搜索
    上传资料 赚现金
    英语朗读宝

    江苏省镇江市2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题(学生版+解析)

    江苏省镇江市2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题(学生版+解析)第1页
    江苏省镇江市2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题(学生版+解析)第2页
    江苏省镇江市2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题(学生版+解析)第3页
    还剩21页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    江苏省镇江市2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题(学生版+解析)

    展开

    这是一份江苏省镇江市2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题(学生版+解析),共24页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1. 若复数z满足z(1+i)=2(i为虚数单位),则在复平面内复数z对应点位于( )
    A. 第一象限B. 第二象限
    C. 第三象限D. 第四象限
    2. 函数的导函数为( )
    A. B. C. D.
    3. 已知,,,则是( )
    A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
    4. 已知等差数列的前项和为,且,则( )
    A. 12B. 14C. 16D. 18
    5. 青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品,属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上,瓷碗底座高为,碗口直径为,碗深.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线,碗里有一根长度为的筷子,筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点,且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为( )

    A. B. C. D.
    6. 从3名男同学和2名女同学候选人中,选一名班长和一名团支部书记,则至少有一名女生当选的不同选举结果为( )
    A. 12B. 14C. 16D. 18
    7. 已知为椭圆C:的右焦点,P为C上的动点,过F且垂直于x轴的直线与C交于M,N两点,若等于的最小值的3倍,则C的离心率为( )
    A. B. C. D.
    8 求和:( )
    A. 512B. 1024C. 5120D. 10240
    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
    9. 已知虚数,,则( )
    A. B.
    C. D. 是方程的一个根
    10. 已知,则( )
    A.
    B.
    C. 数列,,,…,,的最大项为
    D.
    11. 已知函数,则( )
    A. 函数有两个极值点B. 函数的所有极值的和为2
    C. 函数只有1个零点D. 是函数图像的一条切线
    12. 已知点,,动点在:上,则( )

    A. 直线与相交
    B. 线段中点轨迹是一个圆
    C. 的面积最大值为
    D. 在运动过程中,能且只能得到4个不同的
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
    13. 在展开式中,项的系数为______.
    14. 双曲线:(,)的焦点到渐近线的距离等于,则双曲线的渐近线方程为______.
    15. 今天是第一天星期一,则第天是星期______.
    16. 某公司第1年年初向银行贷款1000万元投资项目,贷款按复利计算,年利率为10%,约定一次性还款.贷款一年后每年年初该项目产生利润300万元,利润随即存入银行,存款利息按复利计算,年利率也为10%,则到第年年初该项目总收益为______万元,到第______年的年初,可以一次性还清贷款.
    四、解答题:共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
    17. 已知,二项式.
    (1)若该二项展开式的第4项与第8项的二项式系数相等,求展开式中的系数;
    (2)若展开式的前三项的系数成等差数列,求展开式中系数最大的项.
    18. 喝酒不开车,开车不喝酒.若某人饮酒后,欲从相距的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速.油价为每升8元,当汽车以的速度行驶时,油耗率为.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费,试确定最经济的车速,使得本次行程的总费用最少,并求最小费用.
    19. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为坐标原点,焦点,均在轴上,面积为,点在椭圆上.

    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)经过点的直线与曲线交于,两点,与椭圆的面积比为,求直线的方程.
    20. 已知数列中,,点直线上,数列中,,且对任意,满足:.
    (1)分别求数列和的通项公式;
    (2)请比较与的大小,并证明你的结论.
    21. 已知双曲线:左、右顶点分别为,.

    (1)若过点的直线交双曲线于,两点,求直线的斜率范围;
    (2)过原点的直线与双曲线相交于,两点(在轴的上方),直线,与圆分别交于,,直线与直线的斜率分别为,,求.
    22. 已知.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)若函数恰有两个不同的零点,求m的取值范围.
    2022—2023镇江高二4月期中考试
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 若复数z满足z(1+i)=2(i为虚数单位),则在复平面内复数z对应的点位于( )
    A. 第一象限B. 第二象限
    C. 第三象限D. 第四象限
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据复数的乘除法运算,求得,再求其对应点即可判断.
    【详解】∵,∴,
    ∴在复平面内复数z对应的点位于第四象限.
    故选:D.
    2. 函数的导函数为( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】直接代入求导公式,运用复合函数的求得法则即可求解.
    【详解】依题知,,即,
    由求导公式:,
    复合函数的求导法则:设,则
    得:,
    故选:D.
    3. 已知,,,则是( )
    A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据两点间的距离公式计算出,,的长度即可判断
    详解】,,,

    ,,

    是直角三角形.
    故选:A.
    4. 已知等差数列的前项和为,且,则( )
    A. 12B. 14C. 16D. 18
    【答案】D
    【解析】
    【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质即可求出结果.
    【详解】因为,又,所以.
    故选:D.
    5. 青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品,属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上,瓷碗底座高为,碗口直径为,碗深.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线,碗里有一根长度为的筷子,筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点,且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为( )

    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】建立平面直角坐标系,设出抛物线的方程,代入点,求得抛物线的方程,利用抛物线的定义,即可求解.
    【详解】建立平面直角坐标系,如图所示,
    设抛物线的方程为,其焦点为,
    碗口直径为,碗深,所以抛物线过点,
    所以,解得,所以抛物线的方程为,
    设,过中点作轴,
    由抛物线的定义可得,解得,
    所以,所以筷子的中点离桌面的距离为.
    故选:B.

    6. 从3名男同学和2名女同学候选人中,选一名班长和一名团支部书记,则至少有一名女生当选的不同选举结果为( )
    A. 12B. 14C. 16D. 18
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据题意,先求出从3名男同学和2名女同学候选人中,选一名班长和一名团支部书记的方法总数,再求出没有一名女生当选的方法总数,即可得出答案.
    【详解】从3名男同学和2名女同学候选人中,选一名班长和一名团支部书记,
    共有:种,
    没有一名女生当选,共有种,
    故至少有一名女生当选的不同选举结果为种.
    故选:B.
    7. 已知为椭圆C:的右焦点,P为C上的动点,过F且垂直于x轴的直线与C交于M,N两点,若等于的最小值的3倍,则C的离心率为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据椭圆的性质以及通径,可得,,再根据已知列式,结合椭圆的关系,求出离心率即可.
    【详解】为椭圆C:的右焦点,P为C上的动点,
    由椭圆的性质,可得.
    过F且垂直于x轴的直线与C交于M,N两点,
    .
    等于的最小值的3倍,
    .
    椭圆中,
    ,即,
    则.

    ,解得或(舍).
    故选:B.
    8. 求和:( )
    A. 512B. 1024C. 5120D. 10240
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据已知条件,结合组合数公式,以及倒序法,即可求解.
    【详解】令,①
    则,即,②
    ①②可得,,
    故.
    故选:.
    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
    9. 已知虚数,,则( )
    A. B.
    C. D. 是方程的一个根
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】利用复数的四则运算和复数的模长公式可判断AB选项;利用复数的乘法方法则与共轭复数的定义可判断C选项;解方程可判断D选项.
    【详解】对于A选项,因为,
    所以,故A错;
    对于B选项,,
    所以,故B对;
    对于C选项,,故C对;
    对于D选项,由,可得,
    解得或,故D对.
    故选:BCD.
    10. 已知,则( )
    A.
    B.
    C. 数列,,,…,,的最大项为
    D.
    【答案】BD
    【解析】
    【分析】求出的通项,令,求出可判断A;赋值法可判断B;利用的通项知可判断C;对二项式两边同时求导结合赋值法可判断D.
    【详解】对于A,的通项为:,
    令,则,故A错误;
    对于B,令可得:,故B正确;
    对于C,由的通项知,,
    故数列,,,…,,的最大项不为,故C错误;
    对于D,对函数两边同时取导,
    可得:,
    令可得:,故D正确.
    故选:BD.
    11. 已知函数,则( )
    A. 函数有两个极值点B. 函数的所有极值的和为2
    C. 函数只有1个零点D. 是函数图像的一条切线
    【答案】ABC
    【解析】
    【分析】求得,得出函数的单调性,求得极小值为,极大值为,求得,结合当时,,得到函数只有一个零点,设切点为,利用导数的几何意义,求得切线坐标,即可求解.
    【详解】由函数,可得,令,解得,
    当时,,单调递减;
    当时,,单调递增;
    当时,,单调递减,
    所以函数当时,取得极小值,极小值为,
    当时,取得极大值,极大值为,
    所以,
    又由当时,,所以函数只有一个零点,所以A、B、C正确.
    假设是曲线的切线,设切点为,
    则,解得或,
    显然点和均不在曲线上,所以D错误.
    故选:ABC.
    12. 已知点,,动点在:上,则( )

    A. 直线与相交
    B. 线段的中点轨迹是一个圆
    C. 的面积最大值为
    D. 在运动过程中,能且只能得到4个不同的
    【答案】BD
    【解析】
    【分析】求出直线的方程,利用圆的圆心到直线的距离判断A的正误,求线段的中点轨迹判断B的正误,利用圆的圆心到直线的距离,转化求解三角形的面积的最在值判断C,判断为直径的圆与已知圆的位置关系,结合直角三角形的定义,判断D的正误.
    【详解】对于A,因为,,所以,
    所以直线的方程,即,
    由,得,
    所以圆心,半径为3,
    所以圆心到直线的距离为,
    所以直线与圆相离,所以A错误,
    对于B,设线段的中点为,则,
    因为点在圆上,
    所以,即表示一个圆,
    所以线段的中点轨迹是一个圆,所以B正确,
    对于C,的面积最大值为,
    所以C错误,
    对于D,①设与直线垂直且过点的直线为,
    则,得,即直线为,
    因为圆心到直线的距离为,
    所以直线与圆有两个交点,
    所以以为直角顶点的直角三角形有2个,
    ②设与直线垂直且过点的直线为,
    则,得,即直线为,
    因为圆心到直线的距离为,
    所以直线与圆相离,无公共点,
    所以以为直角顶点的直角三角形不存在,
    ③以为直径的圆为,设圆心为,则,半径为,
    所以,
    因为,
    所以以为直径的圆与圆相交,
    所以以为直角顶点的直角三角形有2个,
    综上,在运动过程中,能且只能得到4个不同的,所以D正确,
    故选:BD
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
    13. 在展开式中,项的系数为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据组合数的运算,展开式中的系数为,结合组合数的运算性质,即可求解.
    【详解】由题意,多项式,
    根据组合数的运算,展开式中的系数为,
    又由.
    故答案为:.
    14. 双曲线:(,)的焦点到渐近线的距离等于,则双曲线的渐近线方程为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】先根据点到直线的距离公式求出点到渐近线的距离,结合已知即可得出,进而得出答案.
    【详解】由已知可得双曲线的焦点坐标为,渐进线方程为,
    则点到渐近线,即的距离.
    又因为,所以,
    所以,双曲线的渐近线方程为.
    故答案为:.
    15. 今天是第一天星期一,则第天是星期______.
    【答案】一
    【解析】
    【分析】先将化为,根据二项式定理展开可得,除以7的余数为1,即可得出答案.
    【详解】因,
    所以,除以7的余数为1,
    所以,第天是星期一.
    故答案为:一.
    16. 某公司第1年年初向银行贷款1000万元投资项目,贷款按复利计算,年利率为10%,约定一次性还款.贷款一年后每年年初该项目产生利润300万元,利润随即存入银行,存款利息按复利计算,年利率也为10%,则到第年年初该项目总收益为______万元,到第______年的年初,可以一次性还清贷款.
    【答案】 ①. ②.
    【解析】
    【分析】根据题意列出第年年初时借贷总额和总收益,即可求解.
    【详解】由题知,到第年年初,
    借贷总额为,
    总收益为,
    当时,,
    当时,,
    故第年年初该项目总收益为,
    到第年的年初,可以一次性还清贷款.
    故答案为:;
    四、解答题:共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
    17. 已知,二项式.
    (1)若该二项展开式的第4项与第8项的二项式系数相等,求展开式中的系数;
    (2)若展开式的前三项的系数成等差数列,求展开式中系数最大的项.
    【答案】(1);
    (2)或.
    【解析】
    【分析】(1)根据第4项与第8项的二项式系数相等,列出等式,求出n,再通过二项式展开通项,取的指数为2,求出项数,代入通项中,求出系数即可;
    (2)写出通项,求出前三项的系数,根据等差中项的概念列出等式,解出n,设第项的系数最大得,求解即可.
    【小问1详解】
    因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等,
    所以,解得,
    则展开式的通项公式为

    令,解得,代入通项公式有:,
    所以的系数为;
    【小问2详解】
    二项式通项公式为:

    所以第一项的系数为:,第二项的系数为:,
    第三项的系数为:,
    由于前三项的系数成等差数列,
    所以,解得,或,
    因为至少有前三项,所以(舍),故,
    二项式通项公式为:,
    设第项的系数最大,故,
    即,即,
    解得,
    因为,所以或,
    故系数最大的项为或.
    18. 喝酒不开车,开车不喝酒.若某人饮酒后,欲从相距的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速.油价为每升8元,当汽车以的速度行驶时,油耗率为.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费,试确定最经济的车速,使得本次行程的总费用最少,并求最小费用.
    【答案】最经济的车速为时,使得本次行程的总费用最少为元.
    【解析】
    【分析】根据题设可得,,利用对勾函数的性质可求该函数的最小值.
    【详解】设汽车以行驶时,开车时间为小时,则代驾费用为,
    油耗为,
    则总费用,

    由对勾函数的性质知,函数在单调递减,在上单调递增,
    因为,所以当时,取到最小值,
    最小值为.
    最经济的车速为时,使得本次行程的总费用最少为元.
    19. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为坐标原点,焦点,均在轴上,面积为,点在椭圆上.

    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)经过点的直线与曲线交于,两点,与椭圆的面积比为,求直线的方程.
    【答案】(1)
    (2)或
    【解析】
    【分析】(1)由题意可得,解方程即可求出,即可求出椭圆的标准方程;
    (2)对直线的斜率是否存在进行讨论,当直线斜率存在时,通过将直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理结合三角形的面积公式求解直线的斜率,进而得出直线方程.
    【小问1详解】
    设椭圆的方程为:,
    因为椭圆的面积为,点在椭圆上.
    所以解得:,
    所以椭圆的标准方程为:.
    【小问2详解】
    因为经过点的直线与曲线交于,两点,
    当直线的斜率不存在时,,此时,
    因为与椭圆的面积比为,但,即直线斜率存在;
    不妨设直线的方程为,联立,
    消去并整理可得:,
    不妨设,则,
    因为,

    所以

    因为与椭圆的面积比为,
    所以,化简为,
    即,即,
    解得:,所以直线的方程为或,
    所以直线的方程为或.
    20. 已知数列中,,点在直线上,数列中,,且对任意,满足:.
    (1)分别求数列和的通项公式;
    (2)请比较与的大小,并证明你的结论.
    【答案】(1)

    (2)当时,;当或时,
    【解析】
    【分析】(1)用递推关系构造出等差、等比数列,进而解出通项公式.
    (2)作差法,得到的表达式,然后构造函数,判断函数单调性,进而借助几个关键的值来比较大小即可.
    【小问1详解】
    因为点在直线上,所以有,即数列是首项为,公差为4的等差数列.
    则.所以数列的通项公式为.
    因为,则,又因为,所以.所以数列是首项为1,公比为2的等比数列,
    则,即.所以数列 的通项公式为.
    【小问2详解】
    证明:,,.构造函数,递增.
    当时,,函数递减,
    则时,;当时,,即时,.
    当时,,函数递增.
    当时;当时,.
    综上,当时,;当或时,.
    21. 已知双曲线:的左、右顶点分别为,.

    (1)若过点的直线交双曲线于,两点,求直线的斜率范围;
    (2)过原点的直线与双曲线相交于,两点(在轴的上方),直线,与圆分别交于,,直线与直线的斜率分别为,,求.
    【答案】(1)直线的斜率范围为且
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)由直线与双曲线有两个交点,联立方程组(注意排除直线与渐近线平行)求解即可;
    (2)设出直线的方程,联立方程组求出,点坐标,然后计算直线与直线的斜率即可求解.
    【小问1详解】
    过点的直线的方程设为:,
    联立得:.
    因直线交双曲线于,两点,
    所以,解得且.
    故直线的斜率范围为且.
    【小问2详解】
    如图:

    设:,,则令
    所以的方程为,联立得.
    所以,,
    由于,两点关于原点对称,所以,
    所以的斜率为,
    所以,又,
    所以,即.
    所以,,
    所以.
    ,所以
    22. 已知.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)若函数恰有两个不同的零点,求m的取值范围.
    【答案】(1) 增区间是,递减区间是;(2)
    【解析】
    【分析】(1)求得函数的导函数,对分成,两种情况,讨论函数的单调区间.(2)根据(1)的结论,首先判断时没有两个零点,当时,根据函数的单调性和零点存在性定理,求得的取值范围.
    【详解】解:(1)的定义域是R,且.
    ①当时,恒成立,在R上单调递增,
    ②当时,令,则,即函数的增区间是,
    同理,由得函数的递减区间是.
    (2)由(1)知,当时,函数单调递增,与条件不符.
    当时,函数)在上单调递增,在上单调递减,

    由条件得,,解得.
    又∵,
    ∴在上存在唯一零点,
    .
    令,则
    ∴当时,单调递增,.

    即在上存在唯一零点.
    综上所述:.
    【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数研究函数零点问题,考查零点存在性定理,考查分类讨论的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,综合性较强,属于难题.

    相关试卷

    江苏省徐州市2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题(学生版+解析):

    这是一份江苏省徐州市2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题(学生版+解析),共28页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    江苏省徐州市2022-2023学年高二上学期期中数学试题(学生版+解析):

    这是一份江苏省徐州市2022-2023学年高二上学期期中数学试题(学生版+解析),共25页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    江苏省苏州市2022-2023学年高二上学期期中数学试题(学生版+解析):

    这是一份江苏省苏州市2022-2023学年高二上学期期中数学试题(学生版+解析),共28页。

    欢迎来到教习网
    • 900万优选资源,让备课更轻松
    • 600万优选试题,支持自由组卷
    • 高质量可编辑,日均更新2000+
    • 百万教师选择,专业更值得信赖
    微信扫码注册
    qrcode
    二维码已过期
    刷新

    微信扫码,快速注册

    手机号注册
    手机号码

    手机号格式错误

    手机验证码 获取验证码

    手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

    设置密码

    6-20个字符,数字、字母或符号

    注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
    QQ注册
    手机号注册
    微信注册

    注册成功

    返回
    顶部
    Baidu
    map