42，北京人大附中丰台学校2023~2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份42，北京人大附中丰台学校2023~2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共30页。试卷主要包含了验收结束，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
考生须知
1．本验收共三道大题28小题，共8页，满分100分．验收时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、学号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．验收结束，将答题卡交回．
一、单选题（每小题2分，共16分）
1. 故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积高达平方米，在世界宫殿建筑群中面最大．请将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
【详解】解：将用科学记数法表示应为，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法，关键是掌握用科学记数法表示较大数的方法．
2. 下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可.您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3. 若实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴以及绝对值，观察数轴，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．观察数轴，找出、、、四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．
【详解】解：A、，
，选项A错误；
B、，，
，选项B正确；
C、，，
，选项C错误；
D、，，
，选项D错误．
故选：B
4. 已知抛物线为常数，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依次排列为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【详解】解：∵，，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当，随增大而增大，
∵关于直线的对称点是，
且，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
5. 如果，且，那么代数式的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将原式进行通分计算，然后利用整体思想代入求值．
【详解】解：原式

，
，
，
原式，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
6. 用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得出3个命题，由不等式性质再判断真假即可．
【详解】解：命题①，如果，那么.
∵，∴，∵，∴，整理得，∴该命题是真命题.
命题②，如果那么.
∵∴∵，∴，∴.
∴该命题为真命题.
命题③，如果，那么.
∵∴∵，∴，∴
∴该命题为真命题.
故，选D
【点睛】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．
7. 已知：在四边形中，，，点是线段上一点，且平分，平分，给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ③C. ①②③D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，角平分线定义，同角的余角相等和相似三角形的判定方法与性质定理是解决问题的关键．根据和平分，平分推出即可证明，可证明①正确；根据推出，根据推出，从而推出，即可推出，可证明②正确；根据两角分别相等的两个三角形相似判定后根据相似三角形的对应边成比例得到比例式再推出，可证明③正确，④不正确；即可选出正确答案．
【详解】解：，
，
平分，平分，
，，
，
，
故①正确；
，
，
，，
，
，
，
故②正确；
在和中，
，，
，
，，
，故③正确；，故④不正确．
正确的有①②③．
故选：C
8. 如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：
①一个圆的“半径三角形”有无数个；
②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；
③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是或；
④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是圆周角定理、等腰三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．根据圆的“半径三角形”的概念判断①②；根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断③；根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出的最大面积，判断④．
【详解】解：如图，，即的长度等于半径，
以为边的圆的内接三角形有无数个，
一个圆的“半径三角形”有无数个，故①结论正确；
，
为等边三角形，
，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，，
当点在圆上移动时，可能是，
一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，故②结论正确；
由以上可知，可以是或，
当，时，，
当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或，故③结论错误；
过点作于，
则，
，
当点为优弧的中点时，的面积最大，最大面积为：，故④结论正确；
故选：D
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件被开方数为非负数是解题关键．
10. 因式分解__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用提公因式法、完全平方公式法分解因式，熟练掌握提公因式法、完全平方公式法是解题的关键．
11. 如图，点A，B，C是上的三点．若，，则的度数为______．
【答案】##度
【解析】
【分析】首先根据圆周角定理求得的度数，根据的度数求即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理及两锐角互余性质，求得的度数是解题的关键．
12. 如图，在平行四边形中，E为的中点，，交于点F，则和的面积比为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
13. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的边长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形，可以先设图1中分成的直角三角形的长直角边为，短直角边为，然后根据图2和图3可以列出相应的方程组，从而可以求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得图1中菱形的边长．
【详解】解：设图1中分成的直角三角形的长直角边为，短直角边为，
，得，
图1中菱形的边长为：，
故答案为：
14. 已知，点A，B，C在上，．若点D为上一点（不与点A，C重合），则的度数为________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，关键是分类讨论．分两种情况讨论，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可求出答案．
【详解】解：当点为优弧上一点时，如图，
则，
，
；
当点为劣弧上一点时，如图，
则，
的度数为或．
故答案为：或
15. 如图，点在正六边形的边上运动．若，写出一个符合条件的的值_________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】先求得，在根据点的不同位置，求得的取值范围，从而得解．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴，，
当点在点处时，
∵，，
∴，
当点在点处时，延长交的延长线于点，
∵，，
∴，
∴，
∴是正三角形，
∴，
∵，，
∴即，
∴是正三角形，
∴，
∴，
故答案为（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正多边形的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键．
16. 有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：

①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母_______的位置，标注字母e的卡片写有数字_______．
【答案】 ①. B ②. 4
【解析】
【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．
【详解】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片，
白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，
黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，；
第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，而A为黑1，矛盾，
第一行中C为白2；
第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，
第二行中c为白3，
第二行中a为黑2，b为黑3；
第一行中F与第二行中e肯定有一张为白4，若第一行中F为白4，则D，E只能是黑3，黑4，与b为黑3矛盾，
第二行中e为白4．
故答案为：①B，②4．
【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．
三、解答题（本题共68分．第17-22题，每小题5分；第23-26题每小题6分，第27题7分，第28题7分．）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查绝对值、零指数幂、二次根式、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据绝对值、零指数幂、二次根式、负整数指数幂求解即可．
【详解】原式
18 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得
则原不等式的解集为：．
点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解本题的关键．
19. 已知是方程的一个根，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】先根据方程解的定义得到，再利用完全平方公式和平方差公式对所求式子去括号，合并同类项得到，据此代值计算即可．
【详解】解；∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，整式的化简求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
20. 如图，四边形的对角线，相交于点，，为矩形对角线，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得到，，推出，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质得到，，，，，，推出是等边三角形，得到，根据勾股定理得到，求得，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
四边形是菱形；
小问2详解】
解：四边形是菱形，，
，，，，，，
是等边三角形，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
．
21. 如图，在长为、宽的矩形空地上，修建一横一纵两条道路，并且横、纵两条道路的宽度比为，余下的部分作为草坪，若草坪面积为，求两条道路的宽度各是多少？

【答案】两条道路的宽度各为或
【解析】
【分析】设横着的道路的宽度为，纵着的道路的宽度为，根据“草坪面积为”列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：横、纵两条道路的宽度比为，
设横着的道路的宽度为，纵着的道路的宽度为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，，
两条道路的宽度各为或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象平行于直线，且经过点．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据一次函数图象平移时k不变可知，再把点代入求出b的值，进而可得出结论；
（2）由函数解析式可知其经过点，由题意可得临界值为当，两条直线都过点，将点代入到一次函数，可求出m的值，结合函数图象的性质即可得出m的取值范围．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象与函数的图象平行，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，
∴，
∴这个一次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：对于一次函数，当时，有，可知其经过点．
当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于一次函数的值，即一次函数图象在函数的图象上方，由下图可知：

临界值为当时，两条直线都过点，
将点代入到函数中，
可得，解得，
结合函数图象及性质可知，当，时，一次函数的值大于一次函数的值，
又∵如下图，当时，根据一次函数的图象可知，不符合题意．

∴m的取值范围为：．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换、待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质，学会运用数形结合的思想思考问题是解题关键．
23. 年月日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生（两个校区八年级各有名学生）参加了“格物致知 叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解八年级学生的太空科普知识掌握情况，从每个校区八年级的科技小组中分别随机抽取了名学生的竞赛成绩，并整理成部分信息如下：
a．乙校区学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为5组：；；；；）：

b．乙校区的学生成绩数据在这一组的是：
c．两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示：
根据上述信息，解答问题：
（1）______；
（2）对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是______校区，成绩更整齐的是______校区（填“甲”或“乙”）；
（3）抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分．该校计划从两个校区选派成绩不低于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中，甲校区有______人被选中．
【答案】（1）91 （2）乙，甲
（3）50
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；
（2）根据平均数，中位数，方差判断即可；
（3）先求出抽样调查中，乙校区竞赛成绩不低于95分的人数，然后用样本估计总体即可求解．
【小问1详解】
解：由乙校区学生成绩的频数分布直方图知：有4人，有7人，
∴乙校区抽取名学生的竞赛成绩的中位数在，
又乙校区的学生成绩数据在这一组的是：91，91，92，94，
∴中位数为，
故答案为：91；
【小问2详解】
解：∵甲、乙两校区的平均数都是89.3，而甲校区的中位数88.5小于乙校区的中位数91，
∴对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是乙校，
∵甲校区的方差42.6小于乙校区的方程87.2，
∴甲校区的成绩更整齐，
故答案为：乙，甲；
【小问3详解】
解：∵抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分，
∴两校区不低于95分共有人，
又抽样调查中，乙校区竞赛成绩不低于95分有7人，
∴抽样调查中，乙校区竞赛成绩不低于95分有人，
∴估计甲校区被选中人数有人．
【点睛】本题考查抽样调查的相关知识，熟练掌握平均数、中位数的定义以及利用样本估计总体的思想是解决问题的关键．
24. 如图，在中，，以为直径的分别交于点，过点作使得，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到，则有，即可证明结论；
（2）连接，根据三线合一得到，根据勾股定理先求出，然后求出，然后根据求出长，即可求出的长．
【小问1详解】
证明：∵为直径的，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：连接，
∵，，
∴，
∵为直径的，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是利用相似三角形的线段成比例以及勾股定理求线段的长度．
25. 给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：
（1）图象初探
①列表如下
请直接写出m，n的值；
②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．
图①
（2）性质再探
请结合函数的图象，写出当________，y有最小值为________；
（3）学以致用
某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为千元/平方米．
设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：．
根据以上信息，请回答以下问题：
①水池总造价的最低费用为________千元；
②若该农户预算不超过千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？
【答案】（1）①，；②见解析
（2）1，3 （3）①5；②
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象和性质，数形结合是解此题的关键．
（1）①把和分别代入解析式即可得出结论；
②把表格中，的对应值在平面直角坐标系中描出来，再用光滑的曲线连接起来；
（2）根据图形得出结论；
（3）①根据（2）可得结论；
②令，解不等式即可．
【小问1详解】
①，
当时，，
当时，，
，；
②如图：
【小问2详解】
由图象可得：当时，的最小值为3，
故答案为：1，3；
【小问3详解】
①由（2）可知，当时，的最小值为5，
水池总造价的最低费用为5千元，
故答案为：5；
②由题意，
，
，
解得：．
26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
（1）当时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出和的大小关系；
（2）抛物线经过点．
①当时，若，则a的值为_______；
②若对于任意的都满足，求a的取值范围．
【答案】（1），；
（2）①；②或．
【解析】
【分析】（1）根据题意可得顶点坐标为，且开口向上，即可求解；
（2）①根据，抛物线的对称轴为直线，即可求解；②分两种情况结合图形，即可求解．
【小问1详解】
解：当时，
，，
∴顶点坐标为，且开口向上，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：①当时，点，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴；
故答案为：
②对于任意的都满足，
点A、B、C存在如下情况：
情况1，如示意图，当时，有，
．
解得：．
情况2：如示意图；当时，可知，
，
，解得．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数图像和性质，数形结合是解答本题的关键．
27. 如图，正方形中，点分别在上，交于点；
（1）_______．
（2）在线段上截取，连接的角平分线交于点．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，等腰直角三角形性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线．
（1）通过证明，得出，根据，得出，即可解答；
（2）①根据题意补全图形即可；②过点A作，交延长线于点H，连接，先证明，得出，则，再证明，即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵四边形为正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【小问2详解】
解：①根据题意补全图形如图所示：
②证明：过点A作，交延长线于点H，连接，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等和点．已知点．
备用图
（1）在，，中，点P的等和点有________；
（2）点A在直线上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标；
（3）已知点和线段MN，对于所有满足的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的值．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据定义判断即可；
（2）设点的等和点为，则，设，则点的等和点为，则，即可求；
（3）由题意可得点的等和点在直线上，点的等和点在直线上，设直线与轴的交点为，再由，可得点在以为圆心，半径为1的圆上，则点的等和点是两条直线之间的区域，以为圆心，1为半径作圆，过点作的垂线交圆与点，交直线于点，由的最小值为5，可得最小值为4，在中，，可求，同理当点在轴左侧时，
【小问1详解】
，则，
是点的等和点；
，则，
不是点的等和点；
，则，
是点的等和点；
故答案为：，；
【小问2详解】
设点的等和点为，
，
设，则点的等和点为，
，
，
；
【小问3详解】
，
点的等和点在直线上，
，
点的等和点在直线上，
设直线与轴的交点为，
，
点在以为圆心，半径为1的圆上，
点的等和点是两条直线之间的区域，
如图，以为圆心，1为半径作圆，过点作的垂线交圆与点，交直线于点，
的最小值为5，
最小值为4，
在中，，
，
，
同理当点在轴左侧时，
或．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解新定义，将所求问题与圆相结合是解题的关键．91
91
92
94
校区
平均数
中位数
方差
甲校区
89.3
88.5
42.6
乙校区
89.3
m
87.2
1
2
3
4
3