初中数学9.4 矩形、菱形、正方形同步达标检测题

这是一份初中数学9.4 矩形、菱形、正方形同步达标检测题，共8页。试卷主要包含了下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。


一．选择题(共30分)
1.下列说法中正确的是( )
A.对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
B.对角线互相垂直且有一组邻边相等的平行四边形是正方形
C.四个角都相等的菱形是正方形
D.对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形
2.已知在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是( )
A.∠D=90°B.AB=CD C.AD=BC D.BC=CD
3.在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,能判定这个四边形是正方形的是( )
A.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD B.AB∥CD,AC=BD
C.AO=BO,∠A=∠C D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
4.如图在▱ABCD中,AC⊥BD于点O,若增加一个条件,使得四边形ABCD是正方形,则下列条件中,不正确的是( )
A.AC=BD B.AB=BC C.∠ABC=90° D.AO=BO

第4题图 第5题图 第6题图 第7题图
5、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A、当AB=BC时，它是菱形 B、当AC⊥BD时，它是菱形
C、当∠ABC=90°时，它是矩形D、当AC=BD时，它是正方形
6、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CDFE不可能为正方形， ③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ）
A、①②③B、①④⑤ C、①③④D、③④⑤
7.如图正方形ABCD的边长为8,在各边上依次截取AE=BF=CG=DH=5,则四边形EFGH的面积是 ( )
A.30 B.34 C.36 D.40
8、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（ ）
A、①④⇒⑥B、①③⇒⑤ C、①②⇒⑥D、②③⇒④
9、已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A、∠D=90°B、AB=CD C、AD=BCD、BC=CD
10.有一张矩形纸片ABCD,已知AB=3,AD=2,小明按图中步骤折叠纸片,则线段DG的长为( )
A. B.2 C.1 D.2
二．填空题(共30分)
11、如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是 _____．

第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
12．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝___度．
13．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝4，AE＝CF＝1，则四边形BEDF的周长是____．
14．如图，正方形ABCD的边长为2，连接AC，AE平分∠CAD交BC延长线于点E，过点A作AF⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为____
15．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝6，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为____．
16.如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED等于 ．

第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
17.如图，直线l过正方形ABCD的顶点D，过A、C分别作直线l的垂线，垂足分别为E、F.若AE＝4a，CF＝a，则正方形ABCD的面积为 .
18.如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图2中Ⅱ部分的面积是 ．
19.如图为两正方形ABCD、CEFG和矩形DFHI的位置图，其中D，A两点分别在CG、BI上，若AB＝3，CE＝5，则矩形DFHI的面积是 .
20.如图，线段AC＝n＋1(其中n为正整数)，点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME.当AB＝1时，△AME的面积记为S1；当AB＝2时，△AME的面积记为S2；当AB＝3时，△AME的面积记为S3；则S3﹣S2＝ .
三．解答题（60分）
21.（8分）如图四边形ABCD为矩形,E是BC延长线上一点,AE交CD于点G,F是AE上一点,并且AC=CF=EF,∠AEB=15°.
(1)求∠ACF的度数;
(2)求证:矩形ABCD为正方形.
22.（8分）如图在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正方形.

23.（8分）如图在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,O为AB的中点,连结DO并延长到点E,使OE=OD,连结AE,BE.
(1)求证:四边形AEBD是矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形?请说明理由.
24、（12分）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．
（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）
（2）证明：四边形AHBG是菱形；
（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）
25.（12分）如图①,在正方形ABCD的内部,作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH,根据三角形全等的条件,易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH,从而得到四边形EFGH是正方形.
类比探究:
如图②,在正三角形ABC的内部,作∠BAD=∠CBE=∠ACF,AD,BE,CF两两相交于D,E,F三点(D,E,F三点不重合).
(1)△ABD,△BCE,△CAF是否全等?如果全等,请选择其中一对进行证明;
(2)△DEF是不是正三角形?请说明理由;
(3)进一步探究发现,△ABD的三边存在一定的等量关系.设BD=a,AD=b,AB=c,请探索a,b,c满足的等量关系.
26．（12分）正方形ABCD的边长为6，点E是BC边上一动点，点F是CD边上一动点，过点E作AF的平行线，过点F作AE的平行线，两条线交于点G．
(1)如图1，若BE＝DF，求证：四边形AEGF是菱形；
(2)如图2，在（1）小题条件下，若∠EAF＝45°，求线段DF的长；
(3)如图3，若点F运动到DF＝2的位置，且∠EAF依然保持为45°，求四边形AEGF的面积．

教师样卷
一．选择题(共30分)
1.下列说法中正确的是 ( C )
A.对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
B.对角线互相垂直且有一组邻边相等的平行四边形是正方形
C.四个角都相等的菱形是正方形
D.对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形
2.已知在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是( D )
A.∠D=90°B.AB=CD C.AD=BC D.BC=CD
3.在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,能判定这个四边形是正方形的是( A )
A.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD B.AB∥CD,AC=BD
C.AO=BO,∠A=∠C D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
4.如图在▱ABCD中,AC⊥BD于点O,若增加一个条件,使得四边形ABCD是正方形,则下列条件中,不正确的是( B )
A.AC=BD B.AB=BC C.∠ABC=90° D.AO=BO

第4题图 第5题图 第6题图 第7题图
5、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ D ）
A、当AB=BC时，它是菱形 B、当AC⊥BD时，它是菱形
C、当∠ABC=90°时，它是矩形D、当AC=BD时，它是正方形
6、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CDFE不可能为正方形， ③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（ B ）
A、①②③B、①④⑤ C、①③④D、③④⑤
7.如图正方形ABCD的边长为8,在各边上依次截取AE=BF=CG=DH=5,则四边形EFGH的面积是 ( B )
A.30 B.34 C.36 D.40
8、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（ C ）
A、①④⇒⑥B、①③⇒⑤ C、①②⇒⑥D、②③⇒④
9、已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ D ）
A、∠D=90°B、AB=CD C、AD=BCD、BC=CD
10.有一张矩形纸片ABCD,已知AB=3,AD=2,小明按图中步骤折叠纸片,则线段DG的长为( A )
A. B.2 C.1 D.2
二．填空题(共30分)
11、要使一个菱形ABCD成为正方形，则需增加的条件是___AC=BD或AB⊥BC______．（填一个正确的条件即可）
12、如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是 _、∠A=90°或AC=BD____．

第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
12．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝__75__度．
13．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝4，AE＝CF＝1，则四边形BEDF的周长是__4 eq \r(5) __．
14．如图，正方形ABCD的边长为2，连接AC，AE平分∠CAD交BC延长线于点E，过点A作AF⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为____
15．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝6，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__12__．
16.如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED等于 65° ．

第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
17.如图，直线l过正方形ABCD的顶点D，过A、C分别作直线l的垂线，垂足分别为E、F.若AE＝4a，CF＝a，则正方形ABCD的面积为 17a2 .
18.如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图2中Ⅱ部分的面积是 100 ．
19.如图为两正方形ABCD、CEFG和矩形DFHI的位置图，其中D，A两点分别在CG、BI上，若AB＝3，CE＝5，则矩形DFHI的面积是 43.5 .
20.如图，线段AC＝n＋1(其中n为正整数)，点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME.当AB＝1时，△AME的面积记为S1；当AB＝2时，△AME的面积记为S2；当AB＝3时，△AME的面积记为S3；则S3﹣S2＝ 2.5 .
三．解答题（60分）
21.（8分）如图四边形ABCD为矩形,E是BC延长线上一点,AE交CD于点G,F是AE上一点,并且AC=CF=EF,∠AEB=15°.
(1)求∠ACF的度数;
(2)求证:矩形ABCD为正方形.
解:(1)∵CF=EF,∴∠FCE=∠AEB=15°,∴∠AFC=∠FCE+∠AEB=30°.∵AC=CF,∴∠FAC=∠AFC=30°,∴∠ACF=180°-∠FAC-∠AFC=120°.
(2)证明:∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BC,∠D=90°,∴∠DAG=∠AEB=15°.由(1)知∠FAC=30°,∴∠DAC=∠DAG+∠FAC=45°.∵∠D=90°,∴∠ACD=∠DAC=45°,∴AD=CD,∴矩形ABCD为正方形.
22.（8分）如图在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正方形.

解:(1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO.又∵△ACE是等边三角形,
∴EO⊥AC,即DB⊥AC,∴ 平行四边形ABCD是菱形.
(2)∵△ACE是等边三角形,∴∠AEC=60°.∵EO⊥AC,∴∠AEO=12∠AEC=30°.∵∠AED=2∠EAD,
∴∠EAD=15°,∴∠ADO=∠EAD +∠AED=45°.∵四边形ABCD是菱形,∴∠ADC=2∠ADO=90°,
∴ 四边形ABCD是正方形.
23.（8分）如图在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,O为AB的中点,连结DO并延长到点E,使OE=OD,连结AE,BE.
(1)求证:四边形AEBD是矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形?请说明理由.
解:(1)证明:由已知得OA=OB,OE=OD,∴四边形AEBD是平行四边形.∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴▱AEBD是矩形.
(2)当∠BAC=90°时,矩形AEBD是正方形.理由:∵∠BAC=90°,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD=BD=CD.由(1)知四边形AEBD是矩形,∴矩形AEBD是正方形.
24、（12分）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．
（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）
（2）证明：四边形AHBG是菱形；
（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）
解：（1）△ABC≌△BAD．证明：∵AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BA，∴△ABC≌△BAD（SAS）．
（2）证明：∵AH∥GB，BH∥GA，∴四边形AHBG是平行四边形．∵△ABC≌△BAD，∴∠ABD=∠BAC．∴GA=GB．∴平行四边形AHBG是菱形．
（3）：需要添加的条件是AB=BC．
25.（12分）如图①,在正方形ABCD的内部,作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH,根据三角形全等的条件,易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH,从而得到四边形EFGH是正方形.
类比探究:
如图②,在正三角形ABC的内部,作∠BAD=∠CBE=∠ACF,AD,BE,CF两两相交于D,E,F三点(D,E,F三点不重合).
(1)△ABD,△BCE,△CAF是否全等?如果全等,请选择其中一对进行证明;
(2)△DEF是不是正三角形?请说明理由;
(3)进一步探究发现,△ABD的三边存在一定的等量关系.设BD=a,AD=b,AB=c,请探索a,b,c满足的等量关系.
解:(1)△ABD≌△BCE≌△CAF.选择证明△ABD≌△BCE如下:∵△ABC是正三角形,
∴∠CAB=∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC.∵∠ABD=∠ABC-∠CBE,∠BCE=∠ACB-∠ACF,而∠CBE=∠ACF,∴∠ABD=∠BCE.又∵∠BAD=∠CBE,∴△ABD≌△BCE.
△DEF是正三角形.理由:∵△ABD≌△BCE≌△CAF,∴∠ADB=∠BEC=∠CFA,
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD,∴△DEF是正三角形.
(3)过点A作AG⊥BD,交BD的延长线于点G.由△DEF是正三角形得到∠ADG=60°,
∴在Rt△ABG中,c2=（a+12b）2+（32b）2, ∴c2=a2+ab+b2.
26．（12分）正方形ABCD的边长为6，点E是BC边上一动点，点F是CD边上一动点，过点E作AF的平行线，过点F作AE的平行线，两条线交于点G．
(1)如图1，若BE＝DF，求证：四边形AEGF是菱形；
(2)如图2，在（1）小题条件下，若∠EAF＝45°，求线段DF的长；
(3)如图3，若点F运动到DF＝2的位置，且∠EAF依然保持为45°，求四边形AEGF的面积．

解：（1）证明：∵，，∴四边形AEGF是平行四边形．∵四边形ABCD是正方形，∴，，又∵∴，∴，∴四边形AEGF是菱形（2）过点F作于点H，∵四边形AEGF为菱形，∴AC平分，∴．又∵四边形ABCD是正方形∴，∴．∵于点D，于点H，∴．∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；（3）过点A作AE的垂线，交CD的延长线于点K，过点F作于点P，∴．∵，∴．∵四边形ABCD是正方形，∴，，∴，∴．又∵，，∴，∴，．又∵，，，∴，∴，设．又∵，，，在中，，，∴，∴，∴，∴，，∴等腰直角三角形中．又∵四边形AEGF为平行四边形∴．