北京市平谷区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份北京市平谷区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，那么下列比例式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，⊙O的弦AB=8，OM⊥AB于点M，且OM=3，则⊙O的半径为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（ ）

A．1B．C．D．
6．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象分布在第一、三象限B．在各自的象限内，随的增大而增大
C．函数图象关于轴对称D．图象经过
7．已知：二次函数的图象上部分对应点坐标如下表，m的值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，矩形中，点是边上一点，点关于直线的对称点点恰好落在边上，给出如下三个结论：
①；
②；
③若，，则．
上述结论一定正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题
9．函数y=中的自变量的取值范围是 .
10．如图，点是中边上的一点，请你添加一个条件使，这个条件可以是 ．
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果csA=，AC=2，那么AB的长为 ．
12．如图，在中，是的直径，，是上的点，如果，那么的度数为 ．
13．若抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
14．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 ．
15．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 ．
16．“十一”黄金周期间，明明和妈妈到某商场购物，得知该商场节日促销活动，单笔消费每满50元立减5元（即单笔消费有几个50元，就减几个5元，不足50元部分不减），累计消费满200元返20元购物券，购物券当天可用，用券和减免部分不在累计范围内，明明和妈妈打算购买以下三件商品：商品A：80元，商品B：95元，商品C：160元，如果你是聪明的明明，帮妈妈参谋一下三件商品妈妈分次结账，可以享受最多优惠；按此优惠方案，只需付款 元，即可购买以上三件商品．
三、解答题
17．计算：.
18．如图，在中，延长到，使，连接交于点，，，求的长．
19．已知二次函数.
(1)求该抛物线的顶点坐标；
(2)求该二次函数图象与轴、轴的交点坐标；
(3)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象.
20．如图，平面直角坐标系中，点，，作过点、、的圆．
(1)依题意补全图形；
(2)圆心坐标为______；
(3)劣弧的弧长为______；
(4)若点为圆上任意一点（不与、点重合），则的度数为_____．
21．某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度，方法如下：
方法一：如图1，他们测得同一时刻长度为2米的竹竿的影长为米，线段表示旗杆，旗杆的影长为米；
方法二：如图2，用米高的测角仪在距离旗杆8米的点处测得旗杆顶端的仰角为（，，）
请选取一种方法，根据已知数据，计算旗杆的长约为多少米．（结果精确到）
22．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A．
(1)求的值；
(2)若直线图象经过点A，求的值；
(3)当时，都有一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出的取值范围．
23．如图，在中，，，，求的长．
24．如图，为的直径，弦于，连接、，过点作的切线，的平分线相交于点，交于点，交于点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求长．
25．电动汽车的续航里程也可以称作续航能力，是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程，它是电动汽车重要的经济性指标.高速路况状态下，电动车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关.某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究：
下面是他们的探究过程，请补充完整：
(1)他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程与速度的有关数据：
则设______为，______为，是的函数；
(2)建立平面直角坐标系，在给出的格点图中描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(3)结合画出的函数图象，下列说法正确的有______：
①随的增大面减小；
②当汽车的速度在60千米/小时左右时，汽车的续航里程度大；
③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小．
(4)若想要该车辆的续航里程保持在500千米以上，该车的车速大约控制在______至______千米/小时范围内．
26．在平面直角坐标系中，二次函数的图象上两个点，，点、之间的部分（包含点、点）记作图象，图象上的最大值与最小值的差记作．
(1)求这个二次函数的对称轴（用含的代数式表示）；
(2)当，，时，求的值；
(3)当，时，恒有，求的取值范围．
27．如图，中，，，为边中点，为外部射线上一点，连接，过作于．

(1)依题意补全图形；
(2)找出图中与相等的角，并证明；
(3)连接，猜想的度数，并证明．
28．如图，平面直角坐标系中，已知点、点，连接，若点为平面上一点，且为等边三角形，则称点为线段的“关联点”．
(1)已知点和点，点为线段的“关联点”，直接写出点的坐标______；
(2)若，，点是线段上一点，点为线段的“关联点”，当点在右侧时，判断与的位置关系，并证明；
(3)半径为2，点是上一点，点，若点为线段的“关联点”，直接写出长度的最大值和最小值．
速度（千米/小时）
10
20
30
40
60
80
100
120
140
160
续航里程（千米）
100
340
460
530
580
560
500
430
380
310
参考答案：
1．B
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：A、∵，
∴，故A不符合题意；
B、∵，
∴，故B符合题意；
C、∵，
∴，故C不符合题意；
D、∵，
∴，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
2．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理，得到比例式，进而判断即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：C．
3．A
【分析】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可．
【详解】解：抛物线向下平移1个单位长度后，
得到新抛物线的解析式为：，
故选A．
4．C
【详解】试题分析：先由垂径定理求出AM，再由勾股定理求出OA即可．
解：∵OM⊥AB，
∴AM=AB=4，
由勾股定理得：OA===5；
故选C．
考点：垂径定理；勾股定理．
5．D
【分析】本题主要考查三角函数的定义，过点作，交延长线于点，利用正切函数的定义求解可得．
【详解】如图，过点作，交延长线于点，

∴，
则，
故选D．
6．B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据解析式得出，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵，，
A. 图象分布在第二、四象限，故该选项不正确，不符合题意；
B. 在各自的象限内，随的增大而增大，故该选项正确，符合题意；
C. 函数图象关于对称，故该选项不正确，不符合题意；
D. 图象经过或，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
7．D
【分析】此题主要考查了二次函数图象的对称性，根据表格数据可知，抛物线的对称轴为，由抛物线的对称性可知，时的值与时的值相等，即可求解．
【详解】解：由表格可知，当，，当，，
由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为，
∴时的值与时的值相等，
∴时的值为，即的值为，
故选：D．
8．B
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明，即可判断①；由矩形的性质得，得到，根据，由，推出，即，故有，得到不一定等于，即可判断②；由，，得到，根据，得到，计算出，设，则，利用勾股定理即可求出，从而得到，即可判断③．
【详解】解：点是边上一点，点关于直线的对称点点恰好落在边上，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，，
，
，故有，
不一定等于，
，不一定成立，故②错误；
，，
，
，
，
，
设，则，
，即，
解得：，
，故③正确，
故选：B．
9．x≠1
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】根据题意得，x-1≠0，
解得：x≠1．
故答案为x≠1．
10．（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定定理求解即可．
【详解】∵
∴可以添加的条件为
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
11．6
【分析】根据余弦的定义可得，代入AC=2即可求得
【详解】解：如图，
故答案为：6
【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键，在中，．
12．/63度
【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对圆周角为，根据同弧所对圆周角相等可得，再根据直径所对圆周角为，利用直角三角形两锐角互余即可得出结果．
【详解】解：是的直径，，是上的点，，
，，
，
故答案为：．
13．
【分析】根据抛物线与x轴有交点，，列式计算即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴有交点，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象与轴交点问题．熟练掌握抛物线与轴有交点：，是解题的关键．
14．2
【详解】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线上，∴四边形AEOD的面积为1
∵点B在双曲线上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2
15．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据两三角形相似列出比例式进而求解即可．
【详解】依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则
解得．
故答案为：．
16．305
【分析】本题考查了有理数四则运算的实际应用，根据题意，分三次结账和两次结账和分一次结账，分别计算比较即可．
【详解】解：当分三次结账：则（元）；
当分两次结账：①商品A和商品B一起结账，商品C单独结账，则（元）；
②商品A和商品C一起结账，商品B单独结账，则（元）；
③商品B和商品C一起结账，商品A单独结账，则（元）；
当分一次结账：①满减方式：（元）；
②购物券方式：（元）；
，
当商品B和商品C一起结账，商品A单独结账，或商品B和商品C和商品A一起结账，满减方式，可以享受最多优惠，只需付款305元，
故答案为：305．
17．
【分析】此题主要考查了实数的运算和三角函数，利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，二次根式的化简以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【详解】解：原式
．
18．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质得，易得，进而得到，由，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，，，
，，
，
，即
，
．
19．(1)顶点坐标
(2)抛物线与轴交点为，；抛物线与轴交点为
(3)见解析
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征；
（1）将函数关系式运用配方法配成顶点式即可解答；
（2）令，得一元二次方程，求出的值，可得函数图象与轴的交点，令，可得的值，从而可得函数图象与轴的交点；
（3）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数图象．
【详解】（1）
∴顶点坐标
（2）令，得
解得，
抛物线与轴交点为，；
令，则
抛物线与轴交点为
（3）列表如下：
如图所示
20．(1)见解析
(2)
(3)
(4)或
【分析】本题考查作图一复杂作图，坐标与图形的性质，三角形外接圆，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，垂直平分线的性质．
（1）根据的外接圆圆心为的外心，易得圆心在线段，的垂直平分线上，即可作图；
（2）由（1）知，圆心在线段的垂直平分线上，设，由，即可求解；
（3）由（2）可得的外接圆的半径，连接，过点M作交于点H，由两点间距离公式得，根据垂径定理得，由勾股定理易得，易得，根据，求得，即可求劣弧的弧长；
（4）由（3）知，分两种情况讨论：点在劣弧上；点P在优弧上；根据圆周角定理求解即可．
【详解】（1）解：补全图形如图所示；
（2）解：点M在线段的垂直平分线上，，，
，
设，
，，
，即，
，
，
故答案为：；
（3）解：由（2）得，，
，
连接，过点M作交于点H，
，
，
，
中，
，
，，
，
，
，
，
劣弧的弧长为：，
故答案为：；
（4）解：如图，
点P在优弧上时，
，
；
点在劣弧上时，
四点共线，，
；
综上，的度数为或，
故答案为：或．
21．旗杆的长约为米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．方法一：由题意得，根据即可求解；方法二：由题意得：，根据，求出，即可求出．
【详解】解：方法一：由题意得，
∴，
∵，，
，即，
，
答：旗杆的长约为米．
方法二：由题意得：，
，
，即
，
答：旗杆的长约为米．
22．(1)6
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数的交点问题，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
（1）由函数图象易得，把点代入，即可得到答案；
（2）把点代入函数，求出b的值，即可得到答案；
（3）求得当时，此时直线与y轴交点的纵坐标的值，即b的值，利用数形结合思想即可求解．
【详解】（1）解：由函数图象得：，
把点代入，得，
解得：；
（2）解：直线图象经过点，
，
解得：；
（3）解：当时，，
∵当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于反比例函数的值，
∴．
23．
【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，过点A作交底延长线于点D，由，得，易得，根据，求出，即可求出的长．
【详解】解：如图，过点A作交底延长线于点D，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴
．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂径定理得到，，证明即可；
（2）根据圆周角定理得到，由垂径定理得到，，求出，利用勾股定理得到，根据，，得到，结合是的平分线，推出，易得，由证明，得到，即可求解．
【详解】（1）证明：为的直径，，
，，
在与中，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，即，
．
【点睛】本题考查了圆与三角形的综合题，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，证明三角形相似是解题的关键．
25．(1)续航里程，速度
(2)见解析
(3)②③
(4)40，100
【分析】本题考查列表法表示函数关系，熟练掌握自变量、因变量的定义．
（1）根据表格，由函数定义求解即可；
（2）利用表格数据，描点法画函数图象即可；
（3）由函数图象即可得出结果；
（4）由函数图象即可得出结果．
【详解】（1）解：由表格可设续航里程，速度为，
故答案为：续航里程，速度；
（2）解：函数图象如图所示：
（3）解：根据函数图象得：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
当汽车的速度在60千米/小时左右时，汽车的续航里程度大；
汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小；
正确的有：②③，
故答案为：②③；
（4）解：根据函数图象得：想要该车辆的续航里程保持在500千米以上，该车的车速大约控制在40至100千米/小时范围内，
故答案为：40，100．
26．(1)
(2)4
(3)
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质．
（1）根据二次函数对称轴公式即可求解；
（2）由题意得二次函数解析式，二次函数图象开口向上，则函数关于对称，则时，y有最小值，时，y有最大值，即可求出；
（3）由题意得，二次函数图象开口向上，根据，可得点，在函数对称轴的同侧，由，，易得，则点，在函数对称轴的左侧，求解即可．
【详解】（1）解：二次函数中，，
这个二次函数的对称轴为：；
（2）解：，
这个二次函数的对称轴为：，二次函数图象开口向上，
，，
时，y有最小值，最小值为：，
时，y有最大值，最大值为：，
；
（3）解：二次函数图象开口向上，，
为图象的最大值，为图象的最小值，
点，在函数对称轴的同侧，
，，即，
，
点，在函数对称轴的左侧，
，
解得：．
27．(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据，，为边中点，得到，由直角三角形的特征即可证明；
（3）取的中点O，连接，证明四点共圆，利用圆周角定理证明．
【详解】（1）解：如图所示，补全图形：

（2），
证明：，，
是等腰直角三角形，
为边中点，
，
，
，
；
（3），
证明：理由：取的中点O，连接，
，
四点共圆，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰直角三角形的性质，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，再利用四点共圆解决问题．
28．(1)或
(2)，证明见解析
(3)长度的最大值为，最小值为
【分析】（1）根据“为线段的关联点”，结合是等边三角形，即可求解；
（2）结论：，连接，先证明是等边三角形，根据已知得是等边三角形，再证明，得到，易得，即可证明；
（3）分两种情况讨论：当点P在上方，当点P在下方，利用等边三角形的性质求出点P在上运动，由两个等圆的圆心距求解即可．
【详解】（1）解：如图，
是等边三角形，
点P与点A关于y轴对称，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
综上，点P的坐标为或；
（2），
证明：如图，连接，
，，
，，，
是等边三角形，
，
为线段的“关联点”，
是等边三角形，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：为线段的“关联点”，
是等边三角形，
，
点P随点A的运动而运动，且点P在与相同大小的圆上运动，
设点P在上运动，
由（1）知线段的“关联点”点P的坐标由两个，分别在线段的上方和下方，
当点P在上方时，如图：
当时，过点作轴，交x轴于点G，
，则
，
，
；
当时，过点作轴，交x轴于点G，
同理得：，
是的直径，
是的直径，
，
，
当过点M时，有最大值，最大值为；当延长线过点M时，有最小值，最小值为；
当点P在下方时，同理得长度的最大值为，最小值为，
长度的最大值为，最小值为．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了最值问题，切线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，熟练掌握新概念“关联点”是解题的关键．