2023咸阳实验中学高二下学期第二次月考试题数学（文）含解析

这是一份2023咸阳实验中学高二下学期第二次月考试题数学（文）含解析，共24页。

1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题：，的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知向量，若，则实数的值为（ ）
A. 1B. 0C. D.
4. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（ ）
A. 4B. C. 2D. 3
5. 函数的导函数在区间上的图象大致为（ ）
A B.
C. D.
6. 现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数和方差均为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ）
A. 3.5B. 4C. 4.5D. 5
7. 已知函数的图象在区间内至多存在3条对称轴，则正实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线的焦点为，，抛物线的准线与交于M，N两点，且为正三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面．下列说法中不正确的是（ ）
A. 若 ，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在三处测得道路一侧山顶的仰角分别为，其中，则此山的高度为（ ）

A. B.
C. D.
11. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A. p与该棋手和甲、乙、丙比赛次序无关B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
12. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若集合，则_______________．
14. 若，则_______________．
15. 已知正三棱锥的各棱长均为为侧棱的中点，过点作与底面平行的截面，所得截面与底面之间几何体的外接球的表面积为_______________．
16. 已知函数的定义域为为奇函数，且对于任意，都有，则_____．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，且．

（1）若平面，求三棱锥的体积；
（2）求证：．
18. 已知数列和满足，数列前项和分别记作，且.
（1）求和；
（2）设，求数列的前项和.
19. 如图是某机构统计的某地区2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）的折线图．

注：年份代码1-7分别对应年份2016-2022．
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量．
参考数据：，，，，．
参考公式：相关系数，当时认为两个变量有很强的线性相关关系；回归方程中斜率和截距的最小乘估计公式分别为，．
20. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的极值点个数．
21. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设点，直线与曲线交于两点，若，试探究直线是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．
（二）选考题：共10分．考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22. 在平面直角坐标系中，已知直线，曲线参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线分别交于两点，直线与曲线分别交于两点，求的面积．
【选修4-5：不等式选讲】
23 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）设函数的最小值为M.若正实数a，b，c满足，求的最小值.
咸阳市实验中学2022~2023学年度第二学期第二次月若
高二数学（文科）试题
注意事项：
1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题：，否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】全称命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可得答案.
【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为，.
故选：D
2. 已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】先利用复数的除法求解出，然后由共轭复数求出，再结合复数的几何意义从而可求解.
【详解】由题意知，所以，
则在复平面内对应的点位于第二象限，故B正确.
故选：B.
3. 已知向量，若，则实数的值为（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量线性运算与共线向量的坐标表示求解即得.
【详解】向量，则，
由，得，解得，
所以实数的值为1.
故选：A
4. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（ ）
A 4B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线定义计算即可得.
【详解】由抛物线定义可知等于点到准线的距离，
故点到轴的距离为.
故选：C.
5. 函数的导函数在区间上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数奇偶性，特殊点的函数值排除求解即可.
【详解】易得，而，故，故是奇函数，排除A,D，而，排除B，故C正确.
故选：C
6. 现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数和方差均为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ）
A. 3.5B. 4C. 4.5D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】利用平均数和方差公式可求得新数据的方差.
【详解】设甲组数据分别为、、、，乙组数据分别为、、、，
甲组数据的平均数为，方差为，
可得，，
乙组数据的平均数为，方差为，
可得，，
混合后，新数据的平均数为，
方差为.
故选：B
7. 已知函数的图象在区间内至多存在3条对称轴，则正实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的区间，求出相位范围，再结合余弦函数的图象性质列式求解即得.
【详解】由，得，
依题意，，解得，即，
所以正实数的最大值为.
故选：A
8. 已知双曲线的焦点为，，抛物线的准线与交于M，N两点，且为正三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出抛物线准线方程，进而得到，由等边三角形得到边长之间的比例关系，得到齐次式，化为，求出离心率.
【详解】的准线方程为，经过点，
中，令得，解得，
故，
因为为正三角形，所以，
即，联立，解得，
方程两边同时除以得，解得或（舍去），
故双曲线的离心率为.
故选：A
9. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面．下列说法中不正确的是（ ）
A. 若 ，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间中的线面、面面关系逐一判断即可.
【详解】由线面平行的性质定理可知A正确；
若，，则或，故B错误；
因为，所以由面面垂直的性质定理可知，必有，使得，
同理，由得必有，使得，
从而有，
若与是相同直线，则由得；
若与是不同直线，则由，，可得，
因为，，则由线面平行的性质定理可得，故，故C正确；
若，则，又，则，故D正确．
故选：B.
10. 逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在三处测得道路一侧山顶的仰角分别为，其中，则此山的高度为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据锐角三角函数可得，进而根据余弦定理即可求解.
【详解】解：如图，设点在地面上的正投影为点，

则，,
设山高，则，
在中，，
由余弦定理可得：，
整理得，
∴．
故选：D．
11. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【解析】
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即，，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
12. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数以及正弦函数性质可判断，构造函数，通过导数得到函数在上的单调性，即可得出，进而得出答案.
【详解】因为，所以，因为，，所以，
因为，所以；
令，，则.
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，在上单调递增.
又，
所以，在上恒成立，
所以，在上单调递减.
又，，所以有，
即，整理可得，
所以.
综上所述，.
故选：B.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若集合，则_______________．
【答案】
【解析】
【分析】结合补集与交集的定义计算即可得.
【详解】由，故，
则.
故答案为：.
14. 若，则_______________．
【答案】##0.6
【解析】
【分析】利用配凑出，结合诱导公式和余弦的二倍角公式即可求得结果.
【详解】
.
故答案为：.
15. 已知正三棱锥的各棱长均为为侧棱的中点，过点作与底面平行的截面，所得截面与底面之间几何体的外接球的表面积为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】求得正三棱锥对应正三棱台的高，以及上下底面外接圆半径，结合几何关系，确定球心位置，以及求得外接球半径以及表面积即可.
【详解】根据题意，作图如下：
过点作与底面平行的截面即平面，显然也为的中点，
故三角形也是等边三角形，且；
过点作底面的垂线，垂足为，交平面于点，
则分别为三角形的中心，则球心定在直线上，设其为；
在三角形中，由正弦定理可得，则；
在三角形中，由正弦定理可得，则；
故，，
故球心定在线段的延长线上，设正棱台的外接球半径为，，
则，即，解得，
则，故外接球表面积为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考察正棱台外接球表面积的求解；处理问题的关键是准确寻求到球心所在的位置，再根据几何关系求得球半径；属中档题.
16. 已知函数的定义域为为奇函数，且对于任意，都有，则_____．
【答案】0
【解析】
【分析】由题得出函数的周期性，利用恒等式赋值即可求解.
【详解】因为为R上奇函数，所以，
，
，所以，
所以，故是以2为周期的一个周期函数，
，又，所以
，故，
故答案为：0.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，且．

（1）若平面，求三棱锥的体积；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）借助锥体体积公式计算即可得；
（2）借助线面垂直判定定理及性质定理即可得.
【小问1详解】
，
；
【小问2详解】
如图，连接，交于点，连接，

四边形为正方形，，
又为的中点，，
，且、平面，
平面，
又平面．
18. 已知数列和满足，数列的前项和分别记作，且.
（1）求和；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）确定，再根据解得答案.
（2）计算，得到，根据等比数列求和公式和裂项相消法计算得到答案.
【小问1详解】
，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以其前项和，又因为，
所以，，
【小问2详解】
当时，.
当时，也适合通项公式，
故.
所以，
所以
.
19. 如图是某机构统计的某地区2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）的折线图．

注：年份代码1-7分别对应年份2016-2022．
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量．
参考数据：，，，，．
参考公式：相关系数，当时认为两个变量有很强的线性相关关系；回归方程中斜率和截距的最小乘估计公式分别为，．
【答案】（1）答案见解析
（2），1.82万吨．
【解析】
【分析】（1）将数据代入公式，计算出，得到结论；
（2）计算出，求出线性回归方程，代入计算预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量.
【小问1详解】
，，，，，
，
又，，
y与t有很强线性相关关系，可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
【小问2详解】
由（1）得，
又，，
y关于t的回归方程为．
，将2024对应的代入回归方程得：，
预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量将约万吨．
20. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的极值点个数．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）结合导数的几何意义计算即可得；
（2）结合导数对的值进行分类讨论即可得.
【小问1详解】
当时，，切点为．
，斜率，
所求切线方程为，即；
【小问2详解】
函数的定义域为，
，令，则，
，令，解得，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
，
①当时，，函数单调递增，函数无极值点；
②当时，，
，即，因此函数在上有唯一零点，
当时，，因此函数在上有唯一零点，
当时，，即函数在上单调递增；
当时，，即函数在上单调递减；
当时，，即函数在上单调递增．
又当时，函数有两个极值点．
综上，当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点．
21. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设点，直线与曲线交于两点，若，试探究直线是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）直线恒过点.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用坐标代换法求出曲线的方程.
（2）联立直线与曲线的方程，利用韦达定理结合数量积的坐标运算列式计算即得.
【小问1详解】
设点，则，由，即，
因此，而，即，
所以曲线的方程为．
【小问2详解】
设，由，
得，
由消去y并整理得，
，即，
则，
，
，
整理得，而，解得，
所以直线的方程为：，恒过点.

（二）选考题：共10分．考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22. 在平面直角坐标系中，已知直线，曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线分别交于两点，直线与曲线分别交于两点，求面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据参数方程与普通方程和极坐标方程之间的转换即可得出答案；
（2）由题求出的极坐标即可得出答案.
【小问1详解】
直线过原点且倾斜角为，
直线的极坐标方程为．
曲线的参数方程为（为参数），
曲线的普通方程为，
曲线的极坐标方程为．
【小问2详解】
把代入，得，
把代入，得，即，
．
【选修4-5：不等式选讲】
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）设函数的最小值为M.若正实数a，b，c满足，求的最小值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）先分类讨论把写成分段函数的形式，再解不等式即可；
（2）先求出函数的最小值M，再结合柯西不等式或基本不等式求解即可.
【小问1详解】

则的解集为或或，即或或，
综上所述，的解集为或.
【小问2详解】
解法一：
由（1）可知当时，的最小值，则，
由柯西不等式得，
，
当时取等号，
故的最小值为.
解法二：由（1）可知当时，的最小值，则，
，
当时取等号，即所求最小值为.