湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题(学生版+解析)

这是一份湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题(学生版+解析)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：150分
得分：______
第 Ⅰ 卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面( )
A 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
3. 函数，的图像大致为( )
A. B.
C. D.
4. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为( )
A. 变量与不独立
B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C. 变量与独立
D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
5. 若“”是“”的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 在中，已知，点G满足，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7. 若，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C D.
8. 已知数列满足，,则的前项积的最大值为( )
A. B. C. 1D. 4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知角的终边经过点，则下列结论正确的是( )
A B.
C. D. 若为钝角，则
10. 已知数列中，，且对任意的，都有，则下列选项正确的是( )
A. 值随n的变化而变化
B.
C. 若m，n，，，则
D. 为递增数列
11. 设正实数x，y满足，则( )
A. 的最大值是
B. 的最小值是9
C. 的最小值为
D. 的最大值为
12. 如图，正四棱柱中，，动点满足，且.则下列说法正确的是( )

A. 当时，直线平面
B. 当时，的最小值为
C. 若直线与所成角为，则动点的轨迹长度为
D. 当时，三棱锥外接球半径的取值范围是
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知复数，则______.
14. 为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5(lgE2﹣lgE1)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的_____倍．(结果精确到0.01．当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2)
15. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则该棱锥的体积为______.
16. 在中，内角，，所对的边分别，，，，，若有且仅有一个解，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设函数.
(1)若曲线在点处与直线相切，求a，b的值；
(2)讨论函数的单调性.
18. 在四棱锥中，底面是正方形，若．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值．
19. 设函数，其中．
(I)若是函数的一条对称轴，求函数周期；
(II)若函数在区间上为增函数，求的最大值．
20. 已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列满足：，()，若不等式()恒成立，求实数的取值范围.
21. 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为(先验概率).
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.
22. 已知函数.
(1)若f(x)最小值为2，求的值；
(2)若m=1，a>e，实数为函数f(x)大于1的零点，求证：
①
②
长郡中学2023年上学期高二期末考试
数学
时量：120分钟 满分：150分
得分：______
第 Ⅰ 卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】由题意可得，则.
故选：D.
2. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件思考题中平面和直线所可能的各种情况，运用有关的定理逐项分析.
【详解】当，时，可能有，但也有可能或，故A选项错误；
当，时，可能有，但也有可能或，故选项B错误；
当，，时，必有，从而，故选项C正确；
在如图所示的正方体中，
取为，为，为平面，为平面，这时满足，，，但不成立，故选项D错误；
故选：C.
3. 函数，的图像大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性及选取特殊值，逐一分析选项即可得答案．
【详解】函数的定义域为，
易知为偶函数，为奇函数，
故函数为奇函数，可排除选项D；
又当时，，
当时，，可排除选项B、C；
故选：A．
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊值判断函数图像问题，考查运算求解能力和逻辑推理能力，选取合适的特殊值并判断其函数值符号是求解本题的关键，属于中档题.
4. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为( )
A. 变量与不独立
B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C. 变量与独立
D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用独立性检验的知识求解.
【详解】按照独立性检验的知识及比对的参数值，当，我们可以下结论变量与独立.故排除选项A,B;
依据的独立性检验，6.147e，实数为函数f(x)大于1的零点，求证：
①
②
【答案】(1)；(2)①证明见解析；②证明见解析.
【解析】
【分析】(1)利用导数求函数的最小值，使其等于2，从而可求出的值；
(2)①由(1)可得，而，存在，使得，所以要证，只需证，设，则只需证，即证，再构造函数利用导数判断；
②当，有，只需证，即证，即证，构造函数利用导数求出其最值
【详解】解：(1)
当时，，单调递增，没有最小值；
当时，在(0，m)上单调递减，在上单调递增
∴，∴.
(2)①时，，
由(1)可知f(x)在(0，1)上单调递减，在单调递增，
∴，由于，
∴存在，使得，
也即，也即.
要证，只需证
设，则只需证，
即证.
取，则，
∴，∴在(0，1)上单调递增
∴，∴在(0，1)上单调递增，
∴.
∴时，成立，综上，成立.
②证1：，∴，∴，
∴只需证，即证，
即证，
取，∴，
∴在上单调递减，
，∴成立，综上，
成立.
证2：要证，
即证，
即证，
即证，
取，即证，，
∴时，，单调递增
取，，
∴时，单调递增，
∴，等价于
取，
∴，
∴在上单调递减，
∴时成立，
综上，成立.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式问题，解题的关键是把要证明的不等式转化为求函数的最值，然后利用导数求出函数的最值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题