62， 广东省广州外国语学校2022-2023学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

这是一份62， 广东省广州外国语学校2022-2023学年九年级上学期月考数学试卷（9月份），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（ ）
A．y＝（x+1）（x﹣3）B．y＝x3+1
C．y＝x2+D．y＝x﹣3
2．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+1B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣1
3．（3分）已知a是方程2x2﹣3x﹣5＝0的一个解，则﹣4a2+6a的值为（ ）
A．10B．﹣10C．2D．﹣40
4．（3分）如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（ ）
A．1.2B．2.3C．3.4D．4.5
5．（3分）二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
6．（3分）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+3
7．（3分）如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ）
A．x（26﹣2x）＝80B．x（24﹣2x）＝80
C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80D．x（25﹣2x）＝80
8．（3分）已知抛物线y＝2（x﹣1）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），（）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2
9．（3分）如图，二次函数和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（﹣2，1）和点B（4，3），若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2B．x＞4C．﹣2＜x＜4D．x＜﹣2或x＞4
10．（3分）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．
其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．①③④
二、填空题：（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若（m+3）x|m|﹣1﹣（m﹣3）x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．
12．（3分）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为 ．
13．（3分）已知二次函数y＝（x﹣m）2+1，当2≤x≤4时有最小值10，则m的值为 ．
14．（3分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
15．（3分）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 ．
16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论是： ．
三、解答题：（本大题9小题，共72分）
17．（6分）解方程：
（1）3y（y+1）＝y+1；
（2）x2+4x﹣1＝0．
18．（6分）已知二次函数y＝x2﹣kx+k﹣5
（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若此二次函数图象的对称轴为x＝1，求它的解析式．
19．（6分）已知，关于x的方程x2﹣2mx＝﹣m2+2x有两个实数根x1、x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1、x2满足|x1|＝x2，求实数m的值．
20．（8分）如图二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
（3）若直线BD与y轴的交点为E点，连结AD，AE，求△ADE的面积．
21．（8分）如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为4m，宽BC为3m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为4米．
（1）求出抛物线的解析式．
（2）在距离地面米高处，隧道的宽度是多少？
（3）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
22．（6分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值．
23．（10分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
24．（10分）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y＝1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．
25．（12分）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年广东省广州外国语学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一、单选题：（本大题10小题，每小题3分，共30分）。
1．（3分）下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（ ）
A．y＝（x+1）（x﹣3）B．y＝x3+1
C．y＝x2+D．y＝x﹣3
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【解答】解：A、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
B、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、该函数是一次函数，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+1B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣1
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】根据配方法求解可得．
【解答】解：y＝x2﹣2x+3
＝x2﹣2x+1+2
＝（x﹣1）2+2，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的三种形式，解题的关键是熟练掌握配方法的基本步骤．
3．（3分）已知a是方程2x2﹣3x﹣5＝0的一个解，则﹣4a2+6a的值为（ ）
A．10B．﹣10C．2D．﹣40
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x＝a代入方程求得2a2﹣3a＝5，然后根据﹣4a2+6a＝﹣2（2a2﹣3a）即可求解．
【解答】解：把x＝a代入方程得：2a2﹣3a﹣5＝0，
则2a2﹣3a＝5，
则﹣4a2+6a＝﹣2（2a2﹣3a）＝﹣10．
故选：B．
【点评】本题考查了方程的解的定义，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．
4．（3分）如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（ ）
A．1.2B．2.3C．3.4D．4.5
【考点】图象法求一元二次方程的近似根．
【分析】观察表格可得﹣1更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
【解答】解：观察表格得：方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根在2和3之间，
故选：B．
【点评】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
5．（3分）二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
【考点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标，由图象可得m，n的符号，进而求解．
【解答】解：∵y＝（x+m）2+n，
∴抛物线顶点坐标为（﹣m，n），
∵抛物线顶点在第四象限，
∴m＜0，n＜0，
∴直线y＝mx+n经过第二，三，四象限，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数及一次函数图象与系数的关系．
6．（3分）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣2）2；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣2）2﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
7．（3分）如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ）
A．x（26﹣2x）＝80B．x（24﹣2x）＝80
C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80D．x（25﹣2x）＝80
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26﹣2x）m，根据花圃面积为80m2即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26﹣2x）m，
根据题意得：x（26﹣2x）＝80．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）已知抛物线y＝2（x﹣1）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），（）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】利用图象法解决问题即可．
【解答】解：由题意抛物线的对称轴x＝1，
观察图象可知：y1＞y2＞y3，
故选：B．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
9．（3分）如图，二次函数和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（﹣2，1）和点B（4，3），若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2B．x＞4C．﹣2＜x＜4D．x＜﹣2或x＞4
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】根据函数图象，写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，x＜﹣2或x＞4时，二次函数图象在一次函数图象上方，
所以，若y1＞y2，则x的取值范围是x＜﹣2或x＞4．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键．
10．（3分）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．
其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．①③④
【考点】二次函数综合题．
【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①正确；当顶点运动到y轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；当顶点在A点时，D能取到最小值，当顶点在B点时，C能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③正确；令y＝0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB＝CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD＝4，
∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，
∴点C的横坐标最大值为3，故③正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
CD2＝（﹣）2﹣4×＝，
根据顶点坐标公式，＝﹣2，
∴＝﹣8，即＝8，
∴CD2＝×8＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴＝42＝16，
解得a＝，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在y轴上的情况．
二、填空题：（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若（m+3）x|m|﹣1﹣（m﹣3）x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 3 ．
【考点】一元二次方程的定义；绝对值．
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
【解答】解：∵（m+3）x|m|﹣1﹣（m﹣3）x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，
∴．
所有，
解得m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义．
12．（3分）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为 16 ．
【考点】一元二次方程的应用；三角形三边关系；菱形的性质．
【分析】边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长．
【解答】解：∵解方程x2﹣7x+12＝0
得：x＝3或4
∵对角线长为6，3+3＝6，不能构成三角形；
∴菱形的边长为4．
∴菱形ABCD的周长为4×4＝16．
【点评】由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形两边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．
13．（3分）已知二次函数y＝（x﹣m）2+1，当2≤x≤4时有最小值10，则m的值为 ﹣1或7 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【分析】分m＜2，2≤m≤4，m＞4三种情况讨论，可求m的值．
【解答】解：①当m＜2 时，当x＝2时，y最小值为10，代入解析式得（2﹣m）2+1＝10，
解得 m＝5（舍去）或 m＝﹣1，
∴m＝﹣1
②当2≤m≤4 时，把x＝m代入解析式得m﹣2＝10，
解得m＝12（舍去）；
③当 m＞4 时，当x＝4 时，y最小值为10，代入解析式得（4﹣m）2+1＝10，
解得m＝1（舍去）或m＝7．
综上所述：m＝﹣1或m＝7，
故答案为：﹣1或7．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练运用函数的性质解决问题是本题的关键．
14．（3分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 k＞﹣且k≠0 ．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程根的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0，
解得k＞﹣且k≠0．
即实数k的取值范围是k＞﹣且k≠0．
故答案为：k＞﹣且k≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15．（3分）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 6 ．
【考点】二次函数的最值．
【分析】根据a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代数式a2﹣3b2+a﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．
【解答】解：∵a﹣b2＝4，
∴b2＝a﹣4，
∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14
＝a2﹣3a+12+a﹣14
＝a2﹣2a﹣2
＝a2﹣2a+1﹣1﹣2
＝（a﹣1）2﹣3，
∵1＞0，
又∵b2＝a﹣4≥0，
∴a≥4，
∵1＞0，
∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，
∴当a＝4时，原式取最小值为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求解．
16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论是： ①③ ．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）且c＞0，即可判断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，
∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，
∴函数的最大值为4a﹣2b+c，
∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②错误；
∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．
∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，
∴16a+c＞4b，故③正确；
∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），
∵抛物线开口向下，
∴若﹣4＜x0＜0，则y0＞c，故④错误；
故答案为：①③．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
三、解答题：（本大题9小题，共72分）
17．（6分）解方程：
（1）3y（y+1）＝y+1；
（2）x2+4x﹣1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．
【分析】（1）先移项得到3y（y+1）﹣（y+1）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法得到（x+2）2＝5，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）3y（y+1）＝y+1，
3y（y+1）﹣（y+1）＝0，
（y+1）（3y﹣1）＝0，
y+1＝0或3y﹣1＝0，
所以y1＝﹣1，y2＝；
（2）x2+4x﹣1＝0，
x2+4x＝1，
x2+4x+4＝5，
（x+2）2＝5，
x+2＝±，
所以x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18．（6分）已知二次函数y＝x2﹣kx+k﹣5
（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若此二次函数图象的对称轴为x＝1，求它的解析式．
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式．
【分析】（1）令y＝0，得到方程x2﹣kx+k﹣5＝0，求出此方程的判别式为＝（k﹣2）2+16，无论k取何实数，（k﹣2）2+16＞0，即可得到答案；
（2）根据抛物线的对称轴x＝1，能求出k的值，代入抛物线的解析式即可．
【解答】（1）证明：令y＝0，则x2﹣kx+k﹣5＝0，
∵Δ＝k2﹣4（k﹣5）＝k2﹣4k+20＝（k﹣2）2+16，
∵（k﹣2）2≥0，
∴（k﹣2）2+16＞0
∴无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（2）解：∵对称轴为x＝，
∴k＝2，
∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
答：它的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
【点评】本题主要考查对抛物线与X轴的交点和根的判别式等知识点的理解和掌握，理解二次函数和一元二次方程之间的关系式解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．
19．（6分）已知，关于x的方程x2﹣2mx＝﹣m2+2x有两个实数根x1、x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1、x2满足|x1|＝x2，求实数m的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【分析】（1）先把方程化为一般式得到x2﹣2（m+1）x+m2＝0，根据判别式的意义得到Δ＝4（m+1）2﹣4m2≥0，然后解不等式即可得到m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系和m的取值范围得到x1+x2＝2（m+1）＞0，x1•x2＝m2≥0，则可判断x1≥0，x2≥0，所以有|x1|＝x2得到x1＝x2，然后根据判别式的意义确定k的值．
【解答】解：（1）x2﹣2（m+1）x+m2＝0，
根据题意得Δ＝4（m+1）2﹣4m2≥0，
解得m≥﹣；
（2）∵x1+x2＝2（m+1）＞0，
x1•x2＝m2≥0，
∴x1≥0，x2≥0，
∵|x1|＝x2，
∴x1＝x2，
∴Δ＝0，
∴m＝﹣．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．
20．（8分）如图二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
（3）若直线BD与y轴的交点为E点，连结AD，AE，求△ADE的面积．
【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
【分析】（1）设交点式y＝a（x+3）（x﹣1），然后把C点坐标代入可求出a的值，从而得到抛物线解析式；
（2）先利用抛物线的对称性确定D点坐标，然后写出一次函数图象不在抛物线上方所对应的自变量的取值范围即可；
（3）连接AE，先求出直线BD的解析式，求出E点坐标，再根据SADE＝SABD﹣S△ABE求出△ADE的面积即可．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入得a×3×（﹣1）＝3，
解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，
∵点C （0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴点D （﹣2，3），
∴一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1；
（3）连接AE，如图：
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
代入B（1，0），D（﹣2，3）得：
，
解得：，
故直线BD的解析式为y＝﹣x+1，
把x＝0代入y＝﹣x+1得，y＝1，
∴E（0，1），
∴SADE＝SABD﹣S△ABE＝AB•yD﹣AB•yE＝×4×3﹣×4×1＝4．
∴△ADE的面积为4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式．
21．（8分）如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为4m，宽BC为3m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为4米．
（1）求出抛物线的解析式．
（2）在距离地面米高处，隧道的宽度是多少？
（3）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）抛物线的解析式为y＝ax2+1，根据D点的坐标由待定系数法就可以求出结论；
（2）当y＝时代入（1）的解析式，求出x的值即可求出结论；
（3）方法同（2）．
【解答】解：（1）根据题意得：D（﹣2，0），C（2，0），E（（0，1），
设抛物线的解析式为y＝ax2+1（a≠0），
把D（﹣2，0）代入得：4a+1＝0，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+1；
（2）在y＝﹣x2+1中，令y＝﹣3＝得：
＝﹣x2+1，
解得x＝±，
∴距离地面米高处，隧道的宽度是2m；
（3）这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下：
在y＝﹣x2+1中，令y＝3.6﹣3＝0.6得：
0.6＝﹣x2+1，
解得x＝±，
∴|2x|＝≈2.53（m），
∵2.53＞2.4，
∴这辆货运卡车能通过该隧道．
【点评】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
22．（6分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）点A、B关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，当FA+FC的值最小，进而求解
【解答】解：（1）由点A的坐标知，OA＝2，
∵OC＝2OA＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：
，
解得，，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：
，
解得，，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+4；
（2）∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，当FA+FC的值最小，
理由：由函数的对称性知，AF＝BF，
则AF+FC＝BF+FC＝BC为最小，
当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，
∴点F（1，3），
由点B、C的坐标知，OB＝OC＝4，
∴BC＝BO＝4，
即点F的坐标为（1，3）、FA+FC的最小值为4．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
23．（10分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
（3）根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+2600；
（2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，
解得，x1＝70，x2＝110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
（3）由题意可得，
w＝（x﹣50）（﹣20x+2600）＝﹣20（x﹣90）2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，
∴50≤x，（x﹣50）÷50≤30%，
解得，50≤x≤65，
∴当x＝65时，w取得最大值，此时w＝19500，
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
24．（10分）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y＝1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把C（0，1）代入抛物线即可求出c；
（2）把A（1，0）代入得到0＝a+b+1，推出b＝﹣1﹣a，求出方程ax2+bx+1＝0，的b2﹣4ac的值即可；
（3）设B（b，0），由根与系数的关系得：1+b＝，b＝，求出AB＝，把y＝1代入抛物线得到方程ax2+（﹣1﹣a）x+1＝1，求出方程的解，进一步求出CD，求出S1﹣S2＝S△ACD﹣S△ACB即可．
【解答】（1）解：把C（0，1）代入抛物线得：1＝0+0+c，
解得：c＝1，
答：c的值是1．
（2）解：把A（1，0）代入得：0＝a+b+1，
∴b＝﹣1﹣a，
即ax2+（﹣1﹣a）x+1＝0，
b2﹣4ac＝（﹣1﹣a）2﹣4a＝a2﹣2a+1＞0，
∴a≠1，
答：a的取值范围是a＞0且a≠1；
（3）证明：连接AC，
∵ax2+（﹣1﹣a）x+1＝0，
∴（ax﹣1）（x﹣1）＝0，
∴B点坐标是（，0）而A点坐标（1，0）
所以AB＝﹣1＝
把y＝1代入抛物线得：ax2+（﹣1﹣a）x+1＝1，
解得：x1＝0，x2＝，
即CD＝，
∴S1﹣S2＝（S△PCD+S△ACP）﹣（S△APB+S△ACP）
＝S△ADC﹣S△ABC
＝×CD×1﹣
＝×1﹣×1
＝1，
即不论a为何值，
S1﹣S2的值都是常数．
答：这个常数是1．
【点评】本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与X轴的交点等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中．
25．（12分）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；
（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；
（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，
设P（m，m2﹣4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝3，
∴E（3，3），
∴直线OE的解析式为：y＝x，
∴G（m，m），
∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，
∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG
＝PG•AE
＝×3×（﹣m2+5m﹣3）
＝﹣（m2﹣5m+3）
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，△OPE面积最大，
此时，P点坐标为（，﹣）；
（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），
抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．
设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），
∵直线OE的解析式为：y＝x，
∴M（2，2），
∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），
∴2≤﹣1+h≤3，
解得3≤h≤4；
（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∴∠OMP＝∠PNF＝90°，
∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，
∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，
∴△OMP≌△PNF（AAS），
∴OM＝PN，
∵P（m，m2﹣4m+3），
则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，
解得：m＝（舍）或，
∴P的坐标为（，）；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，
同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得：m1＝（舍）或m2＝，
∴P的坐标为（，）；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，
如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，
则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，
解得：m1＝或m2＝（舍）；
P的坐标为（，）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，
同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，
解得：m＝或（舍），
P的坐标为：（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
方法二：作直线DE：y＝x﹣2，
E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，
易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，
联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，
解得x1＝，x2＝，
同理可得x3＝或x4＝；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想解决问题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/9/15 16:12:09；用户：初数；邮箱：duwei024@xyh.cm；学号：39914636x
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60
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