定州市第二中学2023-2024学年高二上学期2月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份定州市第二中学2023-2024学年高二上学期2月期末考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若直线的倾斜角为,则实数m的值为( )
A.B.C.D.
2．已知圆与圆外切,则直线与圆的位置关系是( )
A.相切B.相离C.相交D.相交或相离
3．已知向量,,,若,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
4．已知点A,F分别为双曲线的右顶点和右焦点,记点F到渐近线的距离为d,若,则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
5．已知数列是等比数列,公比为q,前n项和为,则下列说法错误的是( )
A.为等比数列
B.也可能为等差数列
C.若,则为递增数列
D.若,则
6．已知点,为椭圆的左右焦点,过点与x轴垂直的直线与椭圆交于A,B两点,则三角形的内切圆的半径为( )
A.2B.1C.D.
7．在平行六面体中,,,,则异面直线与所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
8．已知数列的前n项和,设为数列的前n项和,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法不正确的是( )
A.若,是两个空间向量,,则不一定共面
B.直线l的方向向量,为直线l上一点,点为直线l外一点,则点P到直线l的距离为
C.若P在线段AB上,则
D.在空间直角坐标系Oxyz中,点关于坐标平面xOy的对称点为
10．已知抛物线的焦点为F,则下列结论正确的有( )
A.抛物线C上一点M到焦点F的距离为4,则点M的横坐标为3
B.过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为4
C.过点与抛物线C有且只有一个公共点的直线有2条
D.过点的直线l与抛物线C交于不同的两点,则
11．已知等差数列的公差,前n项和为,若,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.若,则D.若,则
12．已知双曲线,P是该双曲线上任意一点,,是其左,右焦点,则下列说法正确的( )
A.该双曲线的渐近线方程为
B.若,则或12
C.若是直角三角形,则满足条件的P点共4个
D.若点P在双曲线的左支上,则以为直径的圆与以实轴为直径的圆外切
三、填空题
13．已知直线与直线互相平行,则______________.
14．数列的通项公式为,则它的前100项之和等于______________.
15．在我国古代数学名著《九章算术》中,四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中,平面BC,.M为PC的中点,则点P到平面MAB的距离为______________.
16．已知点和抛物线,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若,则______________.
四、解答题
17．已知递增的等比数列满足,且是和的等差中项.数列是等差数列,且.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
18．已知圆C与y轴相切,圆心在x轴下方并且与x轴交于两点.
（1）求圆C的方程;
（2）若直线l过点且被圆C所截弦长为6,求直线l的方程.
19．如图,在三棱柱中,底面ABC,,,,.
（1）求直线与所成角的余弦值;
（2）设M为AC的中点,在平面内找一点N,使得平面,求点N到平面ABC和平面的距离.
20．已知数列,满足,若数列是等比数列,且,.
（1）求数列,的通项公式;
（2）令,求的前n项和为.
21．如图甲,在中,分别在上,且满足,将沿DE折到位置,得到四棱锥,如图乙.
（1）已知M,N为PB,PE上的动点,求证:;
（2）在翻折过程中,当二面角为时,求直线CE与平面PCD所成角的正弦值.
22．已知椭圆上任意一点到其左右焦点,的距离之和均为4,且椭圆的中心O到直线的距离为.
（1）求椭圆E的方程;
（2）已知以椭圆右顶点A为直角顶点的动直角三角形斜边端点B,C落在椭圆E上,求动直角面积的最大值.
参考答案
1．答案：A
解析：直线的斜率为,而直线的倾斜角为,
,则.
故选:A.
2．答案：C
解析：圆的圆心坐标为,半径为2,
圆的圆心坐标为,半径为3,
因为两圆外切,于是得,解得,
圆的圆心到直线的距离,
所以直线与圆相交.
故选:C.
3．答案：C
解析：向量,,
,
设,
由,可得,
,即,设,的夹角等于,
则,
再由,可得.
故选:C.
4．答案：D
解析：点F双曲线的右焦点,点F到渐近线的距离为d,,
可得:,,
可得,即,,
解得.
故选:D.
5．答案：C
解析：
6．答案：C
解析：根据题意得,,,
因为过点与x轴垂直的直线与椭圆交于A,B两点,
所以,,,
根据椭圆定义得的周长为,
不妨设三角形的内切圆的半径为r,
所以根据等面积法得,代入数据得,
故选:C
7．答案：B
解析：
8．答案：A
解析：当时,,
当时,满足上式,
所以,.
所以,
所以,
由,可得,即,
因为函数在单调递增,
所以当时,有最小值为10,所以,所以,
所以实数的取值范围为.
9．答案：AD
解析：
10．答案：ABD
解析：抛物线的焦点为,准线方程为,
对于A,设M的横坐标为,则由抛物线的定义可得,,解得,故选项A正确;
对于B,过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为通径长,又通径长为,故选项B正确;
对于C,当直线的斜率不存在时,直线为,与抛物线有一个公共点;
当直线与抛物线的对称轴平行,即直线为时,与抛物线有一个公共点;
当直线斜率存在且不为0时,设直线的方程为
联立方程组,可得,
则,解得,
此时直线方程为,与抛物线有一个公共点.
综上所述,过点与抛物线C有且只有一个公共点的直线有3条,故选项C错误;
设过点的直线方程为,
联立方程组,可得,则,故选项D正确.
故选:ABD.
11．答案：BCD
解析：A.由已知,得.若,则,不满足,故A错;
B.由,故B正确;
C.当时,且,则,,所以,故C正确;
D.当时,且,则,,所以,所以,则,故D正确.
故选:BCD.
12．答案：ABD
解析：由双曲线,得,,,
双曲线的渐近线方程为,故A正确;
当P在右支上,,可得,
当P在左支上,,可得,
或12,故B正确;
当或与x轴垂直时,直角三角形有4个,以为直径的圆与双曲线有4个交点,直角三角形有4个,则若是直角三角形,则满足条件的P点共8个,故C错误;
设,,则,
的中点为,求得,
,可得,
即以为直径的圆与以实轴为直径的圆外切,故D正确.
故选:ABD.
13．答案：7
解析：直线与直线互相平行,
,
解得.
14．答案：
解析：并项求和
.
15．答案：
解析：易知,,,故以B为坐标原点,BA,BC所在直线分别为x轴,y轴,过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,由M为PC的中点可得,,,,
设为平面MBA的一个法向量,则即,令,则,所以,所以点P到平面MAB的距离.
16．答案：1
解析：由抛物线,可得焦点,显然直线AB的斜率不为0,
设直线AB的方程为,且,设,,联立,
整理可得,则显然成立,且,,
因为,则,
即
,
解得,所以;
故答案为:1.
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）设等比数列首项为,公比为q.由已知得代入可得.于是.
故,解得或.又数列为递增数列,故,
.设等差数列首项为,公差为d.
所以.所以.
（2）由题得.所以数列的前n项.
18．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意可知,,设圆心坐标为,则,解得或,
因为,所以,所以圆C的方程为.
（2）因为直线l过点且被圆C所截弦长为6,所以圆心到直线l的距离为,当直线l的斜率不存在时,直线的方程为,所以圆心到直线的距离为,符合题意;当直线l的斜率存在时,直线的方程为,即,因为圆心到直线的距离为4,所以,解得,
所以直线l的方程为,故所求线l的方程为,或
19．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）根据题设可知AB,BC,两两垂直,以B为坐标原点,分别以BA,BC,所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,,,
所以,,
所以,所以直线与所成角的余弦值为.
（2）由条件知.因为点N在平面内,可设其坐标为,则.
因为平面,所以,,
由坐标系可得,,
所以解得,,
所以点,其到平面ABC的距离为,到平面的距离为1.
20．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）
当时,,,又,是以3为首项,3为公比的等比数列,
当时,
由累加法可得:,
又当时,也适合上式,
（2）
①
②
①-②得:
21．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明:在图甲中,
,,
又,且,
即在图乙中,,,又,
故有平面PBE,
而平面PBE,故有;
（2）,,
所以为二面角的平面角,则,
在中,,,,
由余弦定理,可知,满足,则有,
由（1）知,平面,则,
如图,以点为坐标原点,分别以BE,BC,BP为x,y,z轴正方向建立坐标系,
则,,,,
则,,,
设平面PCD的法向量为,
则,取,
所以直线CE与平面PCD所成角满足.
22．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由题可知.
（2）由题易知斜边BC不可能和x轴平行,故可设BC所在直线,
联立消去x整理得:,设,,
则有,,,
由题可知
(舍)或
可得BC所在直线l方程为:,恒过定点,
所以,
令,,则,
在上递增,所以,
所以面积的最大值为,此时BC所在直线l方程为:.