30，福建省福州第一中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份30，福建省福州第一中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）
1. 实数的相反数是（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义：只有负号不同的两个数互为相反数，据此解答即可．
【详解】解：实数的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记相反数的定义是解本题的关键．
2. 2022年11月5日，习近平在《湿地公约》第十四届缔约方大会开幕式上致辞，发言中指出，中国湿地保护取得了历史性成就，湿地面积达到56350000公顷，构建了保护制度体系，出台了《湿地保护法》。用科学记数法表示，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图所示，正三棱柱的俯视图是( )您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】正三棱柱从上面看到的图形即俯视图．
【详解】该几何体为水平放置的三棱柱，故俯视图的外部轮廓应为矩形，还有一条可以看到的水平棱（实线），
故选：B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图的画法，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据积的乘方，负整数指数幂，同底数幂的除法，幂的乘方运算法则计算即可得出答案．
【详解】解：A. ，原式计算错误，故选项不符合题意；
B. ，原式计算正确，故选项符合题意；
C. ，原式计算错误，故选项不符合题意；
D. ，原式计算错误，故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查积的乘方，负整数指数幂，同底数幂的除法，幂的乘方，正确计算是解题的关键．
5. 已知一次函数的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数的增减性可得，进一步可知的图象经过的象限，即可判断．
【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小，
∴，
∵，
∴经过第二、三、四象限，故选项B符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
6. 下列命题错误的是（ ）
A. 平行四边形的对角线互相平分B. 矩形的对角线相等且互相平分
C. 菱形的对角线相等且互相平分D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊四边形的性质判断即可．
【详解】A．平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意；
B．矩形的对角线相等且互相平分，正确，不符合题意；
C．菱形的对角线互相垂直且平分，而非相等，错误，符合题意；
D． 正方形的对角线相等且互相垂直平分，正确， 不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理、特殊四边形的性质等知识，解题关键是熟练掌握特殊四边形的性质．
7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答．
【详解】解：∵为一元二次方程，
∴，
∵该一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，
∴且，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．
8. 如图，四边形内接于，，平分交于点E，若．则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用根据圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理，求出与的度数，再根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
9. 如图，的顶点坐标分别为，线段交x轴于点P，如果将绕点P按顺时针方向旋转，得到，那么点的对应点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，先求得点P的坐标，过点B作于点D，过点作轴于点E，证明，进而即可求解．
【详解】解：∵、，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴，
如图所示，过点B作于点D，过点作轴于点E，

∵将绕点P按顺时针方向旋转，得到，
∴，，
又∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，旋转的性质，全等三角形的性质，坐标与图形，求得点P的坐标是解题的关键．
10. 直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线
②抛物线与x轴一定有两个交点
③关于x的方程有两个根，
④若，当或时，
其中正确的结论是（ ）
A. ①②③④B. ①②③C. ②③D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】①可得，从而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判断抛物线也过，从而可得方程的一个根为，可求抛物线的对称轴为直线，从而可得抛物线与轴的另一个交点为，即可求解；④当，当时，，即可求解．
【详解】解：①直线经过点，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
故①正确；
②，
由①得，
，
，
，
抛物线与x轴一定有两个交点，
故②正确；
③当时，
，
抛物线也过，
由得
方程，
方程的一个根为，
抛物线，
，
抛物线的对称轴为直线，
与轴的一个交点为，
，
解得：，
抛物线与轴的另一个交点为，
关于x的方程有两个根，，
故③正确；
④当，当时，，
故④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，掌握解法是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______.
【答案】x≠-2．
【解析】
【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的取值范围．
【详解】∵分式 在实数范围内有意义，
∴x+2≠0，
解得：x≠-2，
则x的取值范围是：x≠-2．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
12. 已知圆锥的底面半径为3，母线为8，则圆锥的侧面积等于_______．
【答案】24π.
【解析】
【详解】试题分析：直接根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解：
圆锥的侧面积=2π×3×8÷2=24π.
考点：圆锥计算．
13. 不透明袋子中装有15个红球和若干个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．经过大量重复试验后发现摸到红球的频率稳定在，则绿球的个数约是 ________．
【答案】35
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在，列出方程求解即可．
【详解】解：设绿球的个数有x个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
∴绿球的个数约有35个．
故答案为：35．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
14. 如图所示，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】由菱形的对角线互相垂直平分可得和，中由勾股定理求得，然后由面积代入求值即可；
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴中：，
∵面积，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积计算；掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题关键．
15. 如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=____ .
【答案】15.
【解析】
【分析】连接OB，先求得∠AOB的度数，然后利用360°除以∠AOB度数，根据所得的结果进行分析即可得.
【详解】连接OB，∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，
∴∠AOC=360°÷6=60°，
∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，
∴∠BOC=360°÷10=36°，
∴∠AOB=60°-36°=24°，
即360°÷n=24°，∴n=15，
故答案为15.
【点睛】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意把圆周等分，然后顺次连接各个分点就会得到正多边形．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为_________.

【答案】6
【解析】
【分析】过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则，证明，则，得到，根据，进一步列式即可求出k的值.
【详解】解：过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则，
∵，
∴，

∵轴于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，的面积是，
∴，
∴，
∴，
则，
即，
解得，
故答案为：6
【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出是解题的关键.
三、解答题（共9小题，共86分）
17.
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂、二次根式、锐角三角函数值、负指数幂的运算法则进行计算后，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，准确求解零指数幂、二次根式、锐角三角函数值、负指数幂是解题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】利用完全平方公式、平方差公式和通分等方法将原分式化简成，再将a、b的值代入化简后的分式中即可得出结论．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
19. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD= CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，求证：DE=DF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，由垂线的性质可证得，由AAS证明△BDE≌△CDF，得出对应边相等即可．
【详解】证明：，
，
DE⊥AB，DF⊥AC，
，
在与中，
，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用证明三角形全等的方法是解决问题的关键．
20. 端午节到来之际，小明家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋．据了解，购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元．
（1）求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元?
（2）若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．小明父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1600元，求至少购进多少个粽子?
【答案】（1）每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元
（2）至少购进600个粽子
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
（1）设每个粽子的进价为元，每个咸鸭蛋的进价为元，根据“购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元”列出方程组并解答；
（2）设购进个粽子，根据“全部售完后利润不低于1600元”列出不等式并解答．
【小问1详解】
设每个粽子的进价为元，每个咸鸭蛋的进价为元，则：
．
解得．
答：每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元；
【小问2详解】
设购进个粽子，
根据题意，得．
解得．
因为是正整数，所以最小值取600．
答：至少购进600个粽子．
21. 某校开展“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，林老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分竞赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表．
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）如表中的______，______；
（2）为参加上级部门组织的党史知识竞赛活动，现要从E组随机抽取两名学生组成代表队．E组中的小经和小武是黄金搭档，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到这对黄金搭档的概率．
【答案】（1）18，8
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率以及频数分布直方图统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）先求出抽取学生人数，再求出m，n的值即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小丽和小洁的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
抽取的学生人数为：（人，
，
由题意得：，
，
故答案为：18，8；
【小问2详解】
将“小经”和“小武”分别记为：、，另两个同学分别记为：、，
画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中恰好抽到小经和小武的结果有2种，
恰好抽到小经和小武的概率为：．
22. 如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点，连接．

（1）求作的切线，交于点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：，
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）连接，过作的垂线即可；
（2）根据圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形的中位线的性质证明．
【小问1详解】
解：如图：即为所求；

作射线，以点P为圆心，任意长为半径画弧交射线于M，N，以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点E，作直线，交于点Q，则直线即为所求；
【小问2详解】
证明：连接，如图，

为直径，
∴，
，
，
，
，
∵为的切线，
∴，
，
，
，
∴，
是的中位线，
∴．
【点睛】本题考查了复杂作图，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形的中位线的性质是解题的关键．
23. 下表是小明进行数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．
项目主题：测量河流的宽度．
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：小镜子，标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…，各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．
项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：
请你参与这个项目学习，并完成下列任务
（1）任务一：请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度；
（2）任务二：请你写出这个方案中求河流的宽度时用的数学知识______（定出一条即可）；
（3）任务三：请你再设计一个与小明不同的测量方案，并画图简要说明一下。
【答案】（1）
（2）相似三角形对应边成比例
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了用相似三角形解决实际问题，找准相似三角形，利用对应边成比例建立等量关系是解题的关键．
（1）任务一：利用相似三角形的对应边成比例，可求出的长；
（2）任务二：用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识；
（3）任务三：除了利用相似来测量河的宽度，我们还可以利用全等来测量．
【小问1详解】
解：由题知，
．
，
又，
解得：．
答：河流的宽度为．
【小问2详解】
解：由题意得：相似三角形的对应边成比例（答案不唯一，合理即可）；
【小问3详解】
解：（答案不唯一，合理即可）．在河对岸找一个参照物A，站在A的正对面的位置，沿着河岸向东走一段距离，到达处，在处坚立一竹竿，然后继续向东行走到处，使得，再沿着与河岸垂直的位置行走，当走到与共线时停下，位置记为，这时的长度即表示河流的宽度．
24. 如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点C，作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结、，若，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，连结交于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．
【答案】（1）
（2），或，
（3），
【解析】
【分析】（1）在中求出的长，从而确定点坐标，将二次函数设为交点式，将点坐标代入，进一步求得结果；
（2）可分为点在第三象限和第一象限两种情形．当点在第三象限时，设点，可表示出的面积，当点在第三象限时，先求出直线，从而得出点坐标，从而表示出的面积，根据，列出方程，进一步求得结果，当在第一象限，同样的方法求得结果；
（3）作于，交于，根据，，表示出的长，得出，从而得出，从而得出的函数表达式，再根据进一步求得结果．
【小问1详解】
，
，
，
，
点，
设二次函数的解析式为：，
，
，
；
【小问2详解】
如图2，
当点在直线的上方时，
过点作轴，交的延长线于点，
设点，则点，
，
，
，
，
，
，或，，
当点在的下方时，
同理得出，
，
，
此时点和点重合，故舍去，
，或，；
【小问3详解】
如图3，
作于，交于，
，，
，
，
，
，
当时，．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
25. 如图1，已知线段，，线段绕点A在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．

（1）若，以为边在上方作，且，，连接，求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，若，，，求的长；
（3）如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）求出，延长交于点，在 中，由直角三角形性质求得，，进而求得的长，根据 的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求出案．
（3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，，同（1）可得，求出的长，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点，， 三点共线时，的值最大，进而求得，，根据得出，过点作于点，由直角三角形的性质分别求得，，然后求出，最后根据正切的定义即可得出答案．
【小问1详解】
证明：在中，，在中，，，
，，，
，，
，
，
；
【小问2详解】
在，，，，
，，
延长交于点，如图所示，

，，
，
由（1）可得，
，
，
在中，，
，
，
，
即；
【小问3详解】
如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，，

同（1）可得，
，
，
，
中，，，
在以为圆心，为半径的圆上运动，
当点，，三点共线时，的值最大，此时如图所示，则，
在中，，
，，
，
，
，
，
过点作于点，

，，
，
，
，
中，．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数的定义，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的性质与判定是解题的关键．组别
成绩x（分）
频数
A
6
B
14
C
m
D
n
E
p
题目
测量河流宽度
目标示意图
测量数据