北京市石景山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份北京市石景山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．6的算术平方根为（ ）
A．3B．C．D．
2．我国在环保方面取得的成就，为可持续发展奠定了基础．以下四个环保标志分别是“绿色食品”“节水”“安全饮品”“循环再生”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若代数式的值为0，则实数x的值为（ ）
A．B．C．D．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．“在标准大气压下，将水加热到，水会沸腾”是随机事件
B．随机事件是可能会发生，也可能不会发生的事件
C．投掷一枚硬币10次，一定有5次正面向上
D．“事件可能发生”是指事件发生的机会很多
5．如图，中边上的高线为（ ）

A．B．C．D．
6．下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．在一个不透明的袋子中，装有白球、红球若干个，各球除颜色外都相同．某校初二五班30名同学做实验，从袋中任意摸一球，记录颜色后将球放回袋中搅匀，再进行下一次摸球试验．每人做20次这样的摸球试验后，进行累计，发现全班试验中摸出红球共100次，估计袋中红球与白球数量的比值约为（ ）
A．B．C．D．
8．关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．
二、填空题
9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．在括号内填入适当的整式对分式变形：，括号内应填入数字 ，变形的依据是 ．
11．计算： ．
12．如图，将一副直角三角尺按下图放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的斜边平行，两三角尺的某顶点重合，则图③中的 °．
13．如图，点在同一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ；根据你添加的条件，本题中判定两个三角形全等所用的方法为 ．
14．国庆期间，某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于50元的顾客均有一次转动转盘的机会．如图，转盘被平均分为8等份，指针固定不动，转动转盘，转盘停止后，当指针指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针指向3或5时，该顾客获二等奖；若指针指向分界线则重转．顾客转动一次转盘，获一等奖或二等奖的可能性大小为 ．
15．如图，中，，．平分．则
（1） °；
（2）点到的距离为 ．
16．如图，在等边中，，点O在上，且，点E是边上一动点，连接，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，且．
（1）连接，则的形状为 ；
（2）当点E在边上运动时，连接，则的最小值为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．计算：．
19．解方程:
20．如图，，交于点O，，．
求证：．
21．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何?”题目大意为：“如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在池塘的中央，高出水面的部分为1尺，如果把该芦苇沿与池塘边垂直的方向拉向池塘边，那么芦苇的顶部恰好碰到池塘边的处，问水深和芦苇长各多少尺?”请根据题意解决问题．

22．已知：如图，中，，．

(1)利用尺规作图，作中边上的高（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：．
23．已知，求代数式的值．
24．台球技艺中包含了许多物理、数学的知识．图1是台球桌面的一部分，由于障碍球E的阻挡，击球者想通过正面击打主球M，使其撞击台球桌边框（仅碰撞一次），经过一次反弹后正面撞击到目标球F．球的反弹路径类似于光的反射光路．台球桌面抽象为长方形，球抽象为点，如图2，请在边上作出撞击点P，使得，并用数学知识进行证明．
锦囊：某同学阅读理解题意后，先画了一个草图（如图3）进行分析，发现“要保证，只需保证即可”．
25．2023年8月29日华为系列正式开售，某用户购买后进行手机测试，分别在和网络环境下，下载容量为920兆的同一个文件，发现在5G网络环境下载所需时间比网络环境下载的时间少105秒，测得网络环境下载的速度是网络环境下载速度的倍，问该用户在网络环境下载文件的速度是每秒多少兆?
26．小明根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究分式的运算规律．下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：；
第5个：______．
……
(2)观察、归纳，发现规律，得出猜想：
第n个等式可以表示为：______（n为正整数）．
(3)证明（2）中的猜想．
27．如图，在中，，，为射线上一点（不与点重合），连接并延长到点，使得，连接．过点作的垂线交直线于点．

(1)如图1，点在线段上，且．
①请补全图形；
②判断，，之间的数量关系，并证明．
(2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系．
(3)基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题．
28．在的正方形网格中，小正方形的边长为1，网格线的交点为格点，为格点三角形（顶点都在格点上）．对于点与格点给出如下定义：点P为网格中一点（与点B，C不共线），连接，，，若与的某条边相等，则称P为的关联点．

图1 图2
(1)如图1，在格点，，中，是关联点的是______；
(2)如图2，若点为的关联点，当点P是内部（不含边界）的格点时，请标出所有满足条件的点P的位置；
(3)如图2，E是的边上一点（不与点A，C重合），过点E作的垂线，与的边（或）交于点F．若线段上存在的两个关联点，求线段的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根定义，准确计算．
【详解】解：6的算术平方根为，故C正确．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
3．A
【分析】本题考查分式值为0的条件，根据分式的分子为0，分母不为0，列式求解即可．
【详解】解：若代数式的值为0，
，，
解得，，
实数x的值为0，
故选A．
4．B
【分析】本题考查事件发生的可能性，事件的分类，随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，根据定义逐项判断即可．
【详解】解：“在标准大气压下，将水加热到，水会沸腾”是必然事件，不是随机事件，故A选项不正确；
随机事件是可能会发生，也可能不会发生的事件，故B选项正确；
投掷一枚硬币10次，不一定有5次正面向上，故C选项错误；
“事件可能发生”是指事件可能发生，也可能不发生，不是指事件发生的机会很多，故D选项错误；
故选：B．
5．B
【分析】本题考查三角形的高，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，据此判断即可．
【详解】解：由已知图形可得于E，
因此是边上的高线，
故选B．
6．D
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，异分母分式相加，根据“分式的分子分母同时乘或除以一个不为0的数，分式值不变”以及异分母分式的加法法则，逐个判断即可．
【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C不正确，不符合题意；
D、，故D正确，符合题意；
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了已知概率求数量，先计算出总共实验次数，再求出全班实验中摸出白球的次数，由此即可得出答案，理解题意，正确列式计算是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：
总共实验的次数为：（次），
发现全班试验中摸出红球共100次，
全班实验中摸出白球（次），
袋中红球与白球数量的比值约为，
故选：A．
8．C
【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数，先将分式方程化为整式方程，用含m的式子表示出x，再根据解是正数且列不等式，即可求解．
【详解】解：将分式方程，去分母得：，
整理得，
解得，
分式方程的解是正数，
，
；
又，
，
，
m的取值范围是且，
故选C．
9．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数为非负数．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
10． 分式的基本性质
【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质可和分母的变化即可求解．
【详解】解：∵，
∴括号内应填入数字，变形的依据是分式的基本性质．
故答案为：，分式的基本性质．
11．17
【分析】根据平方差公式，即可求解．
【详解】解：原式．
故答案为：17．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．
12．75
【分析】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形外角的性质，根据平行线的性质可得，进而求出，最后根据即可求解．
【详解】解：如图，
由题意知，，，，，
，
，
，
，
故答案为：75．
13． （答案不唯一） （答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，由得出，再由即可证明，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：添加条件：，
，
，
在和中，
，
，
故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）．
14．
【分析】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．用获一等奖或二等奖的机会数除以所有等可能发生的机会总数即可．
【详解】解：∵转盘被平均分为8等份，当指针指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针指向3或5时，该顾客获二等奖，
∴获一等奖或二等奖的可能性大小为．
故答案为：．
15．
【分析】（1）本题根据勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形，即可求解．
（2）本题过点作于点，根据证明，再根据角平分线性质得到，设，则，，最后结合勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：，，满足，
，即为等腰直角三角形，
，
故答案为：．
（2）解：过点作于点，如图所示
，
，
，
，
平分，且，
，
设，则，，
，有，
整理得，解得（舍去），，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理、等腰直角三角形性质、角平分线的性质和勾股定理，解题的关键在于利用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形和利用勾股定理求线段长．
16． 等边三角形
【分析】（1）根据等边三角形的判定方法进行解答即可；
（2）在上取点F，使，连接，，证明，得出，证明，得出点D在过点F且与平行的直线上，过点C作于点G，根据垂线段最短，得出当点D与点G重合时，最小，根据勾股定理和直角三角形的性质，求出结果即可．
【详解】解：（1）根据旋转可知，，
∵，
∴为等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）在上取点F，使，连接，，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D在过点F且平行于的直线上，
过点C作于点G，
∵垂线段最短，
∴当点D与点G重合时，最小，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质，垂线段最小，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
17．
【分析】本题考查了立方根、二次根式的性质、零指数幂、化简绝对值，根据立方根、二次根式的性质、零指数幂、绝对值的意义进行化简，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：．
18．
【分析】本题考查二次根式的混合运算．根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可．正确的计算是关键．
【详解】解：原式．
19．x=2
【分析】按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤进行计算即可.
【详解】方程两边乘以2（3x-1）
整理得，9x-5=13,
解得x=2
经检验x=2是原分式方程的解.
【点睛】本题考查解分式方程.按照步骤正确计算是关键.
20．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，先根据等角对等边证明，再证明即可．
【详解】证明：，
，
在和中，
，
，
．
21．芦苇长为尺，水深尺
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇长为尺，则水深尺，由题意可得：，，由勾股定理可得，求出的值即可，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：设芦苇长为尺，则水深尺，
由题意可得：，，
在中，由勾股定理可得：，
，
解得：，
，
芦苇长为尺，水深尺．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺规作图（作垂线），等腰三角形的性质，三角形内角和定理：
（1）过直线外一点作已知直线的垂线即可；
（2）根据等边对等角可得，结合三角形内角和定理可得，结合，即可证明．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）证明：是边上的高，
，
，
，
，
，
又，
，
．
23．，1
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键．先将括号里面进行通分，将除法改写为乘法，各个分子分母因式分解，再化简，根据得出，将其代入进行计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
24．见解析
【分析】本题主要考查轴对称在生活中的应用，涉及轴对称的性质，等腰三角形的性质等，作点M关于的对称点，连接交于点P，根据垂直平分，可得，，根据等腰三角形三线合一可得，结合，即可证明．
【详解】解：如图，作点M关于的对称点，连接交于点P，点P即为所求；
证明：点与点M关于对称，
垂直平分，
，，
，
，
，即．
25．该用户在网络环境下载文件的速度是每秒92兆
【分析】设该用户在网络环境下载文件的速度是每秒兆，则在网络环境下载文件的速度是每秒兆，根据下载容量为920兆的同一个文件，发现在5G网络环境下载所需时间比网络环境下载的时间少105秒，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设该用户在网络环境下载文件的速度是每秒兆，则在网络环境下载文件的速度是每秒兆，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
，
答：该用户在网络环境下载文件的速度是每秒92兆．
26．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】本题考查了分式的规律探索，分式加减运算，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
（1）根据前4个等式的规律即可得；
（2）根据前5个等式，归纳类推出一般规律即可得；
（3）根据分式的减法、二次根式的性质化简即可得证．
【详解】（1）解：第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：；
第5个： ；
故答案为：．
（2）解：归纳类推得：如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：
；
故答案为：．
（3）证明：∵，
，
∴．
27．(1)①见解析；②，证明见解析
(2)画图见解析，
(3)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；
（1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证；
（2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证；
（3）根据（1）（2）小问写出一个变式性题目即可．
【详解】（1）解：①补全图形如图所示：
；
②，
证明：如图，作交的延长线于，
，
则，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：画出如图所示：
，
关系：，
作交的延长线于，
则，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：若点在线段上，且时，、、之间的数量关系是什么？
28．(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理与网格问题，分类讨论等知识和方法，灵活运用相关知识及方法是解答本题的关键．
（1）根据关联点的定义，首先可判断， 两点是的关联点；
（2）根据线段垂直平分线的性质可知，的关联点在三边的垂直平分线上，根据，关联点可以在以点A为圆心，长为半径的圆上，根据，关联点也可以在以点C为圆心，长为半径的圆上，在内处于3条垂直平分线和2个圆弧上，又是格点的点即为所求作的关联点；
（3）作的中垂线，交的交点为L，K，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点M，分当点K与点E重合时，当点F与点M重合时，当点F与点B重合时，当时，当时，讨论即可．
【详解】（1）与中的相等，
点为的关联点，
与中的边均不相等，
点不是的关联点，
与中的相等，
点为的关联点，
故答案为：，．
（2）如图，点，，即为满足条件的点P的位置；

（3）如图，作的中垂线，交的交点为L，K，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点M，

当点F与点M重合时，此时，与交于点H，
，
∴点M，点H是的关联点，此时上有2个的关联点，
，
，
，
；
当时，此时上有1个的关联点，为与的交点，不符合题意；
当点F与点B重合时，此时，与交于点Q，
，
∴点Q，点是的关联点，此时上有2个的关联点，
；
当时，此时上有2个的关联点，为与的交点，和圆弧与的交点，符合题意；
综上所述，结合图形可知，或，线段上存在的两个关联点，
的取值范围是：．