北京市西城区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份北京市西城区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．火纹是一种常见的装饰图案，多用于建筑、家具设计等．下列火纹图案中，可以看成轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．下列各式从左到右变形一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，，是的角平分线．若点D到的距离为3，则的长为（ ）
A．12B．7.5C．9D．6
6．如果，那么代数式的值为（ ）
A．B．C．6D．13
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，（），且，则点C的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（ ）．
A．45°B．90°C．75°D．135°
二、填空题
9．计算：（1） ；（2） ．
10．若分式有意义，则x的取值范围是 ．
11．计算： ．
12．如图，为等腰三角形，，，连接，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）．
13．如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为 （用含a，b的式子表示）．
14．甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要h，则根据题意可列方程为 ．
15．在正三角形纸片上按如图方式画一个正五边形，其中点F、G在边上，点E、H分别在边、上，则的大小是 ．
16．如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 ，的面积的最大值为 ．

三、解答题
17．分解因式：
(1)；
(2)．
18．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
19．如图，点C、D在上，，，，、相交于点G．
(1)求证：；
(2)求证：．
20．解方程：．
21．已知：如图，．
求作：射线，使，且点C在直线的下方．
作法：①在射线上取一点P，过点P作射线的垂线，与射线相交于点M；
②在的延长线上取一点N，使；
③以点O为圆心，长为半径画弧，
再以点M为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方相交于点C；
④作射线．
所以射线即为所求作的射线．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接，．
∵，，
∴．（ ）（填推理的依据）
∴ ．
∵，
∴．
在和中，
∴．（ ）（填推理的依据）
∴ ．
∴，
即．
22．阅读材料：
如果整数，满足，，其中，，，都是整数，那么一定存在整数，，使得．例如，，，或，……
根据上述材料，解决下列问题：
(1)已知，，或，……若，则 ；
(2)已知，（，为整数），．若，求（用含，的式子表示）；
(3)一般地，上述材料中的，可以用含，，，的式子表示，请直接写出一组满足条件的，（用含，，，的式子表示）．
23．在中，，点D在的内部，，．
(1)如图1，线段的延长线交于点E，且．
①求的度数；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，直接写出结果；
(2)如图2，点F在线段的延长线上，连接交射线于点M，且M为的中点．求证：．
24．在平面直角坐标系中，已知点，直线l经过点T且与x轴垂直．对于图形M和图形N，给出如下定义：将图形M关于y轴对称的图形记为，图形关于直线l对称的图形记为，若图形与图形N有公共点，则称图形M是图形N的“双称图形”．
例如，如图1，当时，对于点和第三象限角平分线，点P关于y轴的对称点是，点关于直线l的对称点在射线上，则点P是射线的“双称图形”．
已知点，，图形N是以线段为一边在直线上方所作的正方形．
(1)当时，直线l和正方形如图2所示．
①在，，这三个点中，点 是图形N的“双称图形”；
②点，，，是图形N的“双称图形”，求m的取值范围；
(2)若图形N是它自身的“双称图形”，直接写出t的取值范围．
25．如图，是等边三角形．点是延长线上的一个动点，连接，点在的垂直平分线上，且平分，连接，，过点作于点．
(1)当时，的值为 ；
(2)给出下面四个结论：
①点一定在的垂直平分线上；
②点一定是线段的中点；
③当时，；
④点运动过程中，的大小始终不变．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
26．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义将点与的“变倍距离”记为，
若，则；
若，则．
例如，点与的“变倍距离”．
已知点．
(1)若点，，则 ， ；
(2)点D在y轴负半轴上，且，求点D的坐标；
(3)点P，Q是第一、三象限角平分线上的两个动点（P与Q不重合），若，直接写出t的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，理解轴对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 不是轴对称图形，不符合题意；
B. 是轴对称图形，符合题意；
C. 不是轴对称图形，不符合题意；
D. 不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了同底数幂除法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，根据相关运算法则逐一计算，即可判断答案．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
3．A
【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称点的规律，横坐标相同，纵坐标互为相反数，解答即可．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式，解题关键是掌握分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质以及赋值法注意判断，即可得到答案．
【详解】解：A、若，，则，，即，原变形错误，不符合题意；
B、，原变形正确，符合题意；
C、若，，，则，，即，原变形错误，不符合题意；
D、，原变形错误，不符合题意；
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离，含30度角的直角三角形，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．过点作于点，根据角平分线的性质，得到，再由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，即可求出的长．
【详解】解：如图，过点作于点，
是的角平分线，，
，
点D到的距离为3，
，
在中，，
，
，
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想解决问题是关键．．由已知可知，再将代数式变形为，即可计算求值．
【详解】解：，
，
，
故选：D．
7．D
【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”模型证明三角形全等是解题的关键．
根据题意，分别作轴，轴，根据“一线三等角”模型证明，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在，中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵点在轴的负半轴上，
∴点的横坐标为，
故选：．
8．B
【分析】本题主要考查轴对称—最短路径的运用，掌握最短路径的的计算方法，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角和的综合运用．
根据题意，分别作点的对称点，根据两点之间线段最短可确定点的位置为点，此时四边形的周长最小，根据对称的性质可得，，根据三角形的外角的性质可得，根据直角三角形中两锐角互余可得出，，运用等量待会即可求解．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，
∴根据两点之间线段最短可得，的值最小，
∴四边形的周长最小值为：，
∵在中，，，即是等腰直角三角形，
∴，
在中，
∵，
∴，
根据对顶角的性质可得，，，
根据对称的性质可得，，，，，
∴，，
在，中，
∵，，
∴
，
∴当四边形的周长最小时，的大小是，
故选：．
9． 1
【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂，根据相关运算法则计算即可．
【详解】解：（1），
故答案为：1；
（2），
故答案为：．
10．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0进行求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0．
11．/
【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂相乘，利用同底数幂乘法法则，即可计算求值．
【详解】解：，
故答案为：．
12．（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形判定定理，根据已知一角一边相等，可添加相等角的另一边相等，求解即可．
【详解】添加条件为：；
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
故答案为：．
13．/
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，正确理解题意，根据完全平方公式解答即可．
【详解】解：由题意可知，拼成的大正方形面积为，
，
拼成的大正方形的边长为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程一定要检验．设乙同学单独清点这批图书需要小时，根据两人合作清点完另一半图书，列出方程即可．
【详解】由题意可得：甲的工作效率为，
∴，
故答案为：．
15．/度
【分析】本题考查了等边三角形的性质，多边形内角和，三角形外角的性质，掌握多边形内角和公式是解题关键．由边三角形的性质得到，由多边形内角和得出，再利用三角形外角的性质，即可求出的大小．
【详解】解：是正三角形，
，
正五边形的内角和为，
，
是的外角，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】在中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知，代入数值即可确定的取值范围；延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质易知，确定面积的最大值，即可获得答案．
【详解】解：∵在中，，
∴，
解得；
如下图，延长交于点，

∵为的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
当时，的面积取最大值，
即，
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、解一元一次不等式、角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．
17．(1)；
(2)．
【分析】（）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可求解；
（）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可求解；
本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
．
18．（1）；（2），原式
【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据多项式与多项式的乘法法则计算即可；
（2）先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再把代入计算．
【详解】解：（1）
．
（2）
=．
当时，原式．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．
（1）证明，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质，得出，，再由等角对等边的性质，得到，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即．
在和中，
∴．
∴．
（2）证明：∵，
∴，，
∴．
∴，
即．
20．
【分析】本题考查的是解分式方程，方程两边同乘以变形为整式方程，解整式方程并检验，即可确定原方程的解．
【详解】解：,
方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以，原分式方程的解为．
21．(1)见解析
(2)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；；；；；
【分析】本题考查了垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）根据已知作法作图即可；
（2）由题意可知，垂直平分，得到，证明，得到，即可证明结论．
【详解】（1）解：补全图形如图所示；
（2）解：如图，连接、，
∵，，
∴．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∴，
即，
故答案为：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；；；；；．
22．(1)9
(2)或
(3)，
【分析】本题主要考查了实数运算、整式运算、完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）结合，，求解即可；
（2）将，代入，整理可得，即可获得答案；
（3）根据题意，可得，结合，可令，，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：9；
（2）解：根据题意，，，，
∴，
∴
∴，
∴或；
（3）解：∵，，
∴，
又∵，
令，，
此时可有一组解，，
即，．
23．(1)①45度；②
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和为180度，
（1）①通过证明可得，再由等边对等角及三角形内角和为180度即可求解；②根据可得，再由线段的转换即可求解；
（2）延长到点N，使，在上截取，通过证明，可得，再证明，可得，由等边对等角及角的转换可得，即可求解；
熟练掌握知识点，并添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】（1）①∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）延长到点N，使，在上截取，
∵M为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．(1)①，；②或
(2)
【分析】本题考查了轴对称，坐标与图形，不等式组的应用；
（1）①根据题意在坐标系中描出两次对称的点，根据新定义，即可求解；
②根据题意求得两次对称的点的坐标，结合新定义，列出不等式组，解不等式组，即可求解；
（2）根据新定义，求得点关于两次对称后的点的坐标，列出不等式组，解不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：①如图所示，
∴，；是图形N的“双称图形”；
②设点关于轴的对称点为，则，设点关于直线的对称点为，
则，即
∴
同理可得，关于轴和直线两侧对称后的对称点分别为，
∵是图形N的“双称图形”，
∴与正方形有交点，
∴或，
解得：或
（2）解：∵已知点，，
∴关于轴的对称点为，关于轴对称的点的为
设点关于的对称点为，
则，即
∴，
设点关于的对称点为，
则，即
∴，
∵图形N是它自身的“双称图形”，
∴①或②
解不等式组①得
解不等式组②得
综上所述，
25．(1)2
(2)②④
【分析】（1）当时，首先证明为等腰直角三角形，易得，再结合等边三角形的性质即角平分线的定义可得，然后根据“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，即可求得的值；
（2）给定条件无法确定，故无法确定点一定在的垂直平分线上，结论①不正确；连接，由垂直平分线的性质可得，再证明，由全等三角形的性质可得，进而可得，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明点是线段的中点，故结论②正确；当时，可确定，故此时不成立，结论③不正确；证明，而，易得，即点运动过程中，的大小始终不变，故结论④正确．
【详解】（1）解：如下图，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
又∵平分，
∴，
∴在中，，
∴．
故答案为：2；
（2）若点一定在的垂直平分线上，
则有，而题目条件无法确定，故结论①不正确；
连接，如下图，
∵点在的垂直平分线上，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即点是线段的中点，故结论②正确；
当时，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故此时不成立，结论③不正确；
如下图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即点运动过程中，的大小始终不变，故结论④正确．
故答案为：②④．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线、三角形外角的定义和性质等知识，综合性较强，综合运用相关知识是解题关键．
26．(1)18，17
(2)点D的坐标为或
(3)
【分析】本题主要考查了绝对值的意义、坐标与图形、整式的运算等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
（1）直接运用“变倍距离”的定义求解即可；
（2）分和两种情况根据“变倍距离”的定义求解即可；
（3）设，以P为例，分别求出和，然后分别根据a、b的取值范围求出t的取值范围，最后选择最大范围即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴；
故答案为：18，17．
（2）解：设D的坐标为，
当，即，则时，，
解得或（不合题意舍去），则点D的坐标为；
当，即，则时，，
解得或（不合题意舍去），则点D的坐标为；
综上，点D的坐标为或．
（3）解：设，以P为例：，
当时，，则，
∵，
∴此时，，则，
当时，
①当时，，则；
②当时，，则；
∴，
当时，
①当时，，则，
②当时，，则
∴．
综上，t的取值范围为．