精品解析：上海市闵行区2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

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一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 已知集合，，则_____．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析: 因,所以,故应填答案.
考点：集合的交集运算．
2. 函数y＝ln(x-1)的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：根据对数的真数大于零，所以.
考点：函数的定义域.
3. 若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】由幂函数所过的点求参数a，即可得函数表达式.
【详解】由题设，，可得，
∴幂函数表达式为.
故答案：.
4. 已知，用表示___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用指对互化可得答案.
【详解】因为，所以，所以.
故答案为：.
5. 不等式的解是___________.
【答案】
【解析】
【分析】将分式不等式化为，则有即可求解集.
【详解】由题设，，
∴，可得，
原不等式的解集为.
故答案为：.
6. 已知、，关于的不等式的解集为，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得、的值，即可得解.
【详解】由题意可知，关于的方程的两根分别为、，
由韦达定理可得，可得，因此，.
故答案为：.
7. 陈述句“或”的否定形式是________.
【答案】且.
【解析】
【分析】
含有“或”联结词的否定是“且”.
【详解】解：或的否定是：且.故答案为：且.
8. 设，则___________.
【答案】4
【解析】
【分析】由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质，求值即可.
【详解】由.
故答案为：4.
9. 已知实数满足，则的最大值为___________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.
【详解】因实数满足，则，当且仅当时取“=”，
由且解得或，
所以当或时，取最大值1.
故答案为：1
10. 如图，函数的图象为折线，则不等式的解为___________.
【答案】##
【解析】【分析】先作函数图象，再求交点，最后根据图象确定解集.
【详解】
因为经过，
所以时，令，
当时，可得，
所以的解集为.
故答案：.
11. 已知，函数有最大值，则实数取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数、分式型函数性质分别求出、的值域，结合已知条件可得，即可求参数范围.
【详解】由在上递减，当时值域为，当时值域为，
由在上递增，当时值域为，当时值域为，
∴要使函数存在最大值，则且，即，
∴.
故答案为：.
12. 已知，若存在定义域为的函数满足：对任意，，则___________.
【答案】-2
【解析】
【分析】由已知可得为偶函数，即，令，由，可得，计算即可得解.
【详解】对任意，，
将函数向左平移2个单位得到，函数为偶函数，所以，
令，由，可得，解得：.
故答案为：.
二､选择题（本大题共4题，满分20分）
13. 已知为实数，若，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．
【详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；
当，则，有，满足必要性；
所以是的必要不充分条件．
故选:B．
14. 如果，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D【解析】
【分析】根据题意，依次判断选项，举出反例可得中不能恒成立，由，结合即可证明成立.
【详解】根据题意，依次判断选项：
对于A，当时，不成立，
对于B，当时，不成立，
对于C，当时，不成立，
对于D，若，而，必有恒成立，
故选：D.
15. 函数的大致图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过分析函数值的正负及函数值的变化趋势可求解.
【详解】当时，，排除B,D；
当，
因为指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，所以，当无穷大时，无限趋于0，排除A.
故选:C.
16. 已知关于的不等式的解集是，不等式的解集是，有下列两个结论：①存在，使；②对任意的，都有；则（ ）
A. ①②均正确B. ①②均错误
C. ①正确②错误D. ①错误②正确
【答案】D
【解析】
【分析】由已知得，根据，若，则，结合函数的图象，可判断①
由，转化为对任意的，有，求得，只需作差比较与的大小可判断②.
【详解】由已知得，所以不等式的解集是，
不等式的解集是，所以，
若，则，结合函数的图象，不可能是，
故①错误；
因为，则对任意的，有，解得，
即，
现比较与的大小，
，因为，
所以，所以对任意的，都有，②对.
故选：D.
三､解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. 已知全集为，集合.
（1）求；
（2）已知集合，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据补集的运算可得答案；
（2）利用结合图形可得实数的取值范围.
【小问1详解】
因为或，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，解得.
实数的取值范围是.
18. 已知.
（1）若函数是偶函数，且当时，，当时，求的表达式；
（2）证明：函数在区间上是严格增函数.
【答案】（1）当时，；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】(1)根据偶函数的定义设变量代入直接计算作答.
(2)利用函数单调性定义证明函数单调性的方法、步骤推理作答.
【小问1详解】
，则，而时，，又函数是偶函数，
于是得，
所以当时，.
【小问2详解】
且，则，
因，则，，，即，有，
所以函数在区间上是严格增函数.
19. 为了使读者有更好的阅读体验，某杂志采用如下排版方式：在矩形版面中设计两个相同的矩形栏目，每个栏目的面积为，在它们的上下各留有的空隙，左右各留有的空隙，中间留有的空隙，如图所示（图中单位：），设矩形栏目的左侧边长为，整个矩形版面的面积为
（1）试把表示成的函数；
（2）当为何值时，整个矩形版面的面积最小.（结果精确到）
【答案】（1）；
（2）cm.
【解析】
【分析】(1)根据给定条件用含x的代数式表示相关量即可计算作答.
(2)利用(1)中函数式结合均值不等式计算作答.
【小问1详解】
因矩形栏目左侧边长为，则上侧边长为cm，
整个版面的左侧边长为cm，上侧边长为cm，
整个版面矩形的面积为，
所以.
【小问2详解】
由(1)知，，
当且仅当，即(cm)，取得最小值，
所以当等于cm时，整个矩形版面的面积最小.
20. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号､概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数.（1）已知，判断和是不是倒函数；（不需要说明理由）
（2）若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；
（3）若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数.记，证明：是的充要条件.
【答案】（1）是倒函数，不是倒函数；
（2）没有正整数解，理由见解析；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据倒函数的定义，判断给定函数是否为倒函数即可；
（2）由导函数的定义求时对应的解析式，进而可判断是否有正整数解；
（3）由题设可得，根据充分、必要性的定义，结合倒函数的性质证明结论.
【小问1详解】
对于，定义域为R，显然定义域中任意实数有成立，又，
∴是倒函数，
对于，定义域为，故当时，不符合倒函数的定义，
∴不是倒函数.
【小问2详解】
令，则，
∴倒函数的定义，可得，即，
∴，要使有正整数解，则，
当时，；当时，；∴没有正整数解.
【小问3详解】
由题设，，又是上的倒函数，
∴，故，
充分性：当时，且，又在上是严格增函数，
∴，，故成立；
必要性：当时，有，又恒大于0，
∴，即，在上是严格增函数，
∴，即有成立；
综上，是的充要条件.
【点睛】关键点点睛：第三问，注意倒函数的性质的应用，结合已知条件从充分性、必要性两方面证明条件间的充要关系.
21. 对于函数及正实数，若存在，对任意的，恒成立，则称函数具有性质.
（1）判断函数是否具有性质？并说明理由；
（2）已知函数具有性质，求实数的取值范围；
（3）如果存在唯一的一对实数与，使函数具有性质，求正实数的取值情况.
【答案】（1）不具有，理由见解析；
（2）；
（3）.
【解析】【分析】(1)根据给定条件取特值计算判断作答.
(2)利用绝对值不等式的几何意义等价变形，分离参数，借助二次函数最值作答.
(3)利用绝对值三角形不等式变形并探讨等号成立的条件，再验证作答.
【小问1详解】
依题意，不等式对时不成立，
所以函数不具有性质.
【小问2详解】
依题意，，成立，
而当时，，
令，则有，对递减，，
对递增，，于是得，
所以实数的取值范围是.
【小问3详解】
依题意，，不等式恒成立，
分别取得：，
则，
于是得，当时，或，解得， 无解，
因此，当时，存在唯一数对，
当时，取得：，即，从而得 ，
此时，，则的取值不唯一，
所以正实数的值为.
【点睛】方法点睛：绝对值不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，
体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．