宁夏银川一中、云南昆明一中2024届高三下学期3月联合考试（一模）文科数学试卷及答案

这是一份宁夏银川一中、云南昆明一中2024届高三下学期3月联合考试（一模）文科数学试卷及答案，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知，，,则等于（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数和对应的点分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知x，y满足线性约束条件，若，，则的最大值是（ ）
A．-1B．C．5D．7
4．以下说法错误的是（ ）
A．用样本相关系数来刻画成对样本数据的相关程度时，若越大，则成对样本数据的线性相关程度越强
B．经验回归方程一定经过点
C．用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好
D．用决定系数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好
5．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的为（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，，则
6．定义在上的偶函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．是奇函数
7．执行如图所示的程序框图，则输出的值与下面的哪个数最接近（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个长度单位得到的图象对应的函数为，则（ ）
A．B．0C．D．
9．陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱的组合体，其中圆柱的底面半径为2，圆锥与圆柱的高均为2，若该陀螺是由一个球形材料削去多余部分制成，则该球形材料的体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知数列满足，，记，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知双曲线的上下焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，若直线与圆E：相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．已知非零向量与满足，若，则 .
14．已知，则 .
15．已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为 .
16．已知偶函数的图象关于直线对称，，且对任意，均有成立，若对任意恒成立，则的最小值为 .
三、解答题
17．在中，角的对边分别为，且.
(1)求角：
(2)若，角的平分线交于点，且满足，求的面积.
18．某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求甲生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)若产品的质量指数在内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率．
19．如图，在底面为菱形的四棱锥中，底面，其中为底面的中心.
(1)证明：平面平面.
(2)若，求四棱锥体积的最大值.
20．已知椭圆的左，右焦点分别为，且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线分别交椭圆于，且分别是弦的中点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：直线过定点；
(3)求面积的最大值.
21．已知函数有两个极值点为，.
(1)当时，求的值；
(2)若（为自然对数的底数），求的最大值.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为．
（1）求半圆的参数方程和直线的直角坐标方程；
（2）直线与轴交于点，与轴交于点，点在半圆上，且直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，的面积为，求的值．
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x﹣t|（t＞0）的最小值为2．
（Ⅰ）求不等式f（x）+|x﹣t|≥8的解集；
（Ⅱ）若，求2ac+3bc的最大值．
参考答案：
1．B
【分析】综合应用集合的交、并、补运算即可解决.
【详解】由题意，得或．
或，则，所以A错误；，则，所以B正确；
，则或，所以C错误；
或，则或，所以D错误．
故选：B．
2．A
【分析】根据复数的几何意义可得复数，利用乘法运算，可得答案.
【详解】由题意可知：，，
则.
故选：A.
3．C
【分析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.
【详解】，，即，
，
画出可行域如下图所示，
由图可知，当时，的截距最小，即取得最大值，为.
故选：C.
4．D
【分析】根据回归分析的相关性质依次讨论各选项即可得答案.
【详解】对于A，用样本相关系数来刻画成对样本数据的相关程度时，若越大，
则成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确；
对于B，经验回归方程一定经过点，故B正确；
对于C，用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，
则相应模型的拟合效果越好，故C正确；
对于D，用决定系数来刻画模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好，故D错误.
故选：D.
5．A
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解．
【详解】解：l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，
对于A，若，，，则由线面垂直的性质得，故A正确；
对于B，若，，则或，故B错误；
对于C，若，，则α与γ平行或相交，故C错误；
对于D，若，，，，则m与α平行、相交或，故D错误．
故选：A．
6．C
【分析】根据题中条件，可知，故A、B错误；对于C，令，可得，继而，C正确；对于D，的图象可由的图象平移得到，从而得到的对称中心，即可判断D.
【详解】因为，为偶函数，
所以，
所以A、B错误；
因为是偶函数，所以，
所以，
而，所以C正确；
因为，
所以的图象关于中心对称，
的图象可由的图象向右平移2个单位长度得到，
则的图象关于对称，不是奇函数，所以D错误．
故选：C.
7．B
【分析】该程序框图相当于在上任取10000对数对，其中满足的数对有对，
分别计算出不等式组所表示的区域面积和不等式组所表示的区域面积，
再利用几何概型的面积公式可求得的近似值.
【详解】该程序框图相当于在上任取10000对数对，其中满足的数对有对，显然该问题是几何概型．
不等式组所表示的区域面积为9，
不等式组所表示的区域面积为，
故，因此.
故选：B.
8．C
【分析】根据题意得，，进而得，再根据结合向量垂直关系的表示解得，进而得，再根据平移变换得，最后求函数值即可.
【详解】由题知，函数的周期满足，解得，
所以，
由图象与轴的交点为，得，
所以，
因为，所以，即，
所以，图象与轴的交点为，
因为，所以，解得（负值舍去），
所以，
所以若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，
所以.
故选：C
9．D
【分析】利用空间几何体的特征及球体的体积公式计算即可.
【详解】由题意知当该陀螺中圆锥的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时，
球形材料的体积最小，设此时球形材料的半径为R，由题意得，
解得，所以该球形材料的体积的最小值为．
故选：D．
10．C
【分析】根据递推公式求出数列的前几项，即可判断A、B，依题意可得，即，从而求出数列的通项公式，即可判断C、D.
【详解】因为，，且，
所以，，
所以，故A错误；，故B错误；
又，
故，即，
所以为首项为，公差为的等差数列，故，所以C正确，D错误，
故选：C
11．B
【分析】根据题意画出图象，利用直线与圆相切以及三角形相似即可求出，再由勾股定理即可得，可得渐近线方程.
【详解】如下图所示：
设直线与圆E：相切于点，且圆心，半径；
因为以为直径的圆过点，所以，
又圆E与直线的切点为，所以，从而；
由，得，所以，
又，所以，解得，
因此渐近线的方程为，
故选：B．
12．C
【分析】根据题意，求得，转化为恒成立，分，和，三种情况讨论，结合恒成立，构造函数，利用导数求得函数的单调性和最小值，即可求解.
【详解】由函数，
可得，
因为函数单调递增，所以恒成立，
当时，，不恒成立，不符合题意；
当时，函数与函数均为增函数且均存在零点，
因为恒成立，所以此时两函数的零点相同，
由得，所以，解得，满足题意；
当时，可得函数恒成立，所以此时需恒成立，
即恒成立，令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，则，
综上可得，实数a的取值范围为.
故选：C．
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
13．/
【分析】根据模长关系结合数量积的运算律可得，再根据夹角公式运算求解.
【详解】因为，即，
展开可得，整理得，
且，所以.
故答案为：.
14．
【分析】由条件化简求得，将所求式子利用三角恒等变换化简再根据同角三角函数关系式转化为正切求得结果.
【详解】由，即，
整理得，解得或，
又因为，，可得，
所以
.
故答案为：.
15．
【分析】首先得出的对称性结合的单调性可得的符号变化情况，由此可通过列表法求解.
【详解】由题意是偶函数，所以的对称轴是，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，
又，所以，
所以当时，，当时，，
由对称性当时，，当时，
所以的符号随的变化情况如下表：
所以由上表可知不等式的解集为.
故答案为：.
16．5
【分析】先得到函数的周期，赋值法得到，，从而得到，进而得到当时，，从而利用求和得到，从而得到的最小值.
【详解】因为函数的图象关于直线和对称，
所以，所以其周期，
中，令得，，
又，解得，同理可得，
所以，
，
，解得，
依次类推，可得当时，，
所以，
又对任意恒成立，故.
故答案为：5.
【点睛】关键点点睛：关键是得到，以及，由此即可顺利得解.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合正弦定理、三角恒等变换分析求解；
（2）由角平分线性质可得，利用余弦定理解得，，结合面积公式运算求解.
【详解】（1）因为，整理得，
由正弦定理可得：，
且，则，可得，
即，且，可得.
（2）因为为角的角平分线，则，即，
由余弦定理可得，即，
解得或（舍去），则，
所以的面积.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由频率分布直方图计算平均数即可；
（2）先计算出甲、乙两条生产线的优等品数，由分层抽样计算出每层的人数，由古典概型概率公式计算即可.
【详解】（1）甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：
（2）由题意可知：甲生产线的样品中优等品有件.
乙生产线的样品中优等品有件.
则从甲生产线的样品中抽取的优等品有件，记为；
从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为.
从这6件产品中随机抽取2件的情况有：共15种，
其中符合条件的情况有共8种.
故所求概率.
19．(1)证明详见解析
(2)
【分析】（1）通过证明平面，来证得平面平面.
（2）设，然后利用基本不等式求得四棱锥体积的最大值.
【详解】（1）由于底面，平面，所以，
由于四边形是菱形，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）设，所以，
所以
，
当且仅当时等号成立.
所以四棱锥体积的最大值为.
20．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据条件列出方程组求解；
（2）设直线的方程为，根据已知条件，利用韦达定理和中点公式求得，，然后按照其横坐标是否相等，分别研究直线的方程，从而得到结论；
（3）求得△MNF2面积关于的表达式，然后利用换元思想，设转化为关于的函数，利用函数的单调性求解得到.
【详解】（1）因为椭圆经过点，
所以，因为与短轴的一个顶点构成一个等腰直角三角形，
所以，
所以，解得，
所以椭圆方程为.
（2）证明：设直线的方程为，
则直线的方程为，
联立，消去得，
设，则,
所以，
由中点坐标公式得，
将的坐标中的用代换，得的中点，
当时，所在直线为，
当时，，直线的方程为，
整理得，
令，可得，即有，
所以直线过定点，且为.
（3）方法一：面积为.
令，
由，，在上，∴递增，则在上递减，所以当，即时，取得最大值为，
则面积的最大值为.
方法二：，
则面积，
令，则，当且仅当，
即时，面积的最大值为.
所以面积的最大值为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）对函数求导代入，即可求出函数单调性可得，代入计算可求出；
（2）利用韦达定理可得，代入化简可得，构造函数，求出其单调性即可求得其最大值.
【详解】（1）易知函数的定义域为，
则，
当时可得，，
因此可知当或时，；当时，；
所以在和上单调递增，在上单调递减；
可得和是函数的两个极值点，又，所以；
所以可得，
即当时，；
（2）易知，
又，所以是方程的两个实数根，
由韦达定理可得，
所以
，
设，由可得，令，
则，所以在上单调递减，
可得，
故可知的最大值为.
22．（1）：（为参数，），：；（2）
【分析】（1）消去参数得直线的普通方程，利用半圆的极坐标方程，写出直角坐标方程为，再写出半圆的参数方程；
（2）由题意设，利用点到线的距离求出点到直线的距离，利用两点之间的距离求出，再由三角形的面积公式，结合同角之间的关系求出，即可求出的值．
【详解】（1）半圆的参数方程为（其中为参数，），
直线的直角坐标方程为.
（2）由题意可知，可设，其中
所以点到直线的距离为：
,
又，.
三角形的面积.
，
又，.
【点睛】方法点睛：本题考查极坐标方程，直角坐标方程，参数方程的互化，极坐标与直角坐标方程的互化，即四个公式：，，考查学生的转化与化归能力，运算求解能力，属于中档题.
23．（Ⅰ）t＝4；（Ⅱ）5.
【解析】（Ⅰ）先利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，然后根据f（x）的最小值为2求出t，再解绝对值不等式即可；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）可得2a2+3b2+5c2＝10，然后利用基本不等式求出2ac+3bc的最大值．
【详解】（Ⅰ）∵|x﹣2|+|x﹣t|≥|（x﹣2）﹣（x﹣t）|＝|t﹣2|，
∴f（x）min＝|t﹣2|，
又f（x）＝|x﹣2|+|x﹣t|（t＞0）的最小值为2，
∴|t﹣2|＝2，∴t＝4（t＝0舍去）．
∴f（x）+|x﹣t|＝|x﹣2|+2|x﹣4|＝．
当x＜2时，令10﹣3x≥8，得，∴；
当2≤x≤4时，令6﹣x≥8，得x≤﹣2无解；
当x＞4时，令3x﹣10≥8，得x≥6，∴x≥6．
综上，不等式的解集为或．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知t＝4，∴2a2+3b2+5c2＝＝10，
∴10＝2a2+3b2+5c2＝2（a2+c2）+3（b2+c2）≥4ac+6bc，
∴2ac+3bc≤5，当且仅当a＝b＝c＝±1时等号成立，
∴2ac+3bc的最大值为5．
【点睛】本题考查了绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
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