湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题(学生版+解析)

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题(学生版+解析)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人：李群丽 审题人：薛祖山 陈朝阳
(时间：120分钟 分值：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数满足，则( )
A. 2B. C. D.
2. 已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角的正弦值为( )
A. B. C. D.
3. 若，，，则事件与的关系是( )
A. 事件与互斥B. 事件与对立
C. 事件与相互独立D. 事件与既互斥又相互独立
4. 函数在上的大致图象为( )
A. B.
C D.
5. 关于函数，下列说法不正确的是( )
A. 定义域为B. 图像关于轴对称
C. 图像关于原点对称D. 在内单调递增
6. 已知某摩天轮的半径为，其中心到地面的距离为，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有( )
A. 分钟B. 分钟C. 分钟D. 分钟
7. 已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
8. 设，，，则( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分.
9. 已知向量，，则( )
A. B. 向量，的夹角为
C. D. 向量是与共线的向量
10. 已知，，且，则( )
A B.
C. D.
11. 现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：
甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24；
乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；
丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6；
根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是( )
A. 甲球员连续5场比赛得分都不低于24分
B. 乙球员连续5场比赛得分都不低于24分
C. 丙球员连续5场比赛得分都不低于24分
D. 丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24
12. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有( )
A. 的一个周期为4B. 点是函数的一个对称中心
C. 时，D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若随机变量，且，则______.
14. 在正方体中，异面直线与的夹角的大小为______
15. 2022年冬奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融非常可爱，某教师用吉祥物的小挂件作为奖品鼓励学生学习，设计奖励方案如下：在不透明的盒子中放有大小、形状完全相同的6张卡片，上面分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从中不放回地抽取两次卡片，每次抽取一张，只要抽到的卡片编号大于4就可以中奖，在第一次抽到卡片中奖的条件下，第二次抽到卡片中奖的概率为______.
16. 已知函数，若对于任意，均有，则的最大值是___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，与交于点.

(1)求证：平面.
(2)若，求四棱锥的表面积.
18. 已知函数.
(1)求函数的单调递减区间
(2)若在中，角，，所对的边分别为，，，且，，求面积的最大值.
19. 设二次函数同时满足下列条件：①当时，总有；②函数的图象与轴的两个交点为，，且；③.
(1)求的解析式；
(2)对，都有成立，求满足条件的实数的取值范围.
20. 小家电指除大功率、大体积家用电器(如冰箱、洗衣机、空调等)以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模(单位：千亿元)，其中年份对应的代码依次为1∼5．
(1)由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程(系数精确到0.01)；
(2)某传媒公司为了了解中国智能小家电消费者年龄分布，随机调查了200名消费者，统计这200名消费者年龄，按照青少年与中老年分为两组，得到如下2×2列联表，请将列联表补充完整，并回答：依据的独立性检验，能否认为是否喜欢够买智能小家电与年龄有关？
参考数据及公式：
，，中，
，
附：临界值表
21. 设函数是定义域为偶函数，是定义域为的奇函数，且.
(1)求与的解析式；
(2)若在上的最小值为，求的值.
22. 甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立．
(1)若，，，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛概率；
(2)当时，
(i)若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值；
(ii)若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率(用α，β表示)，无需写出过程．
年份代码
1
2
3
4
5
市场规模
0.9
1.2
1.5
1.4
1.6
青少年
中老年
合计
喜欢购买智能小家电
80
不喜欢购买智能小家电
60
合计
110
200
0.10
0.010
0.001
2.706
6.635
10.828
雅礼中学2023年上学期高二5月月考试卷
数学
命题人：李群丽 审题人：薛祖山 陈朝阳
(时间：120分钟 分值：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数满足，则( )
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法性质求解即可.
【详解】.
故选：D
2. 已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角的正弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求得，设两平面所成的二面角为，求得，即可求解.
【详解】由两平面的法向量分别为，，
可得，
设两平面所成的二面角为，其中，可得.
即两平面所成二面角的正弦值为.
故选：B.
3. 若，，，则事件与的关系是( )
A. 事件与互斥B. 事件与对立
C. 事件与相互独立D. 事件与既互斥又相互独立
【答案】C
【解析】
【分析】结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案.
【详解】∵，
∴，
∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.
故选：C
4. 函数在上的大致图象为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可.
【详解】解：∵，∴在上为偶函数．
又，
∴只有选项C的图象符合．
故选：C．
5. 关于函数，下列说法不正确的是( )
A. 定义域为B. 图像关于轴对称
C. 图像关于原点对称D. 在内单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】求函数的定义域可判断A；由函数的奇偶性定义可判断B，C；根据导函数符号得函数单调性判断D.
【详解】函数的定义域满足，解得，则定义域为，故A正确；
又，所以，故函数为奇函数，关于原点对称，故B错误，C正确；
当，则，所以可得函数在内单调递增，故D正确.
故选：ACD.
6. 已知某摩天轮半径为，其中心到地面的距离为，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有( )
A. 分钟B. 分钟C. 分钟D. 分钟
【答案】B
【解析】
【分析】求出游客到地面的距离为关于转动时间(单位：分钟)的函数关系式，然后解不等式，可得出结果.
【详解】设游客到地面的距离为，设关于转动时间(单位：分钟)的函数关系式为，
则，，可得，
函数的最小正周期为，则，
当时，游客位于最低点，可取，
所以，，
由，即，可得，
所以，，解得，
因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有分钟.
故选：B.
7. 已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数判断的单调性，求出其零点的值，根据求出的范围.令g(x)=0，参变分离，将问题转化为方程有解问题即可求解．
【详解】，
，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
为方程的根，即﹒
故，即为，解得﹒
是函数的零点，
方程在上有解﹒
即在上有解﹒
，
在上有解﹒
令，
则，
设，
则，易知h(t)在上单调递增，在上单调递减﹒
又，
﹒
﹒故实数a的最小值是﹒
故选：A﹒
8. 设，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方法一：构造函数，，利用导数得出单调性，进而得出大小关系.
方法二：由作差法，并构造函数，，利用导数得出单调性，进而得出大小关系.
【详解】方法一：构造法
设，因为
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，故，
设，则
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以．
方法二：比较法
解：，，
①，令，，
则，故在上单调递减，可得，即，所以；
②，令，，
则
令，所以
所以在上单调递增，可得，即
所以在上单调递增，可得，即，所以．
故．
故选：A．
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于构造函数，利用导数得出单调性，进而得出大小关系.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分.
9. 已知向量，，则( )
A. B. 向量，的夹角为
C. D. 向量是与共线的向量
【答案】BD
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的坐标运算、模长的坐标、夹角余弦值的坐标运算、共线向量的坐标关系逐项判断即可得答案.
【详解】因为向量，，
所以，故A错误；
向量，的夹角余弦值，又，所以，故B正确；
又，故C错误；
向量，所以向量是与共线的向量，故D正确.
故选：BD.
10. 已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据基本不等式的性质即可判断A，B正确，根据基本不等式的性质和对数函数的单调性即可判断C错误，利用作差法即可判断D正确.
【详解】对选项A，因为，，且，
所以，当且仅当时，等号成立，故A正确.
对选项B，由A知：，
所以，
当且仅当时，等号成立，故B正确.
对选项C，，
当且仅当时，等号成立，故C错误.
对选项D，因为，，
所以，故D正确.
故选：ABD
11. 现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：
甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24；
乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；
丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6；
根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是( )
A. 甲球员连续5场比赛得分都不低于24分
B. 乙球员连续5场比赛得分都不低于24分
C. 丙球员连续5场比赛得分都不低于24分
D. 丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24
【答案】AD
【解析】
【分析】根据中位数，众数的定义判断A，结合中位数，平均数的定义举反例判断B，根据平均数和方差的定义，百分位数的定义，分析丙球员的得分判断CD.
【详解】设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为，
则，，且至少出现次，
故，A正确；
设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为，
则，，
取，可得其满足条件，但有2场得分低于24，B错误；
设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为，
由已知，
所以，
若，则，
所以，矛盾，
所以，，
因为的平均数为，所以，
取，满足要求，但有一场得分低于24分，C错误；
因为，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为，
若，则，故，矛盾，
所以，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24，D 正确；
故选：AD.
12. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有( )
A. 的一个周期为4B. 点是函数的一个对称中心
C. 时，D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由为奇函数，为偶函数，可求得的周期为4，即可判断函数的对称性，由为奇函数，可得，结合，可求得，的值，从而得到时，的解析式，再利用周期性从而求出的值．
【详解】为奇函数，，且，函数关于点，
偶函数，，函数关于直线对称，
，
即，，
令，则，，
，故的一个周期为4，故A正确；
则直线是函数的一个对称轴，故B不正确；
当时，，
，，
又，，解得，
，，
当时，，故C不正确；
，故D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若随机变量，且，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据正态分布的性质计算可得.
【详解】因为，且，
所以.
故答案为：
14. 在正方体中，异面直线与的夹角的大小为______
【答案】
【解析】
【分析】连结、，由，得是异面直线与所成角(或所成角的补角)，由此能求出出异面直线与所成角的大小．
【详解】连结、，正方体中，
∵，∴是异面直线与所成角(或所成角的补角)，
∵，∴，
∴异面直线与所成角的大小是．
故答案为．
【点睛】本题考查异面直角所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是基础题．
15. 2022年冬奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融非常可爱，某教师用吉祥物的小挂件作为奖品鼓励学生学习，设计奖励方案如下：在不透明的盒子中放有大小、形状完全相同的6张卡片，上面分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从中不放回地抽取两次卡片，每次抽取一张，只要抽到的卡片编号大于4就可以中奖，在第一次抽到卡片中奖的条件下，第二次抽到卡片中奖的概率为______.
【答案】##0.2
【解析】
【分析】根据条件概率公式求解即可.
【详解】令事件：第一次抽到卡片中奖，，
令事件：第二次抽到卡片中奖，，
第一次抽到卡片中奖的条件下，第二次抽到卡片中奖的概率为
.
故答案为：
16. 已知函数，若对于任意，均有，则的最大值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】首先讨论、时的最值情况，由不等式恒成立求的范围，再讨论并结合的单调情况求的范围，最后取它们的并集即可知的最大值.
【详解】当时，，
当时，，
令，则
∴当时，有；有；
由有，有，故；
当时，有；有；
由有，有，故，即；
当时，，
∴：在上递减，上递减，上递增；
：在上递减，上递增；
：在上递减，上递增，上递增；
∴综上，在上先减后增，则，可得
∴恒成立，即的最大值是-1.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：分类讨论参数的取值范围，根据函数不等式恒成立求代数式范围，其中综合应用二次函数、三角函数的性质研究复合函数的单调性，进而确定代数式的最大值.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，与交于点.

(1)求证：平面.
(2)若，求四棱锥的表面积.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】(1)先证明，，再由线面垂直判定定理证明平面，
(2)求锥体各个面的面积相加即可求解.
【小问1详解】
因为四边形是正方形，
所以，
因为平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为平面，平面，
所以，，
因为，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因为四边形为正方形，，所以，
又，，所以，
所以的面积，的面积，
的面积，的面积，
又正方形的面积，
所以四棱锥的表面积.
18 已知函数.
(1)求函数的单调递减区间
(2)若在中，角，，所对的边分别为，，，且，，求面积的最大值.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】(1)利用辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
(2)由，求出角，余弦定理求的最大值，面积公式可求面积的最大值．
【小问1详解】
因为
，
即，
令，，解得，，
所以函数的单调减区间为，．
【小问2详解】
由得，由，∴，∴．
又，由余弦定理得，
所以，得，当且仅当时等号成立，
所以，
所以面积的最大值为．
19. 设二次函数同时满足下列条件：①当时，总有；②函数的图象与轴的两个交点为，，且；③.
(1)求的解析式；
(2)对，都有成立，求满足条件实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据函数的图象关于直线对称，且方程的两根为和1，可设，由可得解；
(2)依题意可得对恒成立，令，则，解得即可.
【小问1详解】
由①当时，总有，可得的图象关于直线对称，
由②函数的图象与轴的两个交点为，，且，可得方程的两根为和，
所以设，
又，则，解得，
所以，即.
【小问2详解】
因为对，都有成立，
即，成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
令，
则，要使对恒成立，
则，解得，即实数的取值范围为.
20. 小家电指除大功率、大体积家用电器(如冰箱、洗衣机、空调等)以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模(单位：千亿元)，其中年份对应的代码依次为1∼5．
(1)由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程(系数精确到0.01)；
(2)某传媒公司为了了解中国智能小家电消费者年龄分布，随机调查了200名消费者，统计这200名消费者年龄，按照青少年与中老年分为两组，得到如下2×2列联表，请将列联表补充完整，并回答：依据的独立性检验，能否认为是否喜欢够买智能小家电与年龄有关？
参考数据及公式：
，，中，
，
附：临界值表
【答案】(1)
(2)能认为是否喜欢购买智能小家电与年龄有关
【解析】
【分析】(1)利用已知数据计算相关系数，从而可判断与的线性相关程度，再利用公式计算相关量即可得回归方程；
(2)完成列联表，根据给定数据判断得出结论．
【小问1详解】
由已知得，，
，，
，
所以，
因为与的相关系数近似为0.92，说明与的线性相关程度较高，
所以可以用线性回归模型拟合与的关系．
由题可得，，
，
，
故与的经验回归方程为．
【小问2详解】
由题意可得如下2×2列联表：
所以，
所以能认为是否喜欢购买智能小家电与年龄有关．
21. 设函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.
(1)求与的解析式；
(2)若在上的最小值为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据函数的奇偶性可得出关于、的方程组，即可解得这两个函数的解析式；
(2)设，可得，设，分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，结合可求得实数的值.
【小问1详解】
解：为偶函数，，
又为奇函数，，
，①
，即，②
由得：，可得.
【小问2详解】
解：，
所以，，
令，因为函数、在上均为增函数，
故在上单调递增，则，
设，，对称轴，
①当时，函数在上为减函数，在上为增函数，
则，解得：或(舍)；
②当时，上单调递增，
，解得：，不符合题意.
综上：.
22. 甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立．
(1)若，，，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；
(2)当时，
(i)若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值；
(ii)若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率(用α，β表示)，无需写出过程．
【答案】(1)
(2)(i)分布列见解析，期望最大值为；(ii).
【解析】
【分析】(1)根据题意结合独立事件的概率乘法公式分析运算；
(2)(i)根据题意求分布列，进而可得期望；(ii)根据题意结合条件概率分析运算.
【小问1详解】
用事件A，B，C分别表示每局比赛“甲获胜”“乙获胜”或“平局”，则
，，，
记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，则事件N包括事件ABAA，BAAA， ACCA，CACA，CCAA共5种，
所以
．
【小问2详解】
(i)因为，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即，
由题意得X的所有可能取值为2，4，5，则
，
，
．
所以X的分布列为
所以X的期望
，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，
故的最大值为．
(ii)记“甲学员赢得比赛”为事件M，则．
由(1)得前两局比赛结果可能有AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲学员赢得比赛”，事件BB表示“乙学员赢得比赛”，事件AB，BA表示“甲、乙两名学员各得1分”，当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同．
所以
所以，即，
因为，所以．
年份代码
1
2
3
4
5
市场规模
0.9
1.2
1.5
1.4
1.6
青少年
中老年
合计
喜欢购买智能小家电
80
不喜欢购买智能小家电
60
合计
110
200
0.10
0.010
0.001
2.706
6.635
10.828
青少年
中老年
合计
喜欢购买智能小家电
80
30
110
不喜欢购买智能小家电
30
60
90
合计
110
90
200
X
2
4
5
P