．
【典例2】(多选)如图所示，一高度为h的光滑水平面与一倾角为θ的斜面连接，一小球以速度v从平面的右端P点向右水平抛出，则小球在空中运动的时间t( )
A．一定与v的大小有关
B．一定与v的大小无关
C．当v大于 eq \r(\f(gh,2))ct θ时，t与v无关
D．当v小于 eq \r(\f(gh,2))ct θ时，t与v有关
【典例3】一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A.eq \f(L1,2)eq \r(\f(g,6h))＜v＜L1eq \r(\f(g,6h))
B.eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h))＜v＜ eq \r(\f(4L\\al(2,1)＋L\\al(2,2)g,6h))
C.eq \f(L1,2)eq \r(\f(g,6h))＜v＜eq \f(1,2) eq \r(\f(4L\\al(2,1)＋L\\al(2,2)g,6h))
D.eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h))＜v＜eq \f(1,2) eq \r(\f(4L\\al(2,1)＋L\\al(2,2)g,6h))
1．物体做平抛运动时，下列描述物体的速度变化量大小Δv随时间t变化的图象中，可能正确的是( )
2．游乐场内两支玩具枪在同一位置先后沿水平方向各射出一颗子弹，打在远处的同一个靶上，A为甲枪子弹留下的弹孔，B为乙枪子弹留下的弹孔，两弹孔在竖直方向上相距高度为h，如图所示，不计空气阻力．关于两枪射出子弹的初速度大小，下列判断正确的是( )
A．甲枪射出的子弹初速度较大
B．乙枪射出的子弹初速度较大
C．甲、乙两枪射出的子弹初速度一样大
D．无法比较甲、乙两枪射出的子弹初速度的大小
3．在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中( )
A．速度和加速度的方向都在不断改变
B．速度与加速度方向之间的夹角一直减小
C．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等
D．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等
4．如图所示，某同学将一枚飞镖从高于靶心的位置水平投向竖直悬挂的靶盘，结果飞镖打在靶心的正下方．忽略飞镖运动过程中所受空气阻力，在其他条件不变的情况下，为使飞镖命中靶心，他在下次投掷时可以( )
A．换用质量稍大些的飞镖
B．适当增大投飞镖的高度
C．到稍远些的地方投飞镖
D．适当减小投飞镖的初速度
5．(多选)如图所示，相同的乒乓球1、2恰好在等高处水平越过球网，不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自最高点到落台的过程中，下列说法正确的是( )
A．过网时球1的速度小于球2的速度
B．球1的飞行时间大于球2的飞行时间
C．球1的速度变化率等于球2的速度变化率
D．落台时，球1的重力功率等于球2的重力功率
6. 如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg.不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8；g取10 m/s2)．求：
(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小；
(3)运动员从O点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间．
7. 如图所示，从A点由静止释放一弹性小球，一段时间后与固定斜面上B点发生碰撞，碰后小球速度大小不变，方向变为水平方向，又经过相同的时间落于地面上C点，已知地面上D点位于B点正下方，B、D间的距离为h，则( )
A．A、B两点间的距离为eq \f(h,2)
B．A、B两点间的距离为eq \f(h,3)
C．C、D两点间的距离为2h
D．C、D两点间的距离为eq \f(2\r(3),3)h
8. 如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为( )
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶2 D．2∶3
9. 如图所示，一个小球从一斜面顶端分别以v10、v20、v30水平抛出，分别落在斜面上1、2、3点，落到斜面时竖直分速度分别是v1y、v2y、v3y，则( )
A.eq \f(v1y,v10)＞eq \f(v2y,v20)＞eq \f(v3y,v30) B.eq \f(v1y,v10)＜eq \f(v2y,v20)＜eq \f(v3y,v30)
C.eq \f(v1y,v10)＝eq \f(v2y,v20)＝eq \f(v3y,v30) D．条件不足，无法比较
10．如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，则( )
A．P→Q所用的时间t＝2 eq \r(\f(2l,gsin θ))
B．P→Q所用的时间t＝eq \r(\f(2l,g))
C．初速度v0＝b eq \r(\f(gsin θ,2l))
D．初速度v0＝beq \r(\f(g,2l))
11．(多选) 如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是( )
A．球的速度v等于L eq \r(\f(g,2H))
B．球从击出至落地所用时间为 eq \r(\f(2H,g))
C．球从击球点至落地点的位移等于L
D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
12．如图所示，倾角为37°的粗糙斜面的底端有一质量m＝1 kg的凹形小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25.现小滑块以某一初速度v从斜面底端上滑，同时在斜面底端正上方有一小球以v0水平抛出，经过0.4 s，小
球恰好垂直斜面方向落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中．(已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)，g取10 m/s2.求：
(1)小球水平抛出的速度v0；
(2)小滑块的初速度v.
13．（多选）如图所示，AC是倾角为的固定斜面，CD部分为水平面，小球从斜面顶端A点以初速度v0水平抛出，刚好落在斜面上的B点，。现将小球从斜面顶端A点以初速度2v0水平抛出（不计空气阻力，小球下落后均不弹起，重力加速度为g），则小球前后两次在空中运动过程中（ ）
A．时间之比为
B．水平位移之比为1：3
C．当初速度为2v0时，小球从抛出到离斜面的最远的时间为
D．当初速度为v0时，小球在空中离斜面的最远距离为
14．（多选）一苹果在距地面高的地方由静止开始自由下落，地面上与苹果在同一竖直平面内且与苹果水平相距的地方斜向上射出一飞刀，要使飞刀在空中射中苹果，则飞刀射出时的速度大小可能的是（ ）
A．B．C．D．
15．（多选）如图所示，一架飞机沿水平方向匀速飞行，刚刚到达山坡底端正上方时，立即释放—颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A。已知A距山坡底端的高度为h，山坡的倾角为，重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．炸弹的竖直位移与水平位移的大小之比为
B．飞机投弹时距山坡底端的高度为
C．炸弹运动的时间为
D．炸弹落到山坡上的瞬时速度大小为
16．（多选）如图所示，两相同的斜面倾角均为，高度为h，从左侧斜面顶端以一定初速度水平抛出一个小球，已知重力加速度为g，不计空气阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．小球可能垂直落在斜面上
B．小球落在斜面上时水平位移与初速度的平方成正比
C．小球落在斜面上时运动时间与初速度成正比
D．小球下落到斜面上高度为处时，初速度可能为
17．从高处的点A先后水平抛出两个小球1和2，球1与地面碰撞一次后，恰好越过位于水平地面上高为h的竖直挡板，然后落在水平地面上的D点，碰前碰后的速度水平方向不变，竖直方向等大反向。球2恰好越过挡板也落在D点，忽略空气阻力。挡板的高度h为（ ）
A．B．C．D．
18．如图，两个靠得很近的小球（均可视为质点）从斜面上的同一位置O以不同的初速度做平抛运动，斜面足够长，在斜面上的落点分别为A、B，在空中运动的时间分别为，落到斜面前瞬间的速度与斜面的夹角分别为，已知。下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．B球在空中离斜面最远时，其速度方向与斜面平行D．
19．“刀削面”是一种广受消费者喜爱的面食，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，厨师将小面圈沿锅的某条半径方向水平削出，小面圈距锅的高度，与锅沿的最近水平距离，锅可视为半径的半球壳（不计锅的厚度），水面到锅底的距离。不计一切阻力，小面圈的运动可视为平抛运动，则（ ）
A．落入锅中的小面圈速度的变化量均相同
B．落入锅中的小面圈，速度范围为
C．直接落入水中的小面圈，速度范围为
D．直接落入水中的小面圈，速度范围为
方法
内容
斜面
总结
分解速度
水平：vx＝v0
竖直：vy＝gt
合速度：
v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))
分解速度，构建速度三角形
分解位移
水平：x＝v0t
竖直：y＝eq \f(1,2)gt2
合位移：s＝eq \r(x2＋y2)
分解位移，构建位移三角形
第13讲 抛体运动
——划重点之精细讲义系列
考点一 平抛运动的基本规律
一．平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动，叫平抛运动．
2．性质：平抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
二．平抛运动的规律
以抛出点为原点，以水平方向(初速度v0方向)为x轴，以竖直向下的方向为y轴建立平面直角坐标系，则
1．水平方向：做匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t.
2．竖直方向：做自由落体运动，速度：vy＝gt，位移：y＝eq \f(1,2)gt2
3．合运动
(1)合速度：v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))＝eq \r(v\\al(2,0)＋gt2)，方向与水平方向夹角为θ，则tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0).
(2)合位移：s＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(v0t2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)gt2))2)，方向与水平方向夹角为α，则tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0).
1．飞行时间：由t＝eq \r(\f(2h,g))知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
2．水平射程：x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
3．落地速度：vt＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))＝eq \r(v\\al(2,0)＋2gh)，以α表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan α＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(\r(2gh),v0)，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关．
4．速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示．
5．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图乙中A点和B点所示．
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
三．斜抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿斜向上或斜向下抛出，物体仅在重力的作用下所做的运动，叫做斜抛运动．
2．性质：加速度恒为g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
3．基本规律
以斜向上抛为例说明，如图所示．
(1)水平方向：v0x＝v0cs_θ，F合x＝0.
(2)竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg.
因此斜抛运动可以看做是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上(下)抛运动的合运动．
【典例1】做平抛运动的物体，落地过程在水平方向通过的距离取决于( )
A．物体的初始高度和所受重力
B．物体的初始高度和初速度
C．物体所受的重力和初速度
D．物体所受的重力、初始高度和初速度
解析：选B.水平方向通过的距离x＝v0t，由h＝eq \f(1,2)gt2得t＝eq \r(\f(2h,g))，所以时间t由高度h决定；又x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，故x由初始高度h和初速度v0共同决定，B正确．
【典例2】如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点．O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为( )
A. eq \r(\f(3gR,2)) B． eq \r(\f(3\r(3)gR,2))
C. eq \r(\f(\r(3)gR,2)) D.eq \r(\f(\r(3)gR,3))
解析：选B.画出小球在B点速度的分解矢量图，如图所示．由图可知，tan 60°＝eq \f(v0,gt)，R(1＋cs 60°)＝v0t，联立解得v0＝eq \r(\f(3\r(3)gR,2))，选项B正确．
【典例3】从某高度水平抛出一小球，经过t时间到达地面时，速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列结论中正确的是( )
A．小球初速度为gttan θ
B．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
C．小球着地速度大小为eq \f(gt,sin θ)
D．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ
解析：选C. 如图所示，小球竖直方向的速度为vy＝gt，则初速度为v0＝gtct θ，落地时速度v＝eq \f(gt,sin θ)，选项C正确，A错误；平抛运动的时间t＝ eq \r(\f(2y,g))，由高度决定，选项B错误；设位移方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0)，tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)，则tan θ＝2tan α，选项D错误．
【典例4】距地面高5 m的水平直轨道上A、B两点相距2 m，在B点用细线悬挂一小球，离地高度为h，如图．小车始终以4 m/s的速度沿轨道匀速运动，经过A点时将随车携带的小球由轨道高度自由卸下，小车运动至B点时细线被轧断，最后两球同时落地．不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2.可求得h等于( )
A．1.25 m B．2.25 m
C．3.75 m D．4.75 m
解析：选A.根据两球同时落地可得 eq \r(\f(2H,g))＝eq \f(dAB,v)＋eq \r(\f(2h,g))，代入数据得h＝1.25 m，选项A正确．
分解思想在平抛运动中的应用
(1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度．
(2)画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方向间的关系，通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知量．
考点二 类平抛运动
1．受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直．
2．运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝eq \f(F合,m).
3．求解技巧
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
【典例1】(多选)如图所示，两个足够大的倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等．有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于斜面同一高度处，其中小球b在两斜面之间，a、c分别在两斜面顶端．若同时释放a、b、c，小球到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3.若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，小球到达水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′.下列关于时间的关系正确的是( )
A．t1＞t3＞t2 B．t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′
C．t1′＞t3′＞t2′ D．t1＜t1′、t2＜t2′、t3＜t3′
解析：选ABC.由静止释放三个小球时，对a：eq \f(h,sin 30°)＝eq \f(1,2)g·sin 30°·teq \\al(2,1)，则teq \\al(2,1)＝eq \f(8h,g)；对b：h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，则teq \\al(2,2)＝eq \f(2h,g)；对c：eq \f(h,sin 45°)＝eq \f(1,2)gsin 45°·Teq \\al(2,3)，则teq \\al(2,3)＝eq \f(4h,g)，所以t1＞t3＞t2.当水平抛出三个小球时，小球b做平抛运动，小球a、c在斜面内做类平抛运动．沿斜面方向的运动同第一种情况，所以t1＝t1′，t2＝t2′，t3＝t3′，故A、B、C正确．
【典例2】质量为m的飞机以水平初速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)．今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h，如图所示，求：
(1)飞机受到的升力大小；
(2)上升至h高度时飞机的速度．
解析：(1)飞机做类平抛运动，则：
水平方向l＝v0t
竖直方向h＝eq \f(1,2)at2
解得a＝eq \f(2v\\al(2,0)h,l2)
对飞机由牛顿第二定律得
F－mg＝ma
解得F＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(g＋\f(2v\\al(2,0)h,l2)))
(2)竖直方向veq \\al(2,y)＝2ah
v＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))
解得v＝eq \f(v0,l) eq \r(l2＋4h2)
设速度方向与初速度v0方向的夹角为θ，则：
tan θ＝eq \f(vy,v0)
解得θ＝arctaneq \f(2h,l)
答案：(1)meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(g＋\f(2v\\al(2,0)h,l2)))
(2)eq \f(v0,l) eq \r(l2＋4h2)，方向与v0的夹角为arctaneq \f(2h,l)
考点三 多体平抛问题
1．多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时所涉及的问题．
2．三类常见的多体平抛运动
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动．
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定．
(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动．
【典例1】如图所示，在距水平地面分别为H和4H的高度处，同时将质量相同的a、b两小球以相同的初速度v0水平抛出，则以下判断正确的是( )
A．a、b两小球同时落地
B．两小球落地速度的方向相同
C．a、b两小球水平位移之比为1∶2
D．a、b两小球水平位移之比为1∶4
解析：选C.由H＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,a)，4H＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,b)可得tb＝2ta，A错误；由x＝v0t可知，xa∶xb＝1∶2，C正确，D错误；设落地时速度与水平方向夹角为θ，则由tan θ＝eq \f(gt,v0)可知，tan θa∶tan θb＝1∶2，θa≠θb，B错误．
【典例2】如图所示，半圆形容器竖直放置，从其圆心O点处分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，己知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成θ角，则两小球的初速度之比为( )
A.eq \r(tan θ) B．tan θ
C.eq \r(tan3θ) D．tan2θ
解析：选C.由平抛运动规律得，水平方向Rsin θ＝v1t1，Rcs θ＝v2t2，竖直方向Rcs θ＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，Rsin θ＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，联立解得eq \f(v1,v2)＝ eq \r(tan3θ)，选项C正确．
(1)物体做平抛运动的时间由物体被抛出点的高度决定，而物体的水平位移由物体被抛出点的高度和物体的初速度共同决定．
(2)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处．
考点四 斜面上的平抛运动
与斜面相关的平抛运动，其特点是做平抛运动的物体落在斜面上，包括两种情况：
1．物体从空中抛出垂直落在斜面上；
2．从斜面上抛出落在斜面上．
在解答这类问题时，除了要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决．两种模型对比如下：
题组一 顺着斜面的平抛运动
【典例1】跳台滑雪运动员的动作惊险而优美，其实滑雪运动可抽象为物体在斜坡上的平抛运动．如图所示，设可视为质点的滑雪运动员从倾角为θ的斜坡顶端P处，以初速度v0水平飞出，运动员最后又落到斜坡上A点处，AP之间距离为L，在空中运动时间为t，改变初速度v0的大小，L和t都随之改变．关于L、t与v0的关系，下列说法中正确的是( )
A．L与v0成正比B．L与v0成反比
C．t与v0成正比 D．t与veq \\al(2,0)成正比
解析：选C.因运动员落在斜面上，故其位移与水平方向的夹角就等于斜面的倾角θ，因此有tan θ＝eq \f(y,x)，其中y＝eq \f(1,2)gt2，x＝v0t，则t＝eq \f(2v0tan θ,g)，L＝eq \f(x,cs θ)＝eq \f(v0t,cs θ)＝eq \f(2v\\al(2,0)tan θ,gcs θ)，故t与v0成正比，L与veq \\al(2,0)成正比，C正确．
【典例2】如图所示，滑板运动员从倾角为53°的斜坡顶端滑下，滑下的过程中他突然发现在斜面底端有一个高h＝1.4 m、宽L＝1.2 m的长方体障碍物，为了不触及这个障碍物，他必须在距水平地面高度H＝3.2 m的A点沿水平方向跳起离开斜面(竖直方向的速度变为零)．己知运动员的滑板与斜面间的动摩擦因数μ＝0.1，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.(已知sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6)求：
(1)运动员在斜面上滑行的加速度的大小；
(2)若运动员不触及障碍物，他从斜面上起跳后到落至水平面的过程所经历的时间；
(3)运动员为了不触及障碍物，他从A点沿水平方向起跳的最小速度．
解析：(1)设运动员连同滑板的质量为m，运动员在斜面滑行的过程中，由牛顿第二定律得
mgsin 53°－μmgcs 53°＝ma
解得a＝gsin 53°－μgcs 53°＝7.4 m/s2
(2)运动员从斜面上起跳后，沿竖直方向做自由落体运动，则H＝eq \f(1,2)gt2
解得t＝0.8 s
(3)为了不触及障碍物，运动员以速度v沿水平方向起跳后竖直下落高度为H－h时，他沿水平方向运动的距离至少为eq \f(H,tan 53°)＋L，设这段时间为t′，则
H－h＝eq \f(1,2)gt′2
eq \f(H,tan 53°)＋L≤vt′
解得v≥6.0 m/s，所以最小速度vmin＝6.0 m/s.
答案：(1)7.4 m/s2 (2)0.8 s (3)6.0 m/s
题组二 对着斜面的平抛运动
【典例3】(多选) 如图所示，A、D分别是斜面的顶端、底端，B、C是斜面上的两个点，AB＝BC＝CD，E点在D点的正上方，与A等高．从E点以一定的水平速度抛出质量相等的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过程( )
A．球1和球2运动的时间之比为2∶1
B．球1和球2动能增加量之比为1∶2
C．球1和球2抛出时初速度之比为2eq \r(2)∶1
D．球1和球2运动时的加速度之比为1∶2
解析：选BC.因为AC＝2AB，所以AC的高度差是AB高度差的2倍，根据h＝eq \f(1,2)gt2得t＝eq \r(\f(2h,g))，解得运动的时间比为1∶eq \r(2)，故A错误；根据动能定理得mgh＝ΔEk，知球1和球2动能增加量之比为1∶2，故B正确；BD在水平方向上的分量是DC在水平方向分量的2倍，结合x＝v0t，解得初速度之比为2eq \r(2)∶1，故C正确；平抛运动的加速度均为g，两球的加速度相同，故D错误．
【典例4】如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t为(重力加速度为g)( )
A.eq \f(v0tan θ,g) B．eq \f(2v0tan θ,g)
C.eq \f(v0ct θ,g) D.eq \f(2v0ct θ,g)
解析：选D.如图所示，要小球到达斜面的位移最小，则要求落点与抛出点的连线与斜面垂直，所以有tan θ＝eq \f(x,y)，而x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，解得t＝eq \f(2v0ct θ,g).
(1)物体的竖直位移与水平位移之比是同一个常数，这个常数等于斜面倾角的正切值；
(2)当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远．
考点五 平抛运动中的临界问题
(1)在体育运动中，像乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界，某物理量(尤其是球速)往往要有一定的范围限制，在这类问题中，确定临界状态，画好临界轨迹，是解决问题的关键点．
(2)分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件．
【典例1】如图所示，水平屋顶高H＝5 m，墙高h＝3.2 m，墙到房子的距离L＝3 m，墙外马路宽x＝10 m，小球从房顶水平飞出，落在墙外的马路上，g＝10 m/s2.求：
(1)小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；
(2)小球落在马路上的最小速度．
解析 (1)设小球恰好落到马路的右侧边缘时，水平初速度为v01，则
L＋x＝v01t1
竖直位移H＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)
联立解得v01＝(L＋x) eq \r(\f(g,2H))＝13 m/s
设小球恰好越过围墙的边缘时，水平初速度为v02，则
水平位移L＝v02t2
竖直位移H－h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)
联立解得v02＝5 m/s
所以小球抛出时的速度大小范围为5 m/s≤v0≤13 m/s.
(2)小球落在马路上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在马路上时，落地速度最小．
竖直方向veq \\al(2,y)＝2gH
又有vmin＝eq \r(v\\al(2,02)＋v\\al(2,y))
解得vmin＝5eq \r(5) m/s
答案 (1)5 m/s≤v0≤13 m/s (2)5eq \r(5) m/s
【典例2】(多选)如图所示，一高度为h的光滑水平面与一倾角为θ的斜面连接，一小球以速度v从平面的右端P点向右水平抛出，则小球在空中运动的时间t( )
A．一定与v的大小有关
B．一定与v的大小无关
C．当v大于 eq \r(\f(gh,2))ct θ时，t与v无关
D．当v小于 eq \r(\f(gh,2))ct θ时，t与v有关
解析：选CD.球有可能落在斜面上，也有可能落在水平面上，可用临界法求解，如果小球恰好落在斜面与水平面的交点处，则满足hct θ＝vt，h＝eq \f(1,2)gt2，联立可得v＝ eq \r(\f(gh,2))ct θ.故当v大于 eq \r(\f(gh,2))ct θ时，小球落在水平面上，t＝eq \r(\f(2h,g))，与v无关；当v小于 eq \r(\f(gh,2))ct θ时，小球落在斜面上，x＝vt，y＝eq \f(1,2)gt2，eq \f(y,x)＝tan θ，联立可得t＝eq \f(2vtan θ,g)，即与v有关，故选项C、D正确．
【典例3】一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A.eq \f(L1,2)eq \r(\f(g,6h))＜v＜L1eq \r(\f(g,6h))
B.eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h))＜v＜ eq \r(\f(4L\\al(2,1)＋L\\al(2,2)g,6h))
C.eq \f(L1,2)eq \r(\f(g,6h))＜v＜eq \f(1,2) eq \r(\f(4L\\al(2,1)＋L\\al(2,2)g,6h))
D.eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h))＜v＜eq \f(1,2) eq \r(\f(4L\\al(2,1)＋L\\al(2,2)g,6h))
解析：选D.设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间．
则竖直方向上有3h－h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，①
水平方向上有eq \f(L1,2)＝v1t1.②
由①②两式可得v1＝eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h)).
设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，
在竖直方向有3h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，③
在水平方向有 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L2,2)))2＋L\\al(2,1))＝v2t2.④
由③④两式可得v2＝eq \f(1,2) eq \r(\f(4L\\al(2,1)＋L\\al(2,2)g,6h)).
则v的最大取值范围为v1＜v＜v2，故选项D正确．
1．物体做平抛运动时，下列描述物体的速度变化量大小Δv随时间t变化的图象中，可能正确的是( )
解析：选D.平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为定值，由a＝eq \f(Δv,Δt)知，D正确．
2．游乐场内两支玩具枪在同一位置先后沿水平方向各射出一颗子弹，打在远处的同一个靶上，A为甲枪子弹留下的弹孔，B为乙枪子弹留下的弹孔，两弹孔在竖直方向上相距高度为h，如图所示，不计空气阻力．关于两枪射出子弹的初速度大小，下列判断正确的是( )
A．甲枪射出的子弹初速度较大
B．乙枪射出的子弹初速度较大
C．甲、乙两枪射出的子弹初速度一样大
D．无法比较甲、乙两枪射出的子弹初速度的大小
解析：选A.由题图可以看出，子弹射出后到打到靶上的过程中，竖直方向的位移关系是hB>hA，由h＝eq \f(1,2)gt2得tB＞tA，由v＝eq \f(x,t)可以得出vA＞vB，A正确．
3．在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中( )
A．速度和加速度的方向都在不断改变
B．速度与加速度方向之间的夹角一直减小
C．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等
D．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等
解析：选B.小球做平抛运动，加速度为重力加速度，小球的速度大小和方向时刻变化，小球的加速度大小和方向均恒定，故A错误．速度与加速度的夹角的正切值tan θ＝eq \f(v0,vy)＝eq \f(v0,gt)，随着时间t的增大，夹角θ减小，故B正确．速度改变量Δv＝gΔt，相等时间内的速度改变量相等，但速率(即速度的大小)的改变量不相等，故C错误．相等时间内动能的改变量取决于合力——重力做的功，由于相等时间内下落的高度越来越大，重力做的功越来越多，故动能的改变量越来越大，故D错误．
4．如图所示，某同学将一枚飞镖从高于靶心的位置水平投向竖直悬挂的靶盘，结果飞镖打在靶心的正下方．忽略飞镖运动过程中所受空气阻力，在其他条件不变的情况下，为使飞镖命中靶心，他在下次投掷时可以( )
A．换用质量稍大些的飞镖
B．适当增大投飞镖的高度
C．到稍远些的地方投飞镖
D．适当减小投飞镖的初速度
解析：选B.飞镖做的是平抛运动，飞镖打在靶心的正下方说明飞镖竖直方向的位移太大，根据平抛运动的规律可得，水平方向上x＝v0t，竖直方向上h＝eq \f(1,2)gt2，所以要想减小飞镖竖直方向的位移，在水平位移不变的情况下，可以适当增大投飞镖的初速度来减小飞镖的运动时间，故D错误；初速度不变时，时间不变，适当增大投飞镖的高度，可以使飞镖命中靶心，飞镖的质量不影响平抛运动的规律，故A错误，B正确；在稍远些地方投飞镖，则运动时间变长，下落的高度变大，不会击中靶心，故C错误．
5．(多选)如图所示，相同的乒乓球1、2恰好在等高处水平越过球网，不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自最高点到落台的过程中，下列说法正确的是( )
A．过网时球1的速度小于球2的速度
B．球1的飞行时间大于球2的飞行时间
C．球1的速度变化率等于球2的速度变化率
D．落台时，球1的重力功率等于球2的重力功率
解析：选CD.由h＝eq \f(1,2)gt2知两球运动时间相等，B错误；由于球1水平位移大，故水平速度大，A错误；两球都做平抛运动，故加速度等大，即速度变化率相等，C正确；由veq \\al(2,y)＝2gh可知落台时两球竖直速度等大，又因为重力等大，故落台瞬时功率等大，D正确．
6. 如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg.不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8；g取10 m/s2)．求：
(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小；
(3)运动员从O点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间．
解析：(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，
有Lsin 37°＝eq \f(1,2)gt2，
L＝eq \f(gt2,2sin 37°)＝75 m.
(2)设运动员离开O点时的速度为v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有Lcs 37°＝v0t，
即v0＝eq \f(Lcs 37°,t)＝20 m/s.
(3)运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为 v0cs 37°、加速度为gsin 37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为v0sin 37°、加速度为gcs 37°)．
当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡最远，
有v0sin 37°＝gcs 37°·t，解得t＝1.5 s
答案：(1)75 m (2)20 m/s (3)1.5 s
7. 如图所示，从A点由静止释放一弹性小球，一段时间后与固定斜面上B点发生碰撞，碰后小球速度大小不变，方向变为水平方向，又经过相同的时间落于地面上C点，已知地面上D点位于B点正下方，B、D间的距离为h，则( )
A．A、B两点间的距离为eq \f(h,2)
B．A、B两点间的距离为eq \f(h,3)
C．C、D两点间的距离为2h
D．C、D两点间的距离为eq \f(2\r(3),3)h
解析：选C.AB段小球自由下落，BC段小球做平抛运动，两段时间相同，所以A、B两点间距离与B、D两点间距离相等，均为h，故A、B错误；BC段平抛初速度v＝eq \r(2gh)，持续的时间t＝eq \r(\f(2h,g))，所以C、D两点间距离x＝vt＝2h，故C正确，D错误．
8. 如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为( )
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶2 D．2∶3
解析：选C.小球A、B从同一高度平抛，到斜面上的C点经历的时间相等，设为t，由题意可得tan 30°＝eq \f(\f(1,2)gt2,v1t)，tan 30°＝eq \f(v2,gt)，解得v1∶v2＝3∶2，C正确．
9. 如图所示，一个小球从一斜面顶端分别以v10、v20、v30水平抛出，分别落在斜面上1、2、3点，落到斜面时竖直分速度分别是v1y、v2y、v3y，则( )
A.eq \f(v1y,v10)＞eq \f(v2y,v20)＞eq \f(v3y,v30) B.eq \f(v1y,v10)＜eq \f(v2y,v20)＜eq \f(v3y,v30)
C.eq \f(v1y,v10)＝eq \f(v2y,v20)＝eq \f(v3y,v30) D．条件不足，无法比较
解析：选C.设小球落到斜面时速度方向与水平方向的夹角为α，由tan α＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)＝eq \f(gt2,v0t)＝eq \f(2y,x)＝2tan θ，
故eq \f(v1y,v10)＝eq \f(v2y,v20)＝eq \f(v3y,v30)，C正确．
10．如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，则( )
A．P→Q所用的时间t＝2 eq \r(\f(2l,gsin θ))
B．P→Q所用的时间t＝eq \r(\f(2l,g))
C．初速度v0＝b eq \r(\f(gsin θ,2l))
D．初速度v0＝beq \r(\f(g,2l))
解析：选C.物体的加速度为：a＝gsin θ.根据l＝eq \f(1,2)at2，得：t＝ eq \r(\f(2l,gsin θ))，故A、B错误；初速度v0＝eq \f(b,t)＝b eq \r(\f(gsin θ,2l))，故C正确，D错误．
11．(多选) 如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是( )
A．球的速度v等于L eq \r(\f(g,2H))
B．球从击出至落地所用时间为 eq \r(\f(2H,g))
C．球从击球点至落地点的位移等于L
D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
解析：选AB.由平抛运动规律知，在水平方向上有L＝vt，在竖直方向上有H＝eq \f(1,2)gt2，联立解得t＝ eq \r(\f(2H,g))，v＝eq \f(L,t)＝L eq \r(\f(g,2H))，A、B正确；球从击球点至落地点的位移为x＝eq \r(H2＋L2)，与球的质量无关，C、D错误．
12．如图所示，倾角为37°的粗糙斜面的底端有一质量m＝1 kg的凹形小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25.现小滑块以某一初速度v从斜面底端上滑，同时在斜面底端正上方有一小球以v0水平抛出，经过0.4 s，小
球恰好垂直斜面方向落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中．(已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)，g取10 m/s2.求：
(1)小球水平抛出的速度v0；
(2)小滑块的初速度v.
解析：(1)设小球落入凹槽时竖直速度为vy，则
vy＝gt＝10×0.4 m/s＝4 m/s
v0＝vytan 37°＝3 m/s.
(2)小球落入凹槽时的水平位移x＝v0t＝3×0.4 m＝1.2 m
则滑块的位移为s＝eq \f(1.2,cs 37°) m＝1.5 m
滑块上滑时，mgsin 37°＋μmgcs 37°＝ma
解得a＝8 m/s2
根据公式s＝vt－eq \f(1,2)at2
解得：v＝5.35 m/s.
答案：(1)3 m/s (2)5.35 m/s
13．（多选）如图所示，AC是倾角为的固定斜面，CD部分为水平面，小球从斜面顶端A点以初速度v0水平抛出，刚好落在斜面上的B点，。现将小球从斜面顶端A点以初速度2v0水平抛出（不计空气阻力，小球下落后均不弹起，重力加速度为g），则小球前后两次在空中运动过程中（ ）
A．时间之比为
B．水平位移之比为1：3
C．当初速度为2v0时，小球从抛出到离斜面的最远的时间为
D．当初速度为v0时，小球在空中离斜面的最远距离为
【答案】AD
【详解】A．设小球的初速度为v0时，落在斜面上时所用时间为t，小球落在斜面上时有
解得
设落点距斜面顶端距离为s，则有
若斜面足够长，两次小球均落在斜面上，落点距斜面顶端距离之比为1∶4，则第二次落在距斜面顶端4L处，根据题意，斜面长度为3L，大于斜面的长度，可知以2v0水平抛出时小球落在水平面上。根据题意，两次下落高度之比为1∶3，根据
解得
所以时间之比为，A正确；
B．水平位移之比为
B错误；
C．根据
解得
C错误；
D．当小球的速度方向与斜面平行时，小球到斜面的距离最大。即在小球距离斜面最远时，垂直于斜面方向的速度等于零，建立沿斜面和垂直于斜面的平面直角坐标系，将初速度v0和重力加速度g进行分解，垂直于斜面的最远距离
D正确。
故选AD。
14．（多选）一苹果在距地面高的地方由静止开始自由下落，地面上与苹果在同一竖直平面内且与苹果水平相距的地方斜向上射出一飞刀，要使飞刀在空中射中苹果，则飞刀射出时的速度大小可能的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【详解】苹果由静止开始自由下落，则下落高度
解得苹果落地时间大约为
飞刀水平方向的分速度为
苹果即将落地时飞刀射中苹果时飞刀竖直方向的分速度最小，竖直方向的速度至少为，则
解得
故飞刀的初速度至少为
故选CD。
15．（多选）如图所示，一架飞机沿水平方向匀速飞行，刚刚到达山坡底端正上方时，立即释放—颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A。已知A距山坡底端的高度为h，山坡的倾角为，重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．炸弹的竖直位移与水平位移的大小之比为
B．飞机投弹时距山坡底端的高度为
C．炸弹运动的时间为
D．炸弹落到山坡上的瞬时速度大小为
【答案】BC
【详解】A．由题意可知
得
A错误；
B．由于
可得
飞机投弹时距山坡底端的高度为
B正确；
C．根据
得炸弹运动的时间为
C正确；
D．炸弹落到山坡上时，水平速度为
竖直速度为
炸弹落到山坡上的瞬时速度大小为
得
D错误。
故选BC。
16．（多选）如图所示，两相同的斜面倾角均为，高度为h，从左侧斜面顶端以一定初速度水平抛出一个小球，已知重力加速度为g，不计空气阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．小球可能垂直落在斜面上
B．小球落在斜面上时水平位移与初速度的平方成正比
C．小球落在斜面上时运动时间与初速度成正比
D．小球下落到斜面上高度为处时，初速度可能为
【答案】AD
【详解】A. 若小球落在右侧斜面上，设落在斜面上时下落的高度为，由平抛运动的规律
根据几何关系
落在斜面时，竖直方向速度
可得
若小球垂直落在斜面上，则有
此时
故A正确；
C． 若小球落在左斜侧面上
得到
若小球落在右侧斜面上，由上述公式得
故C错误；
B．由上述公式得到
若小球落在右侧斜面上
B错误；
D．小球下落的高度为处时，运动时间
水平位移为或，当水平位移为时，
故D正确。
故选AD。
17．从高处的点A先后水平抛出两个小球1和2，球1与地面碰撞一次后，恰好越过位于水平地面上高为h的竖直挡板，然后落在水平地面上的D点，碰前碰后的速度水平方向不变，竖直方向等大反向。球2恰好越过挡板也落在D点，忽略空气阻力。挡板的高度h为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】A．设1、2球的初速度分别为、，从抛出到落到D点运动的时间分别为、则对两球在水平方向有
依题意
所以
又因两球飞过竖直挡板前的水平位移相同，而速度的水平分量的关系为
故它们飞过挡板前的运动时间满足
设球1从第一次落地到飞至挡板顶端所用的时间为t，则上述关系可写为
球1第一次落地时速度的竖直分量为
到达挡板顶端时速度的竖直分量为
两者满足
联立方程并代入数据可得
故选B。
18．如图，两个靠得很近的小球（均可视为质点）从斜面上的同一位置O以不同的初速度做平抛运动，斜面足够长，在斜面上的落点分别为A、B，在空中运动的时间分别为，落到斜面前瞬间的速度与斜面的夹角分别为，已知。下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．B球在空中离斜面最远时，其速度方向与斜面平行D．
【答案】C
【详解】AB．小球做平抛运动，根据，可知A小球下落的高度为B小球下落高度的一半，对A小球
，
对B小球
，
解得
，
AB错误；
C．当速度方向与斜面平行时，B小球距离斜面最远，此时分解速度得
解得
落到斜面底端时
解得
可知B小球运动总时间一半时，距离斜面最远，B小球水平方向做匀速直线运动，所以B小球此时正在A点的正上方，C正确。
D．小球落到斜面上，末速度的反向延长线必过水平位移中点，所以初速度与末速度的夹角满足
假设斜面倾角为，则
斜面倾角不变，所以小球落到斜面瞬间的偏转角不变，根据几何关系可知小球落到斜面瞬间，末速度与斜面的夹角等于与之差，所以，D错误。
故选C。
19．“刀削面”是一种广受消费者喜爱的面食，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，厨师将小面圈沿锅的某条半径方向水平削出，小面圈距锅的高度，与锅沿的最近水平距离，锅可视为半径的半球壳（不计锅的厚度），水面到锅底的距离。不计一切阻力，小面圈的运动可视为平抛运动，则（ ）
A．落入锅中的小面圈速度的变化量均相同
B．落入锅中的小面圈，速度范围为
C．直接落入水中的小面圈，速度范围为
D．直接落入水中的小面圈，速度范围为
【答案】D
【详解】A．小面圈做平抛运动，出发点相同，落入锅中的位置不同，即下落时间不一定相同，根据
易知，落入锅中的小面圈速度的变化量不一定相同。故A错误；
B．落入锅中的小面圈，恰好落在锅的左侧边缘处，水平速度最小，有
恰好落在锅的右侧边缘处，水平速度最大，有
又
联立，可得
故B错误；
CD．直接落入水中的小面圈，由几何关系可知最小速度对应的水平分位移为
根据平抛运动规律，有
，
解得
因为
所以直接落入水中的小面圈，最小速度为
同理，直接落入水中的小面圈，由几何关系可知最大速度对应的水平分位移为
又
解得
直接落入水中的小面圈，速度范围为
故C错误；D正确。
故选D。
方法
内容
斜面
总结
分解速度
水平：vx＝v0
竖直：vy＝gt
合速度：
v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))
分解速度，构建速度三角形
分解位移
水平：x＝v0t
竖直：y＝eq \f(1,2)gt2
合位移：s＝eq \r(x2＋y2)
分解位移，构建位移三角形
考点一 平抛运动的基本规律
一．平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动，叫平抛运动．
2．性质：平抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
二．平抛运动的规律
以抛出点为原点，以水平方向(初速度v0方向)为x轴，以竖直向下的方向为y轴建立平面直角坐标系，则
1．水平方向：做匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t.
2．竖直方向：做自由落体运动，速度：vy＝gt，位移：y＝eq \f(1,2)gt2
3．合运动
(1)合速度：v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))＝eq \r(v\\al(2,0)＋gt2)，方向与水平方向夹角为θ，则tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0).
(2)合位移：s＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(v0t2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)gt2))2)，方向与水平方向夹角为α，则tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0).
1．飞行时间：由t＝eq \r(\f(2h,g))知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
2．水平射程：x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
3．落地速度：vt＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))＝eq \r(v\\al(2,0)＋2gh)，以α表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan α＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(\r(2gh),v0)，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关．
4．速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示．
5．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图乙中A点和B点所示．
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
三．斜抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿斜向上或斜向下抛出，物体仅在重力的作用下所做的运动，叫做斜抛运动．
2．性质：加速度恒为g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
3．基本规律
以斜向上抛为例说明，如图所示．
(1)水平方向：v0x＝v0cs_θ，F合x＝0.
(2)竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg.
因此斜抛运动可以看做是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上(下)抛运动的合运动．
【典例1】做平抛运动的物体，落地过程在水平方向通过的距离取决于( )
A．物体的初始高度和所受重力
B．物体的初始高度和初速度
C．物体所受的重力和初速度
D．物体所受的重力、初始高度和初速度
【典例2】如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点．O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为( )
A. eq \r(\f(3gR,2)) B． eq \r(\f(3\r(3)gR,2))
C. eq \r(\f(\r(3)gR,2)) D.eq \r(\f(\r(3)gR,3))
【典例3】从某高度水平抛出一小球，经过t时间到达地面时，速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列结论中正确的是( )
A．小球初速度为gttan θ
B．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
C．小球着地速度大小为eq \f(gt,sin θ)
D．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ
【典例4】距地面高5 m的水平直轨道上A、B两点相距2 m，在B点用细线悬挂一小球，离地高度为h，如图．小车始终以4 m/s的速度沿轨道匀速运动，经过A点时将随车携带的小球由轨道高度自由卸下，小车运动至B点时细线被轧断，最后两球同时落地．不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2.可求得h等于( )
A．1.25 m B．2.25 m
C．3.75 m D．4.75 m
分解思想在平抛运动中的应用
(1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度．
(2)画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方向间的关系，通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知量．
考点二 类平抛运动
1．受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直．
2．运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝eq \f(F合,m).
3．求解技巧
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
【典例1】(多选)如图所示，两个足够大的倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等．有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于斜面同一高度处，其中小球b在两斜面之间，a、c分别在两斜面顶端．若同时释放a、b、c，小球到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3.若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，小球到达水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′.下列关于时间的关系正确的是( )
A．t1＞t3＞t2 B．t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′
C．t1′＞t3′＞t2′ D．t1＜t1′、t2＜t2′、t3＜t3′
【典例2】质量为m的飞机以水平初速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)．今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h，如图所示，求：
(1)飞机受到的升力大小；
(2)上升至h高度时飞机的速度．
考点三 多体平抛问题
1．多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时所涉及的问题．
2．三类常见的多体平抛运动
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动．
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定．
(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动．
【典例1】如图所示，在距水平地面分别为H和4H的高度处，同时将质量相同的a、b两小球以相同的初速度v0水平抛出，则以下判断正确的是( )
A．a、b两小球同时落地
B．两小球落地速度的方向相同
C．a、b两小球水平位移之比为1∶2
D．a、b两小球水平位移之比为1∶4
【典例2】如图所示，半圆形容器竖直放置，从其圆心O点处分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，己知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成θ角，则两小球的初速度之比为( )
A.eq \r(tan θ) B．tan θ
C.eq \r(tan3θ) D．tan2θ
(1)物体做平抛运动的时间由物体被抛出点的高度决定，而物体的水平位移由物体被抛出点的高度和物体的初速度共同决定．
(2)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处．
考点四 斜面上的平抛运动
与斜面相关的平抛运动，其特点是做平抛运动的物体落在斜面上，包括两种情况：
1．物体从空中抛出垂直落在斜面上；
2．从斜面上抛出落在斜面上．
在解答这类问题时，除了要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决．两种模型对比如下：
题组一 顺着斜面的平抛运动
【典例1】跳台滑雪运动员的动作惊险而优美，其实滑雪运动可抽象为物体在斜坡上的平抛运动．如图所示，设可视为质点的滑雪运动员从倾角为θ的斜坡顶端P处，以初速度v0水平飞出，运动员最后又落到斜坡上A点处，AP之间距离为L，在空中运动时间为t，改变初速度v0的大小，L和t都随之改变．关于L、t与v0的关系，下列说法中正确的是( )
A．L与v0成正比B．L与v0成反比
C．t与v0成正比 D．t与veq \\al(2,0)成正比
【典例2】如图所示，滑板运动员从倾角为53°的斜坡顶端滑下，滑下的过程中他突然发现在斜面底端有一个高h＝1.4 m、宽L＝1.2 m的长方体障碍物，为了不触及这个障碍物，他必须在距水平地面高度H＝3.2 m的A点沿水平方向跳起离开斜面(竖直方向的速度变为零)．己知运动员的滑板与斜面间的动摩擦因数μ＝0.1，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.(已知sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6)求：
(1)运动员在斜面上滑行的加速度的大小；
(2)若运动员不触及障碍物，他从斜面上起跳后到落至水平面的过程所经历的时间；
(3)运动员为了不触及障碍物，他从A点沿水平方向起跳的最小速度．
题组二 对着斜面的平抛运动
【典例3】(多选) 如图所示，A、D分别是斜面的顶端、底端，B、C是斜面上的两个点，AB＝BC＝CD，E点在D点的正上方，与A等高．从E点以一定的水平速度抛出质量相等的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过程( )
A．球1和球2运动的时间之比为2∶1
B．球1和球2动能增加量之比为1∶2
C．球1和球2抛出时初速度之比为2eq \r(2)∶1
D．球1和球2运动时的加速度之比为1∶2
【典例4】如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t为(重力加速度为g)( )
A.eq \f(v0tan θ,g) B．eq \f(2v0tan θ,g)
C.eq \f(v0ct θ,g) D.eq \f(2v0ct θ,g)
(1)物体的竖直位移与水平位移之比是同一个常数，这个常数等于斜面倾角的正切值；
(2)当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远．
考点五 平抛运动中的临界问题
(1)在体育运动中，像乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界，某物理量(尤其是球速)往往要有一定的范围限制，在这类问题中，确定临界状态，画好临界轨迹，是解决问题的关键点．
(2)分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件．
【典例1】如图所示，水平屋顶高H＝5 m，墙高h＝3.2 m，墙到房子的距离L＝3 m，墙外马路宽x＝10 m，小球从房顶水平飞出，落在墙外的马路上，g＝10 m/s2.求：
(1)小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；
(2)小球落在马路上的最小速度．
【典例2】(多选)如图所示，一高度为h的光滑水平面与一倾角为θ的斜面连接，一小球以速度v从平面的右端P点向右水平抛出，则小球在空中运动的时间t( )
A．一定与v的大小有关
B．一定与v的大小无关
C．当v大于 eq \r(\f(gh,2))ct θ时，t与v无关
D．当v小于 eq \r(\f(gh,2))ct θ时，t与v有关
【典例3】一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A.eq \f(L1,2)eq \r(\f(g,6h))＜v＜L1eq \r(\f(g,6h))
B.eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h))＜v＜ eq \r(\f(4L\\al(2,1)＋L\\al(2,2)g,6h))
C.eq \f(L1,2)eq \r(\f(g,6h))＜v＜eq \f(1,2) eq \r(\f(4L\\al(2,1)＋L\\al(2,2)g,6h))
D.eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h))＜v＜eq \f(1,2) eq \r(\f(4L\\al(2,1)＋L\\al(2,2)g,6h))
1．物体做平抛运动时，下列描述物体的速度变化量大小Δv随时间t变化的图象中，可能正确的是( )
2．游乐场内两支玩具枪在同一位置先后沿水平方向各射出一颗子弹，打在远处的同一个靶上，A为甲枪子弹留下的弹孔，B为乙枪子弹留下的弹孔，两弹孔在竖直方向上相距高度为h，如图所示，不计空气阻力．关于两枪射出子弹的初速度大小，下列判断正确的是( )
A．甲枪射出的子弹初速度较大
B．乙枪射出的子弹初速度较大
C．甲、乙两枪射出的子弹初速度一样大
D．无法比较甲、乙两枪射出的子弹初速度的大小
3．在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中( )
A．速度和加速度的方向都在不断改变
B．速度与加速度方向之间的夹角一直减小
C．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等
D．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等
4．如图所示，某同学将一枚飞镖从高于靶心的位置水平投向竖直悬挂的靶盘，结果飞镖打在靶心的正下方．忽略飞镖运动过程中所受空气阻力，在其他条件不变的情况下，为使飞镖命中靶心，他在下次投掷时可以( )
A．换用质量稍大些的飞镖
B．适当增大投飞镖的高度
C．到稍远些的地方投飞镖
D．适当减小投飞镖的初速度
5．(多选)如图所示，相同的乒乓球1、2恰好在等高处水平越过球网，不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自最高点到落台的过程中，下列说法正确的是( )
A．过网时球1的速度小于球2的速度
B．球1的飞行时间大于球2的飞行时间
C．球1的速度变化率等于球2的速度变化率
D．落台时，球1的重力功率等于球2的重力功率
6. 如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg.不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8；g取10 m/s2)．求：
(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小；
(3)运动员从O点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间．
7. 如图所示，从A点由静止释放一弹性小球，一段时间后与固定斜面上B点发生碰撞，碰后小球速度大小不变，方向变为水平方向，又经过相同的时间落于地面上C点，已知地面上D点位于B点正下方，B、D间的距离为h，则( )
A．A、B两点间的距离为eq \f(h,2)
B．A、B两点间的距离为eq \f(h,3)
C．C、D两点间的距离为2h
D．C、D两点间的距离为eq \f(2\r(3),3)h
8. 如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为( )
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶2 D．2∶3
9. 如图所示，一个小球从一斜面顶端分别以v10、v20、v30水平抛出，分别落在斜面上1、2、3点，落到斜面时竖直分速度分别是v1y、v2y、v3y，则( )
A.eq \f(v1y,v10)＞eq \f(v2y,v20)＞eq \f(v3y,v30) B.eq \f(v1y,v10)＜eq \f(v2y,v20)＜eq \f(v3y,v30)
C.eq \f(v1y,v10)＝eq \f(v2y,v20)＝eq \f(v3y,v30) D．条件不足，无法比较
10．如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，则( )
A．P→Q所用的时间t＝2 eq \r(\f(2l,gsin θ))
B．P→Q所用的时间t＝eq \r(\f(2l,g))
C．初速度v0＝b eq \r(\f(gsin θ,2l))
D．初速度v0＝beq \r(\f(g,2l))
11．(多选) 如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是( )
A．球的速度v等于L eq \r(\f(g,2H))
B．球从击出至落地所用时间为 eq \r(\f(2H,g))
C．球从击球点至落地点的位移等于L
D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
12．如图所示，倾角为37°的粗糙斜面的底端有一质量m＝1 kg的凹形小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25.现小滑块以某一初速度v从斜面底端上滑，同时在斜面底端正上方有一小球以v0水平抛出，经过0.4 s，小
球恰好垂直斜面方向落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中．(已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)，g取10 m/s2.求：
(1)小球水平抛出的速度v0；
(2)小滑块的初速度v.
13．（多选）如图所示，AC是倾角为的固定斜面，CD部分为水平面，小球从斜面顶端A点以初速度v0水平抛出，刚好落在斜面上的B点，。现将小球从斜面顶端A点以初速度2v0水平抛出（不计空气阻力，小球下落后均不弹起，重力加速度为g），则小球前后两次在空中运动过程中（ ）
A．时间之比为
B．水平位移之比为1：3
C．当初速度为2v0时，小球从抛出到离斜面的最远的时间为
D．当初速度为v0时，小球在空中离斜面的最远距离为
14．（多选）一苹果在距地面高的地方由静止开始自由下落，地面上与苹果在同一竖直平面内且与苹果水平相距的地方斜向上射出一飞刀，要使飞刀在空中射中苹果，则飞刀射出时的速度大小可能的是（ ）
A．B．C．D．
15．（多选）如图所示，一架飞机沿水平方向匀速飞行，刚刚到达山坡底端正上方时，立即释放—颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A。已知A距山坡底端的高度为h，山坡的倾角为，重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．炸弹的竖直位移与水平位移的大小之比为
B．飞机投弹时距山坡底端的高度为
C．炸弹运动的时间为
D．炸弹落到山坡上的瞬时速度大小为
16．（多选）如图所示，两相同的斜面倾角均为，高度为h，从左侧斜面顶端以一定初速度水平抛出一个小球，已知重力加速度为g，不计空气阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．小球可能垂直落在斜面上
B．小球落在斜面上时水平位移与初速度的平方成正比
C．小球落在斜面上时运动时间与初速度成正比
D．小球下落到斜面上高度为处时，初速度可能为
17．从高处的点A先后水平抛出两个小球1和2，球1与地面碰撞一次后，恰好越过位于水平地面上高为h的竖直挡板，然后落在水平地面上的D点，碰前碰后的速度水平方向不变，竖直方向等大反向。球2恰好越过挡板也落在D点，忽略空气阻力。挡板的高度h为（ ）
A．B．C．D．
18．如图，两个靠得很近的小球（均可视为质点）从斜面上的同一位置O以不同的初速度做平抛运动，斜面足够长，在斜面上的落点分别为A、B，在空中运动的时间分别为，落到斜面前瞬间的速度与斜面的夹角分别为，已知。下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．B球在空中离斜面最远时，其速度方向与斜面平行D．
19．“刀削面”是一种广受消费者喜爱的面食，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，厨师将小面圈沿锅的某条半径方向水平削出，小面圈距锅的高度，与锅沿的最近水平距离，锅可视为半径的半球壳（不计锅的厚度），水面到锅底的距离。不计一切阻力，小面圈的运动可视为平抛运动，则（ ）
A．落入锅中的小面圈速度的变化量均相同
B．落入锅中的小面圈，速度范围为
C．直接落入水中的小面圈，速度范围为
D．直接落入水中的小面圈，速度范围为
方法
内容
斜面
总结
分解速度
水平：vx＝v0
竖直：vy＝gt
合速度：
v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))
分解速度，构建速度三角形
分解位移
水平：x＝v0t
竖直：y＝eq \f(1,2)gt2
合位移：s＝eq \r(x2＋y2)
分解位移，构建位移三角形
第13讲 抛体运动
——划重点之精细讲义系列
考点一 平抛运动的基本规律
一．平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动，叫平抛运动．
2．性质：平抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
二．平抛运动的规律
以抛出点为原点，以水平方向(初速度v0方向)为x轴，以竖直向下的方向为y轴建立平面直角坐标系，则
1．水平方向：做匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t.
2．竖直方向：做自由落体运动，速度：vy＝gt，位移：y＝eq \f(1,2)gt2
3．合运动
(1)合速度：v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))＝eq \r(v\\al(2,0)＋gt2)，方向与水平方向夹角为θ，则tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0).
(2)合位移：s＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(v0t2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)gt2))2)，方向与水平方向夹角为α，则tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0).
1．飞行时间：由t＝eq \r(\f(2h,g))知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
2．水平射程：x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
3．落地速度：vt＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))＝eq \r(v\\al(2,0)＋2gh)，以α表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan α＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(\r(2gh),v0)，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关．
4．速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示．
5．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图乙中A点和B点所示．
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
三．斜抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿斜向上或斜向下抛出，物体仅在重力的作用下所做的运动，叫做斜抛运动．
2．性质：加速度恒为g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
3．基本规律
以斜向上抛为例说明，如图所示．
(1)水平方向：v0x＝v0cs_θ，F合x＝0.
(2)竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg.
因此斜抛运动可以看做是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上(下)抛运动的合运动．
【典例1】做平抛运动的物体，落地过程在水平方向通过的距离取决于( )
A．物体的初始高度和所受重力
B．物体的初始高度和初速度
C．物体所受的重力和初速度
D．物体所受的重力、初始高度和初速度
解析：选B.水平方向通过的距离x＝v0t，由h＝eq \f(1,2)gt2得t＝eq \r(\f(2h,g))，所以时间t由高度h决定；又x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，故x由初始高度h和初速度v0共同决定，B正确．
【典例2】如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点．O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为( )
A. eq \r(\f(3gR,2)) B． eq \r(\f(3\r(3)gR,2))
C. eq \r(\f(\r(3)gR,2)) D.eq \r(\f(\r(3)gR,3))
解析：选B.画出小球在B点速度的分解矢量图，如图所示．由图可知，tan 60°＝eq \f(v0,gt)，R(1＋cs 60°)＝v0t，联立解得v0＝eq \r(\f(3\r(3)gR,2))，选项B正确．
【典例3】从某高度水平抛出一小球，经过t时间到达地面时，速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列结论中正确的是( )
A．小球初速度为gttan θ
B．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
C．小球着地速度大小为eq \f(gt,sin θ)
D．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ
解析：选C. 如图所示，小球竖直方向的速度为vy＝gt，则初速度为v0＝gtct θ，落地时速度v＝eq \f(gt,sin θ)，选项C正确，A错误；平抛运动的时间t＝ eq \r(\f(2y,g))，由高度决定，选项B错误；设位移方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0)，tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)，则tan θ＝2tan α，选项D错误．
【典例4】距地面高5 m的水平直轨道上A、B两点相距2 m，在B点用细线悬挂一小球，离地高度为h，如图．小车始终以4 m/s的速度沿轨道匀速运动，经过A点时将随车携带的小球由轨道高度自由卸下，小车运动至B点时细线被轧断，最后两球同时落地．不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2.可求得h等于( )
A．1.25 m B．2.25 m
C．3.75 m D．4.75 m
解析：选A.根据两球同时落地可得 eq \r(\f(2H,g))＝eq \f(dAB,v)＋eq \r(\f(2h,g))，代入数据得h＝1.25 m，选项A正确．
分解思想在平抛运动中的应用
(1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度．
(2)画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方向间的关系，通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知量．
考点二 类平抛运动
1．受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直．
2．运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝eq \f(F合,m).
3．求解技巧
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
【典例1】(多选)如图所示，两个足够大的倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等．有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于斜面同一高度处，其中小球b在两斜面之间，a、c分别在两斜面顶端．若同时释放a、b、c，小球到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3.若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，小球到达水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′.下列关于时间的关系正确的是( )
A．t1＞t3＞t2 B．t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′
C．t1′＞t3′＞t2′ D．t1＜t1′、t2＜t2′、t3＜t3′
解析：选ABC.由静止释放三个小球时，对a：eq \f(h,sin 30°)＝eq \f(1,2)g·sin 30°·teq \\al(2,1)，则teq \\al(2,1)＝eq \f(8h,g)；对b：h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，则teq \\al(2,2)＝eq \f(2h,g)；对c：eq \f(h,sin 45°)＝eq \f(1,2)gsin 45°·Teq \\al(2,3)，则teq \\al(2,3)＝eq \f(4h,g)，所以t1＞t3＞t2.当水平抛出三个小球时，小球b做平抛运动，小球a、c在斜面内做类平抛运动．沿斜面方向的运动同第一种情况，所以t1＝t1′，t2＝t2′，t3＝t3′，故A、B、C正确．
【典例2】质量为m的飞机以水平初速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)．今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h，如图所示，求：
(1)飞机受到的升力大小；
(2)上升至h高度时飞机的速度．
解析：(1)飞机做类平抛运动，则：
水平方向l＝v0t
竖直方向h＝eq \f(1,2)at2
解得a＝eq \f(2v\\al(2,0)h,l2)
对飞机由牛顿第二定律得
F－mg＝ma
解得F＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(g＋\f(2v\\al(2,0)h,l2)))
(2)竖直方向veq \\al(2,y)＝2ah
v＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))
解得v＝eq \f(v0,l) eq \r(l2＋4h2)
设速度方向与初速度v0方向的夹角为θ，则：
tan θ＝eq \f(vy,v0)
解得θ＝arctaneq \f(2h,l)
答案：(1)meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(g＋\f(2v\\al(2,0)h,l2)))
(2)eq \f(v0,l) eq \r(l2＋4h2)，方向与v0的夹角为arctaneq \f(2h,l)
考点三 多体平抛问题
1．多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时所涉及的问题．
2．三类常见的多体平抛运动
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动．
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定．
(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动．
【典例1】如图所示，在距水平地面分别为H和4H的高度处，同时将质量相同的a、b两小球以相同的初速度v0水平抛出，则以下判断正确的是( )
A．a、b两小球同时落地
B．两小球落地速度的方向相同
C．a、b两小球水平位移之比为1∶2
D．a、b两小球水平位移之比为1∶4
解析：选C.由H＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,a)，4H＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,b)可得tb＝2ta，A错误；由x＝v0t可知，xa∶xb＝1∶2，C正确，D错误；设落地时速度与水平方向夹角为θ，则由tan θ＝eq \f(gt,v0)可知，tan θa∶tan θb＝1∶2，θa≠θb，B错误．
【典例2】如图所示，半圆形容器竖直放置，从其圆心O点处分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，己知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成θ角，则两小球的初速度之比为( )
A.eq \r(tan θ) B．tan θ
C.eq \r(tan3θ) D．tan2θ
解析：选C.由平抛运动规律得，水平方向Rsin θ＝v1t1，Rcs θ＝v2t2，竖直方向Rcs θ＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，Rsin θ＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，联立解得eq \f(v1,v2)＝ eq \r(tan3θ)，选项C正确．
(1)物体做平抛运动的时间由物体被抛出点的高度决定，而物体的水平位移由物体被抛出点的高度和物体的初速度共同决定．
(2)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处．
考点四 斜面上的平抛运动
与斜面相关的平抛运动，其特点是做平抛运动的物体落在斜面上，包括两种情况：
1．物体从空中抛出垂直落在斜面上；
2．从斜面上抛出落在斜面上．
在解答这类问题时，除了要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决．两种模型对比如下：
题组一 顺着斜面的平抛运动
【典例1】跳台滑雪运动员的动作惊险而优美，其实滑雪运动可抽象为物体在斜坡上的平抛运动．如图所示，设可视为质点的滑雪运动员从倾角为θ的斜坡顶端P处，以初速度v0水平飞出，运动员最后又落到斜坡上A点处，AP之间距离为L，在空中运动时间为t，改变初速度v0的大小，L和t都随之改变．关于L、t与v0的关系，下列说法中正确的是( )
A．L与v0成正比B．L与v0成反比
C．t与v0成正比 D．t与veq \\al(2,0)成正比
解析：选C.因运动员落在斜面上，故其位移与水平方向的夹角就等于斜面的倾角θ，因此有tan θ＝eq \f(y,x)，其中y＝eq \f(1,2)gt2，x＝v0t，则t＝eq \f(2v0tan θ,g)，L＝eq \f(x,cs θ)＝eq \f(v0t,cs θ)＝eq \f(2v\\al(2,0)tan θ,gcs θ)，故t与v0成正比，L与veq \\al(2,0)成正比，C正确．
【典例2】如图所示，滑板运动员从倾角为53°的斜坡顶端滑下，滑下的过程中他突然发现在斜面底端有一个高h＝1.4 m、宽L＝1.2 m的长方体障碍物，为了不触及这个障碍物，他必须在距水平地面高度H＝3.2 m的A点沿水平方向跳起离开斜面(竖直方向的速度变为零)．己知运动员的滑板与斜面间的动摩擦因数μ＝0.1，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.(已知sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6)求：
(1)运动员在斜面上滑行的加速度的大小；
(2)若运动员不触及障碍物，他从斜面上起跳后到落至水平面的过程所经历的时间；
(3)运动员为了不触及障碍物，他从A点沿水平方向起跳的最小速度．
解析：(1)设运动员连同滑板的质量为m，运动员在斜面滑行的过程中，由牛顿第二定律得
mgsin 53°－μmgcs 53°＝ma
解得a＝gsin 53°－μgcs 53°＝7.4 m/s2
(2)运动员从斜面上起跳后，沿竖直方向做自由落体运动，则H＝eq \f(1,2)gt2
解得t＝0.8 s
(3)为了不触及障碍物，运动员以速度v沿水平方向起跳后竖直下落高度为H－h时，他沿水平方向运动的距离至少为eq \f(H,tan 53°)＋L，设这段时间为t′，则
H－h＝eq \f(1,2)gt′2
eq \f(H,tan 53°)＋L≤vt′
解得v≥6.0 m/s，所以最小速度vmin＝6.0 m/s.
答案：(1)7.4 m/s2 (2)0.8 s (3)6.0 m/s
题组二 对着斜面的平抛运动
【典例3】(多选) 如图所示，A、D分别是斜面的顶端、底端，B、C是斜面上的两个点，AB＝BC＝CD，E点在D点的正上方，与A等高．从E点以一定的水平速度抛出质量相等的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过程( )
A．球1和球2运动的时间之比为2∶1
B．球1和球2动能增加量之比为1∶2
C．球1和球2抛出时初速度之比为2eq \r(2)∶1
D．球1和球2运动时的加速度之比为1∶2
解析：选BC.因为AC＝2AB，所以AC的高度差是AB高度差的2倍，根据h＝eq \f(1,2)gt2得t＝eq \r(\f(2h,g))，解得运动的时间比为1∶eq \r(2)，故A错误；根据动能定理得mgh＝ΔEk，知球1和球2动能增加量之比为1∶2，故B正确；BD在水平方向上的分量是DC在水平方向分量的2倍，结合x＝v0t，解得初速度之比为2eq \r(2)∶1，故C正确；平抛运动的加速度均为g，两球的加速度相同，故D错误．
【典例4】如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t为(重力加速度为g)( )
A.eq \f(v0tan θ,g) B．eq \f(2v0tan θ,g)
C.eq \f(v0ct θ,g) D.eq \f(2v0ct θ,g)
解析：选D.如图所示，要小球到达斜面的位移最小，则要求落点与抛出点的连线与斜面垂直，所以有tan θ＝eq \f(x,y)，而x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，解得t＝eq \f(2v0ct θ,g).
(1)物体的竖直位移与水平位移之比是同一个常数，这个常数等于斜面倾角的正切值；
(2)当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远．
考点五 平抛运动中的临界问题
(1)在体育运动中，像乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界，某物理量(尤其是球速)往往要有一定的范围限制，在这类问题中，确定临界状态，画好临界轨迹，是解决问题的关键点．
(2)分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件．
【典例1】如图所示，水平屋顶高H＝5 m，墙高h＝3.2 m，墙到房子的距离L＝3 m，墙外马路宽x＝10 m，小球从房顶水平飞出，落在墙外的马路上，g＝10 m/s2.求：
(1)小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；
(2)小球落在马路上的最小速度．
解析 (1)设小球恰好落到马路的右侧边缘时，水平初速度为v01，则
L＋x＝v01t1
竖直位移H＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)
联立解得v01＝(L＋x) eq \r(\f(g,2H))＝13 m/s
设小球恰好越过围墙的边缘时，水平初速度为v02，则
水平位移L＝v02t2
竖直位移H－h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)
联立解得v02＝5 m/s
所以小球抛出时的速度大小范围为5 m/s≤v0≤13 m/s.
(2)小球落在马路上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在马路上时，落地速度最小．
竖直方向veq \\al(2,y)＝2gH
又有vmin＝eq \r(v\\al(2,02)＋v\\al(2,y))
解得vmin＝5eq \r(5) m/s
答案 (1)5 m/s≤v0≤13 m/s (2)5eq \r(5) m/s
【典例2】(多选)如图所示，一高度为h的光滑水平面与一倾角为θ的斜面连接，一小球以速度v从平面的右端P点向右水平抛出，则小球在空中运动的时间t( )
A．一定与v的大小有关
B．一定与v的大小无关
C．当v大于 eq \r(\f(gh,2))ct θ时，t与v无关
D．当v小于 eq \r(\f(gh,2))ct θ时，t与v有关
解析：选CD.球有可能落在斜面上，也有可能落在水平面上，可用临界法求解，如果小球恰好落在斜面与水平面的交点处，则满足hct θ＝vt，h＝eq \f(1,2)gt2，联立可得v＝ eq \r(\f(gh,2))ct θ.故当v大于 eq \r(\f(gh,2))ct θ时，小球落在水平面上，t＝eq \r(\f(2h,g))，与v无关；当v小于 eq \r(\f(gh,2))ct θ时，小球落在斜面上，x＝vt，y＝eq \f(1,2)gt2，eq \f(y,x)＝tan θ，联立可得t＝eq \f(2vtan θ,g)，即与v有关，故选项C、D正确．
【典例3】一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A.eq \f(L1,2)eq \r(\f(g,6h))＜v＜L1eq \r(\f(g,6h))
B.eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h))＜v＜ eq \r(\f(4L\\al(2,1)＋L\\al(2,2)g,6h))
C.eq \f(L1,2)eq \r(\f(g,6h))＜v＜eq \f(1,2) eq \r(\f(4L\\al(2,1)＋L\\al(2,2)g,6h))
D.eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h))＜v＜eq \f(1,2) eq \r(\f(4L\\al(2,1)＋L\\al(2,2)g,6h))
解析：选D.设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间．
则竖直方向上有3h－h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，①
水平方向上有eq \f(L1,2)＝v1t1.②
由①②两式可得v1＝eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h)).
设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，
在竖直方向有3h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，③
在水平方向有 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L2,2)))2＋L\\al(2,1))＝v2t2.④
由③④两式可得v2＝eq \f(1,2) eq \r(\f(4L\\al(2,1)＋L\\al(2,2)g,6h)).
则v的最大取值范围为v1＜v＜v2，故选项D正确．
1．物体做平抛运动时，下列描述物体的速度变化量大小Δv随时间t变化的图象中，可能正确的是( )
解析：选D.平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为定值，由a＝eq \f(Δv,Δt)知，D正确．
2．游乐场内两支玩具枪在同一位置先后沿水平方向各射出一颗子弹，打在远处的同一个靶上，A为甲枪子弹留下的弹孔，B为乙枪子弹留下的弹孔，两弹孔在竖直方向上相距高度为h，如图所示，不计空气阻力．关于两枪射出子弹的初速度大小，下列判断正确的是( )
A．甲枪射出的子弹初速度较大
B．乙枪射出的子弹初速度较大
C．甲、乙两枪射出的子弹初速度一样大
D．无法比较甲、乙两枪射出的子弹初速度的大小
解析：选A.由题图可以看出，子弹射出后到打到靶上的过程中，竖直方向的位移关系是hB>hA，由h＝eq \f(1,2)gt2得tB＞tA，由v＝eq \f(x,t)可以得出vA＞vB，A正确．
3．在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中( )
A．速度和加速度的方向都在不断改变
B．速度与加速度方向之间的夹角一直减小
C．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等
D．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等
解析：选B.小球做平抛运动，加速度为重力加速度，小球的速度大小和方向时刻变化，小球的加速度大小和方向均恒定，故A错误．速度与加速度的夹角的正切值tan θ＝eq \f(v0,vy)＝eq \f(v0,gt)，随着时间t的增大，夹角θ减小，故B正确．速度改变量Δv＝gΔt，相等时间内的速度改变量相等，但速率(即速度的大小)的改变量不相等，故C错误．相等时间内动能的改变量取决于合力——重力做的功，由于相等时间内下落的高度越来越大，重力做的功越来越多，故动能的改变量越来越大，故D错误．
4．如图所示，某同学将一枚飞镖从高于靶心的位置水平投向竖直悬挂的靶盘，结果飞镖打在靶心的正下方．忽略飞镖运动过程中所受空气阻力，在其他条件不变的情况下，为使飞镖命中靶心，他在下次投掷时可以( )
A．换用质量稍大些的飞镖
B．适当增大投飞镖的高度
C．到稍远些的地方投飞镖
D．适当减小投飞镖的初速度
解析：选B.飞镖做的是平抛运动，飞镖打在靶心的正下方说明飞镖竖直方向的位移太大，根据平抛运动的规律可得，水平方向上x＝v0t，竖直方向上h＝eq \f(1,2)gt2，所以要想减小飞镖竖直方向的位移，在水平位移不变的情况下，可以适当增大投飞镖的初速度来减小飞镖的运动时间，故D错误；初速度不变时，时间不变，适当增大投飞镖的高度，可以使飞镖命中靶心，飞镖的质量不影响平抛运动的规律，故A错误，B正确；在稍远些地方投飞镖，则运动时间变长，下落的高度变大，不会击中靶心，故C错误．
5．(多选)如图所示，相同的乒乓球1、2恰好在等高处水平越过球网，不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自最高点到落台的过程中，下列说法正确的是( )
A．过网时球1的速度小于球2的速度
B．球1的飞行时间大于球2的飞行时间
C．球1的速度变化率等于球2的速度变化率
D．落台时，球1的重力功率等于球2的重力功率
解析：选CD.由h＝eq \f(1,2)gt2知两球运动时间相等，B错误；由于球1水平位移大，故水平速度大，A错误；两球都做平抛运动，故加速度等大，即速度变化率相等，C正确；由veq \\al(2,y)＝2gh可知落台时两球竖直速度等大，又因为重力等大，故落台瞬时功率等大，D正确．
6. 如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg.不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8；g取10 m/s2)．求：
(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小；
(3)运动员从O点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间．
解析：(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，
有Lsin 37°＝eq \f(1,2)gt2，
L＝eq \f(gt2,2sin 37°)＝75 m.
(2)设运动员离开O点时的速度为v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有Lcs 37°＝v0t，
即v0＝eq \f(Lcs 37°,t)＝20 m/s.
(3)运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为 v0cs 37°、加速度为gsin 37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为v0sin 37°、加速度为gcs 37°)．
当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡最远，
有v0sin 37°＝gcs 37°·t，解得t＝1.5 s
答案：(1)75 m (2)20 m/s (3)1.5 s
7. 如图所示，从A点由静止释放一弹性小球，一段时间后与固定斜面上B点发生碰撞，碰后小球速度大小不变，方向变为水平方向，又经过相同的时间落于地面上C点，已知地面上D点位于B点正下方，B、D间的距离为h，则( )
A．A、B两点间的距离为eq \f(h,2)
B．A、B两点间的距离为eq \f(h,3)
C．C、D两点间的距离为2h
D．C、D两点间的距离为eq \f(2\r(3),3)h
解析：选C.AB段小球自由下落，BC段小球做平抛运动，两段时间相同，所以A、B两点间距离与B、D两点间距离相等，均为h，故A、B错误；BC段平抛初速度v＝eq \r(2gh)，持续的时间t＝eq \r(\f(2h,g))，所以C、D两点间距离x＝vt＝2h，故C正确，D错误．
8. 如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为( )
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶2 D．2∶3
解析：选C.小球A、B从同一高度平抛，到斜面上的C点经历的时间相等，设为t，由题意可得tan 30°＝eq \f(\f(1,2)gt2,v1t)，tan 30°＝eq \f(v2,gt)，解得v1∶v2＝3∶2，C正确．
9. 如图所示，一个小球从一斜面顶端分别以v10、v20、v30水平抛出，分别落在斜面上1、2、3点，落到斜面时竖直分速度分别是v1y、v2y、v3y，则( )
A.eq \f(v1y,v10)＞eq \f(v2y,v20)＞eq \f(v3y,v30) B.eq \f(v1y,v10)＜eq \f(v2y,v20)＜eq \f(v3y,v30)
C.eq \f(v1y,v10)＝eq \f(v2y,v20)＝eq \f(v3y,v30) D．条件不足，无法比较
解析：选C.设小球落到斜面时速度方向与水平方向的夹角为α，由tan α＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)＝eq \f(gt2,v0t)＝eq \f(2y,x)＝2tan θ，
故eq \f(v1y,v10)＝eq \f(v2y,v20)＝eq \f(v3y,v30)，C正确．
10．如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，则( )
A．P→Q所用的时间t＝2 eq \r(\f(2l,gsin θ))
B．P→Q所用的时间t＝eq \r(\f(2l,g))
C．初速度v0＝b eq \r(\f(gsin θ,2l))
D．初速度v0＝beq \r(\f(g,2l))
解析：选C.物体的加速度为：a＝gsin θ.根据l＝eq \f(1,2)at2，得：t＝ eq \r(\f(2l,gsin θ))，故A、B错误；初速度v0＝eq \f(b,t)＝b eq \r(\f(gsin θ,2l))，故C正确，D错误．
11．(多选) 如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是( )
A．球的速度v等于L eq \r(\f(g,2H))
B．球从击出至落地所用时间为 eq \r(\f(2H,g))
C．球从击球点至落地点的位移等于L
D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
解析：选AB.由平抛运动规律知，在水平方向上有L＝vt，在竖直方向上有H＝eq \f(1,2)gt2，联立解得t＝ eq \r(\f(2H,g))，v＝eq \f(L,t)＝L eq \r(\f(g,2H))，A、B正确；球从击球点至落地点的位移为x＝eq \r(H2＋L2)，与球的质量无关，C、D错误．
12．如图所示，倾角为37°的粗糙斜面的底端有一质量m＝1 kg的凹形小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25.现小滑块以某一初速度v从斜面底端上滑，同时在斜面底端正上方有一小球以v0水平抛出，经过0.4 s，小
球恰好垂直斜面方向落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中．(已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)，g取10 m/s2.求：
(1)小球水平抛出的速度v0；
(2)小滑块的初速度v.
解析：(1)设小球落入凹槽时竖直速度为vy，则
vy＝gt＝10×0.4 m/s＝4 m/s
v0＝vytan 37°＝3 m/s.
(2)小球落入凹槽时的水平位移x＝v0t＝3×0.4 m＝1.2 m
则滑块的位移为s＝eq \f(1.2,cs 37°) m＝1.5 m
滑块上滑时，mgsin 37°＋μmgcs 37°＝ma
解得a＝8 m/s2
根据公式s＝vt－eq \f(1,2)at2
解得：v＝5.35 m/s.
答案：(1)3 m/s (2)5.35 m/s
13．（多选）如图所示，AC是倾角为的固定斜面，CD部分为水平面，小球从斜面顶端A点以初速度v0水平抛出，刚好落在斜面上的B点，。现将小球从斜面顶端A点以初速度2v0水平抛出（不计空气阻力，小球下落后均不弹起，重力加速度为g），则小球前后两次在空中运动过程中（ ）
A．时间之比为
B．水平位移之比为1：3
C．当初速度为2v0时，小球从抛出到离斜面的最远的时间为
D．当初速度为v0时，小球在空中离斜面的最远距离为
【答案】AD
【详解】A．设小球的初速度为v0时，落在斜面上时所用时间为t，小球落在斜面上时有
解得
设落点距斜面顶端距离为s，则有
若斜面足够长，两次小球均落在斜面上，落点距斜面顶端距离之比为1∶4，则第二次落在距斜面顶端4L处，根据题意，斜面长度为3L，大于斜面的长度，可知以2v0水平抛出时小球落在水平面上。根据题意，两次下落高度之比为1∶3，根据
解得
所以时间之比为，A正确；
B．水平位移之比为
B错误；
C．根据
解得
C错误；
D．当小球的速度方向与斜面平行时，小球到斜面的距离最大。即在小球距离斜面最远时，垂直于斜面方向的速度等于零，建立沿斜面和垂直于斜面的平面直角坐标系，将初速度v0和重力加速度g进行分解，垂直于斜面的最远距离
D正确。
故选AD。
14．（多选）一苹果在距地面高的地方由静止开始自由下落，地面上与苹果在同一竖直平面内且与苹果水平相距的地方斜向上射出一飞刀，要使飞刀在空中射中苹果，则飞刀射出时的速度大小可能的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【详解】苹果由静止开始自由下落，则下落高度
解得苹果落地时间大约为
飞刀水平方向的分速度为
苹果即将落地时飞刀射中苹果时飞刀竖直方向的分速度最小，竖直方向的速度至少为，则
解得
故飞刀的初速度至少为
故选CD。
15．（多选）如图所示，一架飞机沿水平方向匀速飞行，刚刚到达山坡底端正上方时，立即释放—颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A。已知A距山坡底端的高度为h，山坡的倾角为，重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．炸弹的竖直位移与水平位移的大小之比为
B．飞机投弹时距山坡底端的高度为
C．炸弹运动的时间为
D．炸弹落到山坡上的瞬时速度大小为
【答案】BC
【详解】A．由题意可知
得
A错误；
B．由于
可得
飞机投弹时距山坡底端的高度为
B正确；
C．根据
得炸弹运动的时间为
C正确；
D．炸弹落到山坡上时，水平速度为
竖直速度为
炸弹落到山坡上的瞬时速度大小为
得
D错误。
故选BC。
16．（多选）如图所示，两相同的斜面倾角均为，高度为h，从左侧斜面顶端以一定初速度水平抛出一个小球，已知重力加速度为g，不计空气阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．小球可能垂直落在斜面上
B．小球落在斜面上时水平位移与初速度的平方成正比
C．小球落在斜面上时运动时间与初速度成正比
D．小球下落到斜面上高度为处时，初速度可能为
【答案】AD
【详解】A. 若小球落在右侧斜面上，设落在斜面上时下落的高度为，由平抛运动的规律
根据几何关系
落在斜面时，竖直方向速度
可得
若小球垂直落在斜面上，则有
此时
故A正确；
C． 若小球落在左斜侧面上
得到
若小球落在右侧斜面上，由上述公式得
故C错误；
B．由上述公式得到
若小球落在右侧斜面上
B错误；
D．小球下落的高度为处时，运动时间
水平位移为或，当水平位移为时，
故D正确。
故选AD。
17．从高处的点A先后水平抛出两个小球1和2，球1与地面碰撞一次后，恰好越过位于水平地面上高为h的竖直挡板，然后落在水平地面上的D点，碰前碰后的速度水平方向不变，竖直方向等大反向。球2恰好越过挡板也落在D点，忽略空气阻力。挡板的高度h为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】A．设1、2球的初速度分别为、，从抛出到落到D点运动的时间分别为、则对两球在水平方向有
依题意
所以
又因两球飞过竖直挡板前的水平位移相同，而速度的水平分量的关系为
故它们飞过挡板前的运动时间满足
设球1从第一次落地到飞至挡板顶端所用的时间为t，则上述关系可写为
球1第一次落地时速度的竖直分量为
到达挡板顶端时速度的竖直分量为
两者满足
联立方程并代入数据可得
故选B。
18．如图，两个靠得很近的小球（均可视为质点）从斜面上的同一位置O以不同的初速度做平抛运动，斜面足够长，在斜面上的落点分别为A、B，在空中运动的时间分别为，落到斜面前瞬间的速度与斜面的夹角分别为，已知。下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．B球在空中离斜面最远时，其速度方向与斜面平行D．
【答案】C
【详解】AB．小球做平抛运动，根据，可知A小球下落的高度为B小球下落高度的一半，对A小球
，
对B小球
，
解得
，
AB错误；
C．当速度方向与斜面平行时，B小球距离斜面最远，此时分解速度得
解得
落到斜面底端时
解得
可知B小球运动总时间一半时，距离斜面最远，B小球水平方向做匀速直线运动，所以B小球此时正在A点的正上方，C正确。
D．小球落到斜面上，末速度的反向延长线必过水平位移中点，所以初速度与末速度的夹角满足
假设斜面倾角为，则
斜面倾角不变，所以小球落到斜面瞬间的偏转角不变，根据几何关系可知小球落到斜面瞬间，末速度与斜面的夹角等于与之差，所以，D错误。
故选C。
19．“刀削面”是一种广受消费者喜爱的面食，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，厨师将小面圈沿锅的某条半径方向水平削出，小面圈距锅的高度，与锅沿的最近水平距离，锅可视为半径的半球壳（不计锅的厚度），水面到锅底的距离。不计一切阻力，小面圈的运动可视为平抛运动，则（ ）
A．落入锅中的小面圈速度的变化量均相同
B．落入锅中的小面圈，速度范围为
C．直接落入水中的小面圈，速度范围为
D．直接落入水中的小面圈，速度范围为
【答案】D
【详解】A．小面圈做平抛运动，出发点相同，落入锅中的位置不同，即下落时间不一定相同，根据
易知，落入锅中的小面圈速度的变化量不一定相同。故A错误；
B．落入锅中的小面圈，恰好落在锅的左侧边缘处，水平速度最小，有
恰好落在锅的右侧边缘处，水平速度最大，有
又
联立，可得
故B错误；
CD．直接落入水中的小面圈，由几何关系可知最小速度对应的水平分位移为
根据平抛运动规律，有
，
解得
因为
所以直接落入水中的小面圈，最小速度为
同理，直接落入水中的小面圈，由几何关系可知最大速度对应的水平分位移为
又
解得
直接落入水中的小面圈，速度范围为
故C错误；D正确。
故选D。
方法
内容
斜面
总结
分解速度
水平：vx＝v0
竖直：vy＝gt
合速度：
v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))
分解速度，构建速度三角形
分解位移
水平：x＝v0t
竖直：y＝eq \f(1,2)gt2
合位移：s＝eq \r(x2＋y2)
分解位移，构建位移三角形
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