2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）专题4-2向量四心及补充定理综合归类-1

这是一份2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）专题4-2向量四心及补充定理综合归类-1，共41页。试卷主要包含了2向量四心及补充定理综合归类等内容，欢迎下载使用。

题型01 “奔驰定理”
【解题攻略】
【典例1-1】
（2022春·全国·高三模拟）
1．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】
四川省三台中学2021-2022学年高三4月质量检测数学试题
2．已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】
3．如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于
A．B．C．D．
【变式1-2】
4．已知是等边三角形，且,那么四边形ABCD的面积为
A．B．C．D．
【变式1-3】
5．是所在平面上的一点，满足，若，则的面积为（ ）.
A．B．C．D．
题型02 极化恒等式
【解题攻略】
【典例1-1】
（2023·江苏·高三专题练习）
6．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（ ）
A．32B．-32C．16D．-16
【典例1-2】
7．如图，在中，已知，点分别在边上，且，点为中点，则的值为 .
【变式1-1】
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则等于 ．
【变式1-2】
（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）
9．在中，，，点是线段上靠近点的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】
（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）
10．以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（ ）

A．B．
C．D．
题型03极化恒等式求最值范围
【解题攻略】
【典例1-1】
11．如图，在平面四边形中，，，，则的最大值为 ．
【典例1-2】
12．已知点O为坐标原点，为圆的内接正三角形，则的最小值为 ．
【变式1-1】
13．在锐角三角形ABC中，已知，则的取值范围是 ．
【变式1-2】
（2022·全国·高三专题练习）
14．已知直线与圆相切于点，设直线与轴的交点为，点为圆上的动点，则的最大值为 ．
【变式1-3】
15．半径为4的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型04等和线题型：基础
【解题攻略】
【典例1-1】.
16．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3B．2C．D．2
【典例1-2】
17．已知在内，且，，则 ．
【变式1-1】
18．在△ABC中，∠BAC=，以AB为一边向△ABC外作等边三角形ABD，∠BCD=2∠ACD，则 ．
【变式1-2】
19．已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为
A．B．C．D．
【变式1-3】
20．已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型05等和线题型：型
【解题攻略】
【典例1-1】
（2023·全国·高三专题练习）
21．O是的外心，，，则（ ）
A．B．C．D．或
【典例1-2】
22．在矩形ABCD中，，，P为矩形内一点，且若，则的最大值为
A．B．C．D．
【变式1-1】
（2022春·江苏无锡·高三江苏省天一中学校考）
23．在中，，，，为的外心，若，、，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】
（2023·全国·高三专题练习）
24．已知正三角形的边长为2，D是边的中点，动点P满足，且，其中，则的最大值为 ．
题型06 等和线题型：型
【解题攻略】
【典例1-1】
25．如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】
（2023·全国·高三专题练习）
26．已知锐角满足，且O为的外接圆圆心，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】
（2022·四川·校联考三模）
27．在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，，点在上运动（如图）.若，其中，，则的取值范围是
A．B．C．D．
【变式1-2】
（2019·北京·首都师范大学附属中学校考一模）
28．在中，点满足.若存在点，使得，且，则的取值范围是 ．
【变式1-3】
（2022秋·山东青岛·高三统考）
29．将两个直角三角形如图拼在一起，当点在线段上移动时，若，当取最大值时，的值是 ．
题型07 等和线题型：分数型
【解题攻略】
【典例1-1】
（2021·辽宁大连·大连八中校考一模）
30．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为
A．B．C．D．
【典例1-2】
（2023春·江苏南通·高三江苏省南通中学校考阶段练习）
31．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】
（2023·全国·高三专题练习）
32．在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且，点F为线段BD上的一动点（包含端点），若，则的取值范围为 ．
【变式1-2】
（2023春·内蒙古乌兰察布·高三校考）
33．已知是正实数，的三边长为，点是边(与点不重合)上任一点，且．若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【变式1-3】
（2022·全国·高三专题练习）
34．已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则 ；与周长之比的取值范围为 ．
题型08 等和线题型：与数列
【典例1-1】
（2022·全国·高三专题练习）
35．如图，平面四边形中，点D为动点，的面积是面积的3倍，数列满足，，当时，恒有，则数列的前6项和为（ ）．
A．2020B．1818C．911D．912
【典例1-2】
（2022秋·安徽合肥·高三阶段练习）
36．如图，点为的边上一点，，为边上的一列点，满足，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】
（2022秋·河北石家庄·高三正定中学阶段练习）
37．如图，已知点为 的边 上一点， ， 为边 上的一列点，满足 ，其中实数列 中， ， ，则
A．46B．30C．242D．161
【变式1-2】
（2023秋·辽宁沈阳·高三新民市高级中学校考阶段练习）
38．已知四边形ABCD，为边BC边上一点，连接交BD于，点满足，其中是首项为1的正项数列，，则的前n项 .

奔驰定理：为内一点，，则.
重要结论：，，.
结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则：.
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.
结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为.
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.
即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.
极化恒等式：a·b＝[（a＋b）2－（a－b）2]
极化恒等式的模型： 平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]．
三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2．
（1）推导过程：由.
三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．
记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
等和线基础：系数为1型形如，求值或者范围，其中可以理解对应系数如，称之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得
形如，求值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构造三角函数辅助角形式求最值.可构建直角坐标系并设且（），应用平面向量线性关系的坐标表示求得关于参数的函数式求最值.
形如，求值或者范围，有如下思维：1.如果动点P在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解.
2.可以借助等和线，找到=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值
形如，求值或者范围，一般情况下，则可以通过等和线或者， 然后对采用均值不等式中的“1”的代换技巧.
参考答案：
1．D
【分析】直接根据向量的基本运算得到，再结合“奔驰定理”即可求解结论．
【详解】解：为三角形内一点，且满足，
，
．
，
故选：D．
2．D
【分析】先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比
【详解】解：，，如图：

，
，
、、三点共线，且，为三角形的中位线
而
，，的面积之比等于
故选：．
【点睛】本题考查了向量式的化简，向量加法的平行四边形法则，向量数乘运算的几何意义等向量知识，充分利用向量共线是解决本题的关键
3．D
【解析】由题，延长AP交BC于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量的关系，可得与的比值，再利用面积中底面相同可得结果.
【详解】延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，
所以，设
代入可得
即
又因为，即，且
解得
所以可得
因为与有相同的底边，所以面积之比就等于与之比
所以与的面积之比为
故选D
【点睛】本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.
4．A
【分析】设AD的中点为E，以为邻边作平行四边形AECB，画出对应的图形，利用E为中点，得到为平行四边形，再根据可得四边形为矩形，于是得到四边形ABCD为直角梯形，进而可得所求的面积．
【详解】取AD的中点E，以为邻边作平行四边形AECB，如图所示，
则有，
又，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又BE为等边的中线，
∴，
∴平行四边形BCDE是矩形，
∴四边形ABCD是直角梯形．
又，
∴，
∴四边形ABCD的面积为．
故选A．
【点睛】解答本题的关键是对式子的理解，然后结合向量加法的平行四边形法则构造平行四边形，然后通过分析得到四边形ABCD的形状，体现了向量具有数和形的双重性质的特点，考查分析问题和解决问题的能力．
5．A
【分析】利用线性运算得到，再利用数乘的几何意义求面积即可.
【详解】依题意有，化简得，所以到的距离等于到距离的三分之一，故的面积为.
故选：A.
6．D
【分析】由题设有，代入极化恒等式求即可.
【详解】由题设，，，
.
故选：D
7．4
【详解】试题分析：
考点：向量数量积
8．
【分析】在平行四边形ABCD中，取的中点O，根据相等向量和向量的加法运算法则及数量积运算求解.
【详解】如图：
在平行四边形ABCD中，取的中点O，
则，，
则.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平面向量的概念及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
9．B
【分析】先用，两个向量表示，然后根据数量积的运算即可得到.
【详解】
，
，
因，所以，
又，
所以，
故选：B
10．C
【分析】如图所示，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示计算即可.
【详解】如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，则，，
由，得，
所以，，
所以．

故选：C.
11．1
【分析】利用转化法求出，再求出的最大值即可.
【详解】
取的中点，连接，，
由，，
由，得四点共圆，且直径为．
则 ，
所以 ．
故答案为：1.
12．5
【分析】取的中点N，连结，取其中点D，则所求转化为，结合题意可得点D在以M圆心，以为半径的小圆上运动，求得，即可求得最小值.
【详解】取的中点N，连结，取其中点D，如图所示，
则
，
当正沿圆周运动时，点D在以M圆心，以为半径的小圆上运动．
由外接圆半径为1，
则，
从而．
所以的最小值是，
又，，
所以，
故所求最小值为．

故答案为：5.
13．(0,12)
【分析】依题意可得BC=2，以B为原点，BA所在的直线为x轴建立坐标系，所以C(1,)，设点A(x,0)，分析图象可得x的取值范围，则根据数量积的公式可得的表达式，然后根据二次函数的性质求出值域即可.
【详解】||=||=2，即BC=2，如图，
以B为原点，BA所在的直线为x轴建立坐标系，
因为，BC=2，
所以C(1,)，设点A(x,0)，
因为是锐角三角形，且∠A+∠C=，
所以