北京市密云区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份北京市密云区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．二次函数的最小值是（ ）
A．1B．C．4D．
2．若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．中国瓷器，积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分.瓷器上的图案设计精美，极富变化.下面瓷器图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．等腰三角形的三条边都相等；
B．经过任意三点，可以画一个圆；
C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；
D．任意画一个三角形，其内角和为．
5．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，四边形内接于，若，的半径为3．则的长为（ ）

A．B．C．D．
7．如图，在的方格纸中，A，B两点在格点上，线段绕某点(旋转中心)逆时针旋转角后得到线段，点与A对应，则旋转中心是( )

A．点BB．点GC．点ED．点F
8．某种幼树在相同条件下进行移植试验，结果如下：
下列说法正确的是（ ）
A．由于移植总数最大时成活的频率是0.901，所以这种条件下幼树成活的概率为0.901；
B．由于表格中成活的频率的平均数约为0.90，所以这种条件下幼树成活的概率为0.90；
C．由于表格中移植总数为1500时成活数为1330，所以移植总数3000时成活数为2660；
D．由于随着移植总数的增大，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，所以估计幼树成活的概率为0.90．
二、填空题
9．若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是 ．
10．将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为 ．
11．用配方法解一元二次方程时，将原方程配方成的形式，则k的值为 ．
12．如图，、为的切线，B、C为切点，连接并延长到D，使，连接．若，则的度数为 ．

13．若点，，三点都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是 .（按从小到大的顺序，用“”连接）.
14．请写出一个常数a的值，使得二次函数的图像与x轴没有交点，则a的值可以是 ．
15．如图，正六边形内接于，若的半径为4，则正六边形的面积为 .
16．在平面直角坐标系中，点A、点B的位置如图所示，抛物线经过A、B两点，下列四个结论中：
①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是；③A、B两点位于对称轴异侧；④抛物线的顶点在第四象限
所有不正确结论的序号是 ．
三、解答题
17．解方程：．
18．下面是小宁设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程．

已知：平行四边形．
求作：，垂足为E．
作法：如图所示，

①连接，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
②作直线，交于点O；
③以点O为圆心，长为半径作圆，交线段于点E（点E不与点C重合），连接．
所以线段就是所求作的高．
根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：，________，
点P、Q都在线段的垂直平分线上，
直线为线段的垂直平分线，
O为中点．
为直径，与线段交于点E，
_______（ ）（填推理的依据）
．
19．已知：二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求该函数的顶点坐标．
20．二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，是专属中国人的独特时间美学，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．如图，小文购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上．
(1)小文从中随机抽取一张，抽出的邮票恰好是“大暑”的概率是______；
(2)若印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同图案的邮票分别用A，B，C，D表示，小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
21．2023年10月，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京召开，回顾了十年来共建“一带一路”取得的丰硕成果．为促进经济繁荣，某市大力推动贸易发展，2021年进出口贸易总额为60000亿元，2023年进出口贸易总额为86400亿元．若该市这两年进出口贸易总额的年平均增长率相同，求这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率．
22．玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的启圆形器物．据《尔雅·释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分（边），“好”指中央的孔．结合图1“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径．图2是一枚破损的汉代玉环，为修复原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸．如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧，设弧所在圆的圆心为O，测得弧所对的弦长为，半径于点D，测得，连接，求该玉环的中孔半径的长．
23．已知关于x的一元二次方程．
(1)判断方程根的情况，并说明理由；
(2)若方程的一个根为，求m值和方程的另一个根．
24．如图，是的外接圆，，连接交于点E，过点A作的平行线交延长线于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为4，，求线段的长．
25．某景观公园计划修建一个人工喷泉，从垂直于地面的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为距地面的竖直高度为，获得数据如下：
小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小华的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图像；
(2)直接写出水流最高点距离地面的高度为_______米；
(3)求该抛物线的表达式，并写出自变量的取值范围；
(4)结合函数图像，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪水平距离处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为_______m．（结果精确到）
26．在平面直角坐标系中，和在抛物线上，抛物线的对称轴为．
(1)若，求b的值；
(2)若，求该抛物线的对称轴t的取值范围．
27．如图，在中，，.点D为边上的一点，将线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，连接、.
(1)依据题意，补全图形；
(2)直接写出的度数；
(3)若点F为中点，连接交于点P，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明.
28．在平面直角坐标系中，已知的半径为1，点A的坐标为．点B是上的一个动点（点B不与点A重合）．若点P在射线上，且，则称点P是点A关于的2倍关联点．
(1)若点P是点A关于的2倍关联点，且点P在x轴上，则点P的坐标为______；
(2)直线l经过点A，与y轴交于点C，．点D在直线l上，且点D是点A关于的2倍关联点，求D点的坐标；
(3)直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段上存在点A关于的2倍关联点，直接写出b的取值范围．
移植总数n
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
364
651
1330
3174
6324
8073
12620
成活的频率
0.910
0.868
0.887
0.907
0.903
0.897
0.901
x（米）
0
0.5
2.0
3.5
5
y（米）
1.67
2.25
3.00
2.25
0
参考答案：
1．D
【分析】本题考查二次函数顶点式求最值．根据题意可知二次函数开口向上有最小值，最小值为即为本题答案．
【详解】解：∵中，
∴开口向上，函数有最小值，
∴通过顶点式即可知最小值为，
故选：D．
2．A
【详解】点在圆内，点到圆心的距离小于半径，
又因为圆的半径为6，
所以OP的长小于6，
因为5＜6，所以选项A符合题意，
故选A
3．B
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：B．
4．C
【分析】根据题意并熟知事件分为确定事件和不确定事件，确定事件分为必然事件和不可能事件，再逐一分析每个选项即可得到本题答案．
【详解】解：∵等腰三角形只有两个腰相等，故选项说法错误，即不可能事件，故A选项排除，
∵经过不在同一直线上三个点可以确定一个圆，故B选项不是必然事件，
∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧必定相等，故C选项为必然事件，
∵三角形内角和为，故选项说为为不可能事件，故D选项排除．
故选：C．
【点睛】本题考查随机事件，等腰三角形性质，圆的性质，圆心角和弧的关系，三角形内角和．
5．C
【分析】本题考查解一元一次方程，相反数定义，解一元二次方程．根据题意逐个对选项进行求解，看哪个结果符合题意即为本题答案．
【详解】解：∵，
∴，
故A选项不符合题意；
∵，
∴，解得：，
∴有两个根，但不互为相反数，
故B选项不符合题意；
∵，
∴，
∴有两个实数根，且它们互为相反数，
故C选项符合题意；
∵无解，故D选项不符合题意，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长的计算公式：， 首先根据圆周角定理得到，然后利用弧长公式求解即可．熟练掌握弧长公式是解题的关键．
【详解】解：∵
∴，
∴的长为．
故选：B．
7．C
【分析】本题考查旋转的定义和旋转的性质，根据对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心，由此即可得出答案，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心是解题．
【详解】解：由网格图可知：
垂直平分，垂直平分，
∴交点E就是旋转中心．
故选：C．
8．D
【分析】本题考查利用频率估计概率．根据题意观察表中数据可知，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，于是可以估计幼树成活的概率为0.90，即可选出本题答案．
【详解】解：根据表中数据可知，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，
∴估计幼树成活的概率为0.90，
∴A，B选项排除，
∴移植总数3000时成活数为：，
∴C选项排除，
故选：D．
9．
【分析】本题考查一元二次方程定义．形如“的方程为关于的一元二次方程”根据定义即可得到本题答案．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，即，
故本题答案为：．
10．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，直接根据二次函数图象平移的法则“上加下减，左加右减”即可得出结论．
【详解】解：将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查配方法解一元二次方程．利用完全平方法则对等式左边进行配方即可得到本题答案．
【详解】解：，
配方得：，
整理得：，
∵即为形式，
∴，
故答案为：．
12．/65度
【分析】根据题意可知，利用角平分线判定可知是的平分线，再由等腰三角形三线合一性质知是的角平分线，即可得，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案．
【详解】解：∵、为的切线，B、C为切点，
∴，，
∴是的平分线，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查切线性质，等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．
13．
【分析】本题考查比较二次函数值的大小，开口向下，离对称轴越远的点纵坐标越小，由此可解．
【详解】解：中，
的图象开口向下，对称轴为y轴，
距离y轴越远的点纵坐标越小，
，
，
故答案为：．
14．（答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数与x轴交点问题，解一元一次不等式．根据题意可知，正确解出不等式并写出一个符合解集的a即为本题答案，本题答案不唯一．
【详解】解：∵二次函数的图像与x轴没有交点，
∴，
∴，
∵写出一个常数a的值，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
15．
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角函数的应用，连接，，根据正六边形的性质可得，进而可得是等边三角形，则得，再求出等边的面积，进而可求解．
【详解】解：连接，，过F点作于点H，如图：

六边形是正六边形，的半径为4，
，
，且，
是等边三角形，且边长，
等边的面积为：，
正六边形的面积为：，
故答案为：．
16．①④/④①
【分析】本题考查二次函数图像及性质．根据题意先求出二次函数对称轴即可判断②正确，再令求出抛物线与轴两个交点得知①③正确，
【详解】解：∵对称轴为，
∴②正确，
∵，
∴令，即，
∴抛物线经过点，
∴结合图象可知：开口向下，点A、B在对称轴的异侧，即①不正确，③正确
∵的顶点坐标纵坐标为：，
∵，即，
∴顶点坐标为，即在第一象限，
∴④不正确，
故不正确序号为：①④．
17．，
【分析】利用因式分解法解即可．
【详解】分解因式得：
∴，或
∴，
【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的解法较多，要根据方程的特点选取适当的方法，使解法简便．
18．(1)见详解
(2)，，直径所对圆周角为直角
【分析】本题考查了圆周角定理，垂线的止尺规作图，线段垂直平分线的判定与性质，
（1）按照题干要求作图，即可；
（2）按照题干给出的思路，结合直径所对圆周角为直角的知识证明即可．
【详解】（1）作图如下：

线段就是所求作的高
（2）连接，，，，如图，

，，
点P、Q都在线段的垂直平分线上，
直线为线段的垂直平分线，
O为中点，即．
∴为直径，与线段交于点E，
（直径所对圆周角为直角）
．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的待定系数法，函数解析式化为顶点式求顶点坐标，
（1）根据待定系数法，即可得到答案；
（2）将函数解析式化为顶点式即可作答．
【详解】（1）∵二次函数的图象经过点 ，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式：；
（2）∵，
∴函数的顶点坐标为：．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．
（1）根据概率公式直接求解；
（2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解．
【详解】（1）解：小文从4张邮票中随机抽取一张邮票是“大暑”的概率是：，
故答案为：；
（2）解：由题意画树状图如下：

由图可知，共有12种等可能的情况，其中抽到A和B（“立春”和“立夏”）的情况有2种，，
故小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率为．
21．
【分析】本题考查一元二次方程实际问题．根据题意设这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为，再根据题干信息列出方程并正确计算即为本题答案．
【详解】解：设这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为，
∵2021年进出口贸易总额为60000亿元，2023年进出口贸易总额为86400亿元，
∴，解得：或（舍），
∴这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为，
22．
【分析】本题考查圆的性质，垂径定理，勾股定理．根据题意设玉环的半径为，找出等量关系在中应用勾股定理，在利用圆的性质即可得到本题答案．
【详解】解：设玉环的半径为，即，
∵，
∴，
∵为，，
∴，
在中应用勾股定理，，
解得：，
即中孔直径为，
∴中孔半径为，
故答案为：．
23．(1)方程有两个不相等的实数根
(2)
【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程．
（1）根据题意求出并与0比较即为本题答案；
（2）将代入方程求得m值，再将m值回代入方程中利用因式分解法解方程即可得到本题答案．
【详解】（1）解：关于x的一元二次方程，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根为，
∴将代入方程中，得：，
∴，
再把代入中，得：，
解得：，
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意连接，利用圆周角定理得出，再利用平行线性质即可得到本题答案；
（2）根据题意及（1）知，过点作，利用正方形判定及性质求得，，再利用勾股定理即可得出本题答案．
【详解】（1）解：连接，
，
∵，是的外接圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：过点作，
，
由（1）知是的切线，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∵的半径为4，，
∴，
∴在中应用勾股定理，，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，平行线性质，勾股定理，正方形判定及性质，熟练掌握基本性质是解题关键．
25．(1)见解析
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式．
（1）找出表中所给的点在平面直角坐标系中，将各点连接成光滑的曲线即可；
（2）根据图像及表中数据可知本题答案；
（3）根据图像得知二次函数对称轴为，写出二次函数顶点式，再用待定系数法代入图上一点即可求得未知参数即为本题答案再根据实际问题意义，即可确定自变量的取值范围；
（4）将代入抛物线解析式求出的值即为本题答案．
【详解】（1）解：根据表中数据可知在图像上的点坐标分别为：，
将以上坐标在如下图中找出并连接成光滑的曲线：
；
（2）解：通过表中数据得知，当时水流最高，此时水流到达地面距离为米，
（3）解：设二次函数解析式为，
由（2）知，对称轴为，最高点为，
∴顶点坐标为，
∴，
∴把代入中得：
，解得：，
∴抛物线表达式为：，
（4）解：根据题意把代入中得：
，
∵，
∴大理石雕塑的高度约为m．
26．(1)
(2)
【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，
（1）依据题意，若，抛物线过点，代入计算进而可以得解；
（2）依据题意，若，结合抛物线开口向上，从而抛物线与x轴必有一交点在和之间，即有， 再由进而可以得解．
【详解】（1）若，抛物线过点，
∴，
即；
（2）由题意，若，
又∵抛物线开口向上，和在抛物线上，
∴抛物线与轴必有一交点在和之间，
又令，
∴或
∴，即，
又∵抛物线的对称轴为，
∴
∴．
27．(1)图见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形判定与性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形判定与性质是解题关键，
（1）依题意，补全图形即可；
（2）根据角的和差计算即可；
（3）作，交延长线于点M，证明，得出，即可证出结论．
【详解】（1）解：依题意，补全图形，如下：
（2）解：由题意得：，
；
（3）解：，理由如下：
如下图：作，交延长线于点M，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
28．(1)
(2)点坐标为
(3)或
【分析】（1）根据题意利用即可求出点的坐标；
（2）过点作，利用勾股定理求出的长即可得到点的坐标，再利用和对称性，即可得到的坐标；
（3）根据题意画出图形，利用切线性质及等腰三角形性质求出的长，即可求得的长即为的长，再利用同法即可得到的取值范围．
【详解】（1）解：∵，点B是上的一个动点，，点P在x轴上，
∴点，，
∴，
∴点，
故答案为：；
（2）解：根据题干画出简图并过点作，在直线l上找一点D，作轴于点，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D在直线l上，且点D是点A关于的2倍关联点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
根据对称性，点，
综上所述，点坐标为；
（3）解：根据题意点B是上的一个动点（点B不与点A重合），延长到点，使得，
取，，则是中点，连接，，
∵是中点，是中点，
∴是中位线，且，
∴可知点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，如下图所示：
，
∵直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，
当时，，当时，，则，即为等腰直角三角形，
∴当直线与相切与时，连接，，，
∴，
∴，
∴，
当直线刚好经过与y轴负半轴交点时，此时，
∴由此可知，当时，线段上存在点A关于的2倍关联点；
如图当一次函数与轴正半轴有交点时，过点作，
∴为等腰直角三角形，，
∴，，
当直线经过时，满足条件，此时，但B是上的一个动点（点B不与点A重合），
∴由此可知，当时，线段上存在点A关于的2倍关联点；
综上所述的取值范围为或．
【点睛】本题考查含的直角三角形三边关系，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形性质，切线性质，一次函数图像性质等知识点，熟悉相关图形的性质是解决问题的关键．