北京市门头沟区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题

这是一份北京市门头沟区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，下列水平放置的几何体中，其侧面展开图是扇形的是（ ）
A．B．C．D．
3．国道109新线高速公路是京西地区首条高速公路，位于北京市门头沟区，东起六环路军庄立交，西至京冀界，全长约65000米．将数字65000用科学记数法表示为（ ）．
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）．
A．B．C．D．
5．木工师傅锯木板时，往往先用墨盒经过木板上的两个点弹出一条笔直的墨线，然后就可以使木板沿直线锯下，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）．
A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短
C．两点之间，直线最短D．经过一点有无数条直线
6．根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）．
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
7．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，下列结论中正确的是（ ）．
A．B．C．D．
8．已知m是不为1的有理数，我们把称为m的“友好数”．例如：2的“友好数”是，的“友好数”是．如果，是的“友好数”，是的“友好数”，是的“友好数”，…，依此类推，那么的值为（ ）．
A．B．C．2D．
二、填空题
9．中国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果盈利100元记为元，那么亏损20元记为 元．
10．比较大小： （填“”或“”或“”）．
11．关于x的一元一次方程的解为，则a的值是 ．
12．如图，射线的方向为北偏东，且，则射线的方向为 ．

13．写出一个只含有字母a，b，且系数为，次数为4的单项式，该单项式可以是 ．
14．如果与互余，，那么的度数是 ．
15．如图，小张同学用两个长方形纸片垂直摆放制作了一个“中”字，那么该“中”字的面积是 （用含a的代数式表示）．
16．综合实践课上，老师带领学生制作A，B两个飞机模型，每个飞机模型都需要先进行打磨，再进行组装两道工序，才能完成制作，已知制作这两个飞机模型每道工序所需的时间如下：
在不考虑其他因素的前提下，
（1）如果由一名学生单独完成这两个飞机模型的制作，那么需要 分钟；
（2）如果由两名学生分工合作，一名学生只负责打磨，另一名学生只负责组装，那么完成这两个飞机模型的制作最少需要 分钟．
三、解答题
17．计算：．
18．计算：．
19．计算：．
20．计算：．
21．解方程：．
22．如图，同一平面内的四个点A，B，C，D，按要求画图，并回答问题．
(1)分别画直线，射线；
(2)连接，并延长到点E，使得；
(3)在直线上确定一点P，使得点P到点B与点D的距离之和最小；此画图的依据是__________．
23．学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题：．
小赵与小李两名同学的第一步变形结果分别如下：
小赵：；
小李：．
(1)这两名同学中，第一步变形结果正确的是__________（填“小赵”或“小李”），这一步的变形依据是__________；
(2)请写出完整的解题过程．
24．先化简，再求值：，其中，．
25．将下面的解答过程补充完整：
已知：如图，点B在线段上，，点D，E分别是线段的中点，．
求：线段的长．
解：因为点E是线段的中点，，
所以__________．
又因为，__________，
所以．
所以__________．
所以__________．
又因为点D是线段的中点，
所以____________________．
26．2023年9月23日－10月8日，第十九届亚洲运动会在中国杭州举行，其吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”倍受广大群众喜爱．新年将至，学校计划订购一批吉祥物的挂件和徽章．经调查发现，同一款式的挂件和徽章在甲、乙两家商店标价均相同，其中挂件每个标价40元，徽章每个标价20元．同时，两家商店分别开展不同的新年促销活动优惠方式如下：
甲商店：买一个挂件送一个徽章；
乙商店：挂件和徽章都按8折（标价的80％）出售．
如果学校计划订购挂件30个，徽章若干（多于30个），
(1)当订购35个徽章时，如果在甲商店订购，费用需__________元；
(2)当订购多少个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同；
(3)当订购100个徽章时，如果甲、乙两家商店可以自由选择，请设计一种最省钱的订购方案，并说明理由．
27．已知：如图，，平分，以O为端点作射线，平分．
(1)当射线在内部时，
①如图1，如果，那么__________°；
②如图2，如果，依题意补全图形，并求的度数（用含的式子表示）；
(2)当射线在外部时，如果为钝角，且，直接写出的度数（用含的式子表示）．
28．已知数轴上点A，B对应的数分别为a，b，且，点P在线段上，点M为数轴上一动点，其对应的数为m．我们规定：点M到点P的距离的最小值为点M到线段的“到达距离”．
(1)如图1，当点M与数轴上原点重合时，
①如果，那么点M到线段的“到达距离”是__________；
②如果点M到线段的“到达距离”是2，那么__________；
(2)当点A对应的数a在之间（包含，3）时，如果点M到线段的“到达距离”始终大于3，直接写出m的取值范围．
工序
时间（分钟）
模型
打磨
组装
A模型
8
4
B模型
5
10
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．
【详解】解：的相反数是．
故选C．
2．D
【分析】侧面展开图是把一个立方体从其侧面竖直剪开，展开后的那个平面即为侧面展开图，据此逐一判断即可．
【详解】解：A选项侧面展开图是矩形；
B选项侧面展开图是矩形；
C选项侧面展开图是矩形；
D选项侧面展开图是扇形；
故选：D．
【点睛】本题考查几何体的侧面展开图，侧面展开图是把立方体从其侧面竖直剪开，展开后的那个平面即为侧面展开图，理解侧面展开图的定义是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】解：65000用科学记数法表示为．
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握了合并同类项法则，准确计算．
【详解】解：A．，故A错误；
B．，不是同类项，不能合并，故B错误；
C．，故C错误；
D．，故D正确．
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了直线的性质，理解“经过两点有且只有一条直线”是解题的关键．
【详解】解：木工师傅锯木板时，往往先用墨盒经过木板上的两个点弹出一条笔直的墨线，然后就可以使木板沿直线锯下，能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线，故A正确．
故选：A．
6．B
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
【详解】解：A. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意；
B. 如果，那么，故该选项正确，符合题意；
C. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意；
D. 如果，当时，那么，故该选项不正确，不符合题意．
故选：B．
7．C
【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，解题的关键是根据数轴上点的位置确定，．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
由a，b在数轴上的对应点的位置可知，，
∴，，故C正确．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查数字的变化规律，分别求出，，可以找到规律，每三个数是一组循环，则．
【详解】解：∵，是的“友好数”，
∴，
∵是的“友好数”，
∴，
∵是的“友好数”，
∴，
∵是的“友好数”，
∴，
……
∴每三个数是一组循环，
∵，
∴，
故选：B．
9．
【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：盈利元记作元，那么亏损元可记作元，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查有理数的大小比较，两个负数，绝对值大的反而小，掌握两个负数比较大小的方法是解题的关键．
【详解】解：，，且，
，
故答案为：．
11．
【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，正确理解方程的解是解题的关键．
【详解】解：将代入方程，得：
，
解得：，
故答案为：3．
12．南偏东
【分析】根据，即可求解．
【详解】解：如图，

∵，射线OA的方向为北偏东，
∴，
∴射线的方向是南偏东
故答案为：南偏东．
【点睛】本题考查了方位角的计算与表示，数形结合是解题的关键．
13．（答案不唯一）
【分析】本题考查了单项式的系数和次数的概念：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
【详解】解：∵单项式的次数等于各个字母指数之和，
∴该单项式可以是或或．
故答案为：或或．
14．
【分析】本题主要查了余角的性质．根据“互为余角的两个角的和为”，即可求解．
【详解】解：∵与互余，，
∴．
故答案为：
15．/
【分析】本题主要考查了列代数式，解题的关键是数形结合，熟练掌握长方形的面积公式．
【详解】解：
．
故答案为：．
16． 19
【分析】此题主要考查了推理与论证，也考查学生的分析问题和解决问题的能力，分类讨论的思想，是一道比较简单的题目．
（1）由表格信息可得由一名学生单独完成这两个飞机模型的制作的时间；
（2）分两种情况，①当前一名同学先打磨模型B．②当前一名同学先打磨模型A．再比较大小即可．
【详解】解：（1）如果由一名学生单独完成这两个飞机模型的制作，那么需要分钟
（2）前一名同学先打磨模型B，需要5分钟，然后后一名同学组装模型B需要10分钟，同时前一名同学打磨模型A完成，之后后一名组同学组装模型A需要4分钟，则共用时间为分钟，
前一名同学先打磨模型A，需要8分钟，然后后一名同学组装模型A需要4分钟，同时前一名同学打磨模型B完成，之后后一名组同学组装模型B需要10分钟，则共用时间为分钟，
∵，所以这两个模型都制作完成所需的最短时间为19分钟．
17．
【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，先化为省略加号的和的形式，再计算即可．
【详解】解：
．
18．2
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数四则混合运算法则，准确计算．
【详解】解：
．
19．
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律．
【详解】解：
．
20．
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，原式先计算乘方和化简绝对值，再计算除法，最后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
21．
【分析】本题主要考查了解一元一次方程．先移项，再合并同类项，即可求解．
【详解】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
22．(1)图形见解析
(2)图形见解析
(3)图形见解析；两点之间，线段最短
【分析】本题考查作图应用与设计作图，直线，射线，线段的定义等知识：
（1）根据直线，射线的定义画出图形即可；
（2）根据线段的定义以及题目要求画出图形即可；
（3）根据两点之间线段最短解决问题．
【详解】（1）解：如图，直线，射线即为所求；
（2）解：如图，线段，点E即为所求；
（3）解：如图，连接，交于点P，则点P即为所求；
此画图的依据是两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短
23．(1)小李；等式的性质
(2)
【分析】此题考查了解一元一次方程：
（1）根据等式的性质，即可求解；
（2）先去分母、去括号，移项合并同类项，最后将系数化为1即可．
【详解】（1）解：这两名同学中，第一步变形结果正确的是小李，这一步的变形依据是等式的性质；
故答案为：小李；等式的性质
（2）解：
去分母得：
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：．
24．；
【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．
【详解】解：
，
把，代入得：
原式．
25．10；；2；8；；4
【分析】本题主要考查了有关线段中点的计算．根据点E是线段的中点，可得再根据，可得，然后根据点D是线段的中点，进而求解．
【详解】解：因为点E是线段的中点，，
所以．
又因为，，
所以．
所以．
所以．
又因为点D是线段的中点，
所以．
故答案为：10；；2；8；；4
26．(1)1300
(2)190
(3)最省钱的订购方案为在甲商店购买挂件30个，徽章30个，在乙商店购买徽章70个，理由见解析
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用：
（1）用30个挂件的费用加上5个徽章的费用，即可求解；
（2）设当订购x个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同，根据题意，列出方程，即可求解；
（3）分别求出在甲商店购买费用；在乙商店购买费用；在甲商店购买挂件30个，徽章30个，在乙商店购买徽章70个的费用，即可求解．
【详解】（1）解：元，
即在甲商店订购，费用需1300元，
故答案为：1300；
（2）解：设当订购x个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同，根据题意得：，
解得：，
答：当订购190个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同；
（3）解：最省钱的订购方案为在甲商店购买挂件30个，徽章30个，在乙商店购买徽章70个，理由如下：
若在甲商店购买，费用为元，
若在乙商店购买，费用为元，
若在甲商店购买挂件30个，徽章30个，在乙商店购买徽章70个，费用为
元，
∵，
∴最省钱的订购方案为在甲商店购买挂件30个，徽章30个，在乙商店购买徽章70个．
27．(1)①；②
(2)或
【分析】本题考查了角的平分线定义和角的和差运算，数形结合是解答本题的关键．
（1）先求出，根据角平分线的定义求出，进而可求出的度数；
（2）仿照（1）的步骤求解即可；
（3）分两种情况画出图形，再结合角平分线的含义与角的和差进行求解即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
②如图，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
（2）如图，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
如图，

∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
28．(1)①1；②或2
(2)或
【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题：
（1）①根据“到达距离”的定义，即可求解；②根据“到达距离”的定义，即可求解；
（2）根据题意可得点B对应的数a在之间（包含0，5），再由“到达距离”的定义，可得或，即可求解．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∵点M与数轴上原点重合，
∴点M到线段的“到达距离”是1；
故答案为：1
②∵点M到线段的“到达距离”是2，
∴或，
∴或2；
故答案为：或2
（2）解：∵点A对应的数a在之间（包含，3），，
∴点B对应的数a在之间（包含0，5），
∵点M到线段的“到达距离”始终大于3，
∴或，
即m的取值范围为或．