江苏省镇江市丹阳高级中学2024届高三下学期2月阶段检测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省镇江市丹阳高级中学2024届高三下学期2月阶段检测数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,则的子集个数是( )
A.1B.2C.3D.4
2．已知,则( )
A.B.iC.0D.1
3．设,若,则( )
A.B.C.D.
4．己知为等比数列,向量,,且,则( )
A.4B.2C.8D.6
5．已知定义在R上的函数的图象连续不间断,有下列四个命题：
甲：是奇函数;
乙：的图象关于点对称;
丙：;
丁：;
如果有且仅有一个假命题,则该命题是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
6．若函数有4个零点,则正数的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知,是椭圆的两个焦点,双曲线的一条渐近线l与交于A,B两点.若,则的离心率为( )
A.B.C.D.
8．已知,使恒成立的有序数对有( )
A.2个B.4个C.6个D.8个
二、多项选择题
9．亚洲奥林匹克理事会宣布,原定于2022年9月10日至25日举行的杭州2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行,名称仍为杭州2022年第19届亚运会.为了加大宣传力度,杭州某社区进行了以“中国特色、浙江风采、杭州韵味”为主题的知识竞赛,现随机抽取30名选手,其得分如图所示.设得分的中位数为m,众数为n,平均数为,则( )
A.B.C.D.
10．若正数a,b满足,则( )
A.B.
C.D.
11．阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想,他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦AB所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形ABC的顶点C在抛物线上,且在过弦的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的.现已知直线与抛物线交于A,B两点,且A为第一象限的点,E在A处的切线为l,线段AB的中点为D,直线轴所在的直线交E于点C,下列说法正确的是( )
A.若抛物线弓形面积为8,则其内接三角形的面积为6
B.切线l的方程为
C.若,则弦AB对应的抛物线弓形面积大于
D.若分别取AC,BC的中点,,过,且垂直y轴的直线分别交E于,,则
三、填空题
12．甲、乙、丙、丁、戊五名同学利用寒假参加社区服务,分别从为老年人服务、社会保障服务、优抚对象服务、为残病人服务、安全防范服务等五个服务项目中选择一个报名,记事件A为“五名同学所选项目各不相同”,事件B为“只有甲同学选安全防范服务”,则______________.
13．对于数列,由作通项得到的数列,称为数列的差分数列,已知数列为数列的差分数列,且是以1为首项以2为公差的等差数列,则_____________.
14．在四棱锥中,底面ABCD是边长为的正方形,P在底面的射影为正方形的中心O,,Q点为AO中点.点T为该四棱锥表面上一个动点,满足PA、BD都平行于过QT的四棱锥的截面,则动点T的轨迹围成的多边形的面积为__________________.
四、解答题
15．某大型公司招聘新员工,应聘人员简历符合要求之后进入考试环节.考试分为笔试和面试,只有笔试成绩高于75分的考生才能进入面试环节,已知2023年共有1000人参加该公司的笔试,笔试成绩.
(1)从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人,求这4人中至少有一人进入面试的概率;
(2)甲､乙､丙三名应聘人员进入面试环节,且他们通过面试的概率分别为,,.设这三名应聘人员中通过面试的人数为Y,求随机变量Y的分布列和数学期望.
参考数据：若,
则,,,
16．如图,在四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,,,平面底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC的中点,,,.
(1)求证：;
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;
(3)求二面角的余弦值.
17．蜀绣又名“川绣”,与苏绣,湘绣,粤绣齐名,为中国四大名绣之一,蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味,丰富程度居四大名绣之首.1915年,蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖,在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状,点D为边BC上靠近B点的三等分点,,.
(1)若,求三角形手巾的面积;
(2)当取最小值时,请帮设计师计算BD的长.
18．已知双曲线的离心率为,记双曲线C与圆的交点为,,,（逆时针排列）,且矩形的面积为.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知点,直线交双曲线C的左支于A、B两点,若的外接圆过坐标原点O,求m的值.
19．定义函数.
(1)求曲线在处的切线斜率;
(2)若对任意恒成立,求k的取值范围;
(3)讨论函数的零点个数,并判断是否有最小值.若有最小值m﹐证明：;若没有最小值,说明理由.
（注：…是自然对数的底数）
参考答案
1．答案：D
解析：令,解得或,
故,
则的子集个数是个.
故选：D
2．答案：A
解析：因为,
所以,即.
故选：A.
3．答案：C
解析：由已知得,故,
因为,所以,
故,解得,,
故选：C.
4．答案：C
解析：因为,所以,
又因为为等比数列 ,所以,且,
所以,解得,
又,所以,即,解得.
故选：C.
5．答案：D
解析：命题甲正确,因为是奇函数,所以,
命题乙正确,因为的图象关于点对称,所以,
由,得,即,于是有,所以函数的周期为4,故丁是假命题;
由,即,解得,
所以,故丙是真命题.
故选：D.
6．答案：B
解析：当时,令,即,即,
因为函数与的图象仅有一个公共点,如图所示,
所以时,函数只有一个零点,
又由函数有4个零点,
所以时,方程有三个零点,如图所示,
因为,可得,则满足,
解得,即实数的取值范围为.
故选：B.
7．答案：D
解析：如图所示,
由已知,则一条渐近线,
即,
又,
即,且四边形为矩形,
所以,
则,
又根据椭圆定义可知,
所以离心率,
故选：D.
8．答案：B
解析：由题得函数定义域为,
要想恒成立,即恒成立,
只需恒成立,
只需恒成立,
设,
所以当时,则,使恒成立的b可取1;
所以当,则,使恒成立的b可取1,2,3,
所以一共有,,,共4种.
故选：B.
9．答案：BD
解析：由图可知,30名选手得分的中位数为第15个数和第16个数（分别是5和6）的平均数,
即中位数,A错误;
由图可知,5出现的次数最多,所以众数,B正确;
因为平均数,
所以,故C错误,D正确.
故选：BD
10．答案：BCD
解析：因为,故可得,当且仅当取得等号;
对A：,故A错误;
对B：,当且仅当时取得等号,故B正确;
对C：令,,
故在单调递增,,即当,;
,又,即,解得,故;
故,也即,故C正确;
对D：令,
则,
故当时,,单调递增;当时,,单调递减;
故的最大值为;
由C可知,,则,故D正确;
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：A选项：内接三角形的面积,正确;
B选项：,解得,又A为第一象限的点,,
,,,故切线方程为,即,正确;
C选项：由,得,令,,弓形面积为,
所以不等式不成立,错误;
D选项：由,知,轴,,
又AC,BC的中点,,易求,,,
,,,
因此成立,正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：事件AB：甲同学选安全防范服务且五名同学所选项目各不相同,所以其它4名同学排列在其它4个项目,且互不相同,为,
事件B：甲同学选安全防范服务,所以其它4名同学排列在其它4个项目,可以安排在相同项目,为,.
故答案为：.
13．答案：65
解析：由题意得,
累加得,即,
则.
故答案为：65.
14．答案：
解析：取AD的中点E,PD的中点F,PO的中点R,PB的中点N,
连接QR延长交PC与点M,依次连接E,F,M,N,G,
可知,,,即,而,
所以E,F,G,Q,N,R共面,所以E,F,M,N,G共面,
因为底面ABCD是边长为的正方形,
所以对角线,,
因为P在底面的射影为正方形的中心,可得面ABCD,
因为面ABCD,所以,
因为,,所以,
因为E、F分别为AD、PD的中点,
所以,且,
因为平面EFMG,平面EFMG,
所以平面EFMG,同理平面EFMG,
所以平面EFMG即为所求截面.
又因为平面平面,平面APC,所以,
因为Q为AO的中点,可得,
所以, ,,
因为N、F分别为PB、PD的中点,所以,,
所以,,所以四边形EFNG是平行四边形,
因为,,,所以平面APC,
因为平面APC,可得,所以,
所以四边形EFNG是矩形,
所以动点T的轨迹围成的多边形的面积为.
故答案为：.
15．答案：(1)0.499
(2)分布列见解析,
解析：（1）记“至少有一人进入面试”,由已知得,
所以,
则,
即这4人中至少有一人进入面试的概率为0.499.
（2）由题意可得：的可能取值为0,1,2,3,
则：,
,
,
,
可得随机变量X的分布列为
所以.
16．答案：(1)证明祥见解析;
(2)
(3)
解析：（1）底面ABCD为直角梯形,,,,
,Q为AD中点,又,,
又平面底面ABCD,平面底面,,
平面ABCD,平面ABCD,平面ABCD,所以;
（2）建立空间坐标系如图,根据题意,则,,
,,,,
由M是棱PC的中点可知,
设平面PCD的法向量为,
则,即,
因此平面PCD的一个法向量为,
所以,
记直线PB与平面PCD所成角为,
从而,;
（3）显然平面PQB的一个法向量为,
设平面MQB的法向量为,
则,即,
故平面MQB的一个法向量为,
则二面角的余弦值为.
17．答案：(1)
(2)
解析：（1）在中,,,故,,
由正弦定理得,即,
而,
故,
故,
故三角形手巾的面积为
（2）设,则,
则在中,,
在中,,
故
,
由于,
当且仅当,即时取等号,
故,
即取到最小值即取最小值时,,
即此时.
18．答案：(1)
(2)
解析：（1）, ,
双曲线,由得,,
, ,解得,
双曲线C的标准方程为.
（2）由得,
则,解得或,
设,,,, ,,
设线段AB的中点为M,则,,即,
从而AB的中垂线为,又OP的中垂线为,
联立、得圆心,
从而,
,
即, ,.
19．答案：(1)
(2)
(3)答案见详解
解析：（1）由,
可得,
所以曲线在处的切线斜率.
（2）若对任意恒成立,
所以对任意恒成立,
令,则,
由解得,或;由解得,
故在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,
又,且当时,,
故的最小值为,
故,即k的取值范围是.
（3）,
当时,,
因此当n为奇数时,,
此时
则,所以单调递减.
此时,显然有唯一零点,无最小值.
当时,
且当时,
,
由此可知此时不存在最小值.
从而当n为奇数时,有唯一零点,无最小值,
当时,即当n为偶数时,,
此时,
由,解得;由,解得
则在上单调递减,在上单调递增,
故的最小值为,
即,所以当n为偶数时,没有零点.
设,
,
所以在上单调递增,,即.
令可得,
当时
,
即.
从而当n为偶数时,没有零点,存在最小值.
综上所述,当n为奇数时,有唯一零点,无最小值;
当n为偶数时,没有零点,存在最小值.
X
0
1
2
3
P