2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）专题3-4解三角形大题综合归类-2

这是一份2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）专题3-4解三角形大题综合归类-2，共44页。
题型09 解三角形最值：锐角三角形与边系数不等型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔中学校考）
1．已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，求的取值范围.
【典例1-2】（2023春·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）
2．在中，角所对的边分别为.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求的最大值.
【变式1-1】（2023春·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）
3．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，求的取值范围．
【变式1-2】（2023春·江苏徐州·高三统考）
4．已知锐角三个内角、、的对应边分别为、、，．
(1)求；
(2)若，求的取值范围．
题型10解三角形最值：四边形面积最值型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·山东师范大学附中模拟预测）
5．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，△ABC的面积为S，且．
(1)求角B的大小；
(2)若为平面ABC上△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．
【典例1-2】（2022·湖北·模拟预测）
6．在中，若.
(1)求的值；
(2)如图，若，为外一点，且，，，求的最大值及相应的.
【变式1-1】（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）
7．如图，在平面四边形中，.
(1)证明：；
(2)记与的面积分别为和，求的最大值.
【变式1-2】（2022·福建·上杭一中模拟预测）
8．如图，在四边形中，．
(1)证明：为直角三角形；
(2)若，求四边形面积S的最大值．
题型11三大线：中线（重心）型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·江西南昌·高三南昌十中校考阶段练习）
9．已知三角形中，三个内角的对应边分别为，且.
（1）若，求；
（2）设点是边的中点，若，求三角形的面积.
【典例1-2】（2018秋·宁夏银川·高三六盘山高级中学校考）
10．在三角形中，为的中点，
（1）求的值；
（2）若,求三角形的面积.
【变式1-1】（2023秋·浙江温州·高三乐清市知临中学校考开学考试）
11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B大小；
(2)若，，为的重心，求的面积.
【变式1-2】（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）
12．如图，在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB相交于点D、E、F．

(1)试证明：
(2)若P为重心，，求的面积．
题型12 三大线：角平分线（内心）型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·江苏淮安·高三淮阴中学校考开学考试）
13．已知中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，D是边AC上的一点，且．
(1)若，，求AD；
(2)若BD为的角平分线，求面积的最小值．
【典例1-2】（2023秋·广西钦州·高三校考开学考试）
14．《几何原本》是古希腊数学家欧几德得所著的一部数学著作，在《几何原本》第六卷给出了内角平分线定理，其内容为：在一个三角形中，三角形一个内角的角平分线内分对边所成的两条线段，与这个角的两邻边对应成比例.例如，在中（图1），为的平分线，则有.

(1)试证明角平分线定理；
(2)如图2，已知的重心为，内心为，若的连线.求证：.
【变式1-1】（2023秋·江苏淮安·高三统考开学考试）
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，．
(1)若的面积，求a；
(2)若D为的角平分线与边BC的交点，，求a.
【变式1-2】（2023秋·浙江·高三校联考开学考试）
16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若，，的角平分线交BC于D，求AD的长．
题型13 三大线；高
【解题攻略】
【典例1-1】
17．在三角形中，已知角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）设三角形的边上的高为，且，求的值.
【典例1-2】
18．已知的内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边上的高为，求.
【变式1-1】
19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
(1)求B的值；
(2)若与边上的高之比为3∶5，且，求的面积.
【变式1-2】
20．的内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求及；
(2)若，求边上的高.
题型14辅助线型：双三角型
【典例1-1】（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）
21．如图，在△ABC中，D是AC边上一点，∠ABC为钝角，∠DBC=90°．
(1)证明：；
(2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求△ABD的面积．
①；②．
【典例1-2】（2022·湖南·模拟预测）
22．如图，在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)在的延长线上有一点D，使得，求．
【变式1-1】（2022·湖南师大附中三模）
23．已知等腰三角形，，为边上的一点，，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，求的面积及的长．
条件①；条件②；条件③．
【变式1-2】
24．如图，在中，，，，点M､N是边AB上的两点，.
(1)求的面积；
(2)当，求MN的长.
（2023·河南·统考模拟预测）
25．已知的三个角的对边分别为，且
(1)求 B；
(2)若，求的面积.
（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考阶段练习）
26．已知满足.
(1)求证：；
(2)若为锐角，求的取值范围.
（2021下·辽宁大连·高三辽师大附中校考阶段练习）
27．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求角A；
(2)若O是△ABC内一点，∠AOB＝120°，∠AOC＝150°，b＝1，c＝3，求tan∠ABO．
（2023·全国·模拟预测）
28．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，．
(1)求角．
(2)若的周长为15，求的面积．
29．在中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积的最大值，并指出此时三角形的形状．
（2022·湖南·湘潭一中高三阶段练习）
30．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
（2024上·湖北恩施·高三利川市第一中学校联考）
31．在锐角中，角所对应的边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)若，求面积的取值范围．
（2023春·江苏镇江·高三校联考阶段练习）
32．锐角中，内角、、对边长分别为、、，满足
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
（2022春·浙江嘉兴·高三校联考）
33．在以下条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题.
①②③
在中，内角，，的对边分别为，，，已知___________.
(1)求角的大小；
(2)若，求边的最小值.
（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）
34．在中，分别是角所对的边，已知，且.
(1)若的面积为，求的值；
(2)求的取值范围.
35．如图所示，BD为四边形ABCD的对角线，设AB＝AD＝1，△BCD为等边三角形．记．
(1)当时，求的值；
(2)设S为四边形ABCD的面积，用含有的关系式表示S，并求S的最大值．
（2023春·安徽合肥·高三合肥市第七中学校考阶段练习）
36．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)求角A的大小；
(2)若，点G是的重心，且，求的面积.
（2023春·山东青岛·高三校联考）
37．在中，．
(1)若为边中点，求长；
(2)若为角的角平分线，求长．
38．在中，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若为边上的高，若，求的最大值．
（2022·全国·高三专题练习）
39．在锐角中，角所对的边分别为.
(1)求的值；
(2)点分别在边上，的面积是面积的2倍.求的最小值.
变系数不一致型1.“非对称”型，无法用均值求解范围，多用正弦定理来“边化角”.
2.最后消角时要注意消去的角与剩下的角对应的取值范围.特别是题中有“锐角或者钝角三角形”这类限制条件时.
四边形面积最值型四边形面积最值型，一般用某一条对角线，把四边形分为两个三角形，有公共边的两个三角形个再各自用余弦定理，构建数量关系
中线的处理方法1.向量法：
2.补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
如图设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
4.中线分割的俩三角形面积相等
三角形角平分线的处理方法：
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
三角形高的处理方法：1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：
在中
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）由商数关系结合两角和得正弦公式化简即可得解；
（2）先利用正弦定理求出，再利用三角函数即可得解.
【详解】（1）由，
得，
即，
又，则，所以，
又，所以；
（2）由正弦定理得，
所以，
所以，
由为锐角三角形，
得，所以，
所以，
所以.
2．(1)或或
(2)
【分析】（1）利用余弦定理，二倍角公式解决；
（2）利用正弦定理转化为三角函数的最值问题.
【详解】（1）由得，
，
或，
所以或或 ；
（2）由为锐角三角形，，根据正弦定理,
所以,

其中为锐角，.
所以当即时，有最大值1.
所以的最大值为.
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和三角公式得到角的余弦值，即可求出答案；
（2）利用正弦定理表示出，，利用三角函数求出最值.
【详解】（1）在中，由正弦定理，且，
则，，
由，则，，
由，则，，
，，
，由锐角中，，则.
（2）由（1）可知，则，
在中，由正弦定理可得：，由，则，
解得，，，
由，且，则，
，
由锐角，，，则，解得，
由余弦函数的单调性，可得，解得.
4．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换可出关于角的函数关系式，求出角的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得，
又因为，所以，，
所以，，
即，
所以，，
又因为，则，所以，，
又因为，则，所以，，故.
（2）解：由正弦定理知，则，，
所以，
，
因为为锐角三角形，且，则，解得，
所以，，则，
所以，，
因此，的取值范围是．
5．(1)
(2)
【分析】（1）由三角形面积公式及余弦定理计算可得；
（2）在中，由余弦定理得到，从而得到，再由从而得到，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】（1）解：在中，由，
有，
则，
即，∵，
所以．
（2）解：在中，，
∴，
又，则为等腰直角三角形，
，
又，
∴，
当时，四边形的面积最大值，最大值为．
6．(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角形面积公式及向量数量积的定义可得；
（2）利用余弦定理及面积公式可得，然后利用三角函数的性质即得.
【详解】（1）∵，
由条件知，
∴，，
∴.
（2）若，，
所以为等边三角形，
在中，，，，
∴，
故，
∴，
，
∴
，
当且仅当，即取等号，
所以时，的最大值为.
7．(1)证明见解析
(2)14
【分析】（1）分别在和中，利用余弦定理表示BD，然后联立求解；
（2）结合（1）得到 ，利用二次函数的性质求解.
【详解】（1）证明：在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
∴，
所以，
即.
（2），
，
则
由（1）知：，
代入上式得，
，
，
∴当时，取到最大值14.
8．(1)证明见解析
(2)12
【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可；
（2）由与，结合与基本不等式求解即可
【详解】（1）∵，由与余弦定理
∴，
整理得，，
∴．
∴为直角三角形．
（2）∵，
∴．
由，得．
．（当且仅当时取等号）
所以四边形面积S的最大值为12．
9．（1）（2）
【分析】（1）用余弦定理后解方程可求得；
（2）由余弦定理求得中线与边长的关系，从而求得三角形的第三边长，再由余弦定理求出一个角的余弦，转化为正弦后可得三角形面积．
【详解】（1）由余弦定理可得.
（2）由题意可得，，
又，，
∴，即，∴，
∴，由，
∴.
【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查三角形面积，本题中涉及三角形路线问题，根据余弦定理有结论成立（其中是中点）．
10．（1）；（2）
【分析】（1）根据和差公式，计算得到答案.
（2）设，，，根据勾股定理得到，计算面积得到答案.
【详解】（1），故，
，故，
故.
（2），设，，，.
在中，根据勾股定理：，解得，故.
【点睛】本题考查了和差公式，三角形面积，意在考查学生的计算能力.
11．(1)
(2)
【分析】（1）由，再利用辅助角公式化简可得，解三角方程可得；
（2）由为的重心，得到点到线段的距离与点到线段的距离的比值，再将其转化为面积比，则面积可求.
【详解】（1）
由正弦定理可得，
，
，
，
又三角形中,可得，
，又
，可得,
又即，可得，则.
（2）连接并延长使其交与点，如图，

因为为的重心，所以,
则点到线段的距离是点到线段的距离的，
则.
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理及角的互补关系即可证结论；
（2）由题意为中线，可得，再由、、，求，进而求对应正弦值，结合及三角形面积公式求面积.
【详解】（1）中，则，
中，则，
又则，
所以，得证.
（2）由是重心，则为中线，又，
所以，
而，则，
所以，可得，且，所以，
同理，，可得，，
所以，，
则.
13．(1)1
(2)
【分析】（1）已知等式利用正弦定理边化角，可得，，则，中，由余弦定理求AD；
（2）， BD为的角平分线，则有，由，得，利用基本不等式求出的最小值，代入面积公式求面积的最小值．
【详解】（1），由正弦定理得，
由，，
则，即，
解得，由，即得，如图所示.

由，则，
中，由余弦定理，
，解得.
（2）， BD为的角平分线，且，如图所示，

则有，，
则，
即，且，
则，可得，当且仅当时等号成立，
所以，
故面积的最小值为．
14．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）过点作交延长线于点，利用三角形相似即可得证；
（2）利用三角形重心得到，再利用平行线分线段成比例与三角形内心的性质，结合角平分线定理证得与，从而得证.
【详解】（1）过点作交延长线于点.

因为，所以，
因为,所以,则，
又，所以，
所以，则,即.
（2）不妨设的延长线交于，连接，

因为为的重心，所以，
因为，所以，
因为为的内心，所以是的角平分线，即是的角平分线，
所以在中，利用角平分线定理得，即，
同理在中，，
所以.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得的高，再根据三角形面积公式求解即可；
（2）由题意设，再根据三角形性质可解得，最后根据正弦定理求解a即可.
【详解】（1）的高，
所以，则．
（2）因为AD是的角平分线，所以，
设，则．
在中，因为，所以，
由内角和定理，，所以．
在中，由正弦定理得，则．
16．(1)；
(2)2
【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换运算求解即可；
（2）先利用余弦定理可得，再结合面积关系运算求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得：，
且，
即，
又因为，则，可知，可得，
又因为，所以.
（2）由余弦定理可得，即，
则，且，解得：，
根据面积关系可得，
即，
解得：．
17．（1）（2）
【分析】（1）由正弦定理可转化原式为，结合余弦定理可得解；
（2）由于又，可得解a,利用余弦定理可解的值.
【详解】（1）设三角形的外接圆的直径长为
由正弦定理和已知
得:
所以，
即
由余弦定理得，
因为，所以
（2）因为，所以
因为，所以
由余弦定理得，
【点睛】本题考查了解三角形综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理边角互化即可求解；
（2）利用面积公式可得，再利用正弦定理边角互化即可求解.
【详解】（1）由题意可得，
根据正弦定理可得，所以，
又根据余弦定理可得，
因为，所以.
（2）因为，即，
由正弦定理可得，所以.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦的额倍角公式和诱导公式即可求解；（2）根据余弦定理和面积公式即可求解.
【详解】（1）由，
由内角和定理得：，
由内角和定理得：，
进而得：，B为三角形内角，
解得：，（舍去），
从而得.
（2）由题设知，不妨设，，
由余弦定理得：，
联立得：，
即，，，
故，
从而的面积.
20．(1)，
(2)
【分析】（1）正弦边角关系及和角正弦公式得，结合三角形内角的性质求，再应用二倍角公式有，进而确定大小；
（2）应用余弦定理及求得、，正弦定理求，即可求边上的高.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
所以，又，
所以，又，则.
因为，即，又，所以，
因为，所以.
（2）由（1）及余弦定理，得.
将，代入，得，
解得或（舍去），则.
因为，所以，
设边上的高为，则.
21．(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据三角形的外角和性质及诱导公式即可求解；
（2）选①，根据同角三角形的平方关系，得出，再利用余弦定理、正弦定理及锐角三角函数的定义，结合三角形的面积公式即可求解；
选②，设出，根据勾股定理，得出，结合已知条件得出，，，利用锐角三角函数的定义，得出角，进而得出角，再利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：因为，
所以，
故；
（2）选①，．
因为，
所以，
在中，由余弦定理可得，
由正弦定理可得，
所以，
因为角为锐角，
故，
在中，因为，所以，
又，
所以；
选②，，
设，则，
在中，，
由（1）得，，
解得，即，
在中，，
所以，
所以，
所以．
22．(1)
(2)
【分析】（1）结合正弦定理边化角可求得，进而结合同角基本关系的平方关系即可求出结果.
（2）求出，进而在中结合正弦定理即可求出结果.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
又在中，，
所以上式可化为．
因为，所以，
又因为是锐角三角形，．解得．
（2）由（1）得：，又是锐角三角形，所以，
所以．
在中，
由正弦定理得：，即，
解得．
23．答案见解析.
【分析】选①②，由，求出，再求出AD，BC即可；
选①③，求出AD，，BC，利用即可；
选②③，求出，AD，AC，再利用，求出即可求出面积，再由余弦定理即可得结果.
【详解】选①②，，，，
∵，∴，
∵在中，，
∴，∵，
∴，，，
在中，∴，，
∴，
．
选①③，，，
在中，，，
在中，∵，
∴，∴，∴，
∴．
选②③，，，
∵，
∴，∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∵在中，，
∴，∴．
24．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理，可求得，根据结合面积公式求解；（2）在中利用余弦定理求，在直角中根据求解．
【详解】（1）在中，，则
由正弦定理得：，，则
因为，则或（不合题意，舍去），
则
的面积为
（2）在中，，，
由余弦定理可得
则有，所以
在直角中，，
，则
25．(1)
(2)
【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简即可得解；
（2）先利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）在中，因为
由正弦定理可得：
所以
所以
整理得 又， 所以，
所以得
因为，所以；
（2）由（1）知， ，又，
在中， 由余弦定理，得，
所以，解得或（舍去），
所以的面积.
26．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用反证法，先假设角为直角；再根据题目条件证明假设不成立即可证明.
（2）先利用两角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理对题目条件进行化简，得；再根据为锐角和余弦定理，得；最后两者结合得到关于和的不等式，即可求出结果.
【详解】（1）假设角为直角，则，
所以.
因为，
所以，
所以，
所以，
显然，所以矛盾，故假设不成立，
所以角不可能为直角.
（2）因为，
所以.
由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，
化简得：.
因为为锐角，
所以，
则，即.
所以.
因为
所以，即.
令，
则有，解得：，
所以的取值范围为.
27．(1)
(2)
【分析】（1）由已知结合正弦定理边化角，化简可得.根据两角和的正弦化简得出，结合的范围，即可得出答案；
（2）由已知推得∠OAC＝∠ABO，.然后在△ABO中以及△ACO中，根据正弦定理得出，进而即可得出答案.
【详解】（1）由已知结合正弦定理边化角可得，
.
又，
所以有.
又，所以.
因为，
所以，.
（2）
由（1）结合图象可知，∠OAC+∠OAB＝60°，∠OAB+∠ABO＝180°﹣∠AOB＝60°，
所以∠OAC＝∠ABO，
所以.
在△ABO中，有，
所以，.
在△ACO中，有，
所以，.
所以有，.
展开整理可得，，
所以，.
28．(1)
(2)
【分析】（1）结合题干，先边角互化，再利用余弦定理，可求出的值，进而求得角的大小；
（2）根据的周长，以及，结合第一问可求得的值，再利用面积公式，进而求得其面积.
【详解】（1）由题意可得，
所以．
由正弦定理，得，
则，所以．
又，所以．
（2）因为的周长为15，所以则．
因为，所以，
即，解得或．
因为，，所以，
所以，，，所以．
29．(1)
(2)最大值为，为正三角形
【分析】（1）利用正弦定理结合三角形恒等变换即可求解；
（2）利用余弦定理可得，结合基本不等式可得，利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）解：∵，由正弦定理可得，
∵，
∴，
∵，∴，从而，即，
∵，∴．
（2）解：∵，，由余弦定理得：，
即，由于（当且仅当时取等号）
所以，
即（当且仅当时取等号）
∴（当且仅当时取等号）
∴当时，的面积最大，且最大值为，
由于，所以此时为正三角形．
30．(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再借助余弦定理计算作答.
（2）利用正弦定理将周长表示为角C的函数，由（1）及锐角三角形条件结合三角函数变换和性质求解作答.
【详解】（1）在中，由正弦定理及得：，
整理得：，由余弦定理得：，而，解得，
所以.
（2）由（1）知，即，因为锐角三角形，即，解得，
由正弦定理得：，
则，
当时，，，而，
即，因此，，则，
所以周长的取值范围是.
31．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理、余弦定理进行边角转换即可.
（2）由正弦定理、三角形面积公式结合三角恒等变换得，结合角的范围即可得解.
【详解】（1），由正弦定理得，即，
由余弦定理得，因为，所以．
（2）在锐角中，，记的面积为．
由正弦定理得，即．
所以．
因为在锐角中，，所以，
解得，
则，故．
32．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可得出周长的取值范围.
【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得
，则，
因为、，则，，因此，.
（2）解：由正弦定理可得，
所以，
，
因为为锐角三角形，且，则，解得，
所以，，则，
所以，.
因此，周长的取值范围为.
33．(1)
(2)最小值为4
【分析】（1）选①，由余弦定理求出得解；选②，根据正弦定理化简可得，即可求解；选③，由面积公式及余弦定理化简求得解；
（2）由余弦定理及均值不等式求最值.
【详解】（1）若选①，由已知条件结合余弦定理推论得：，
又，所以.
若选②，由已知条件结合正弦定理得：，得，
又，所以.
若选③，由已知条件结合面积公式､余弦定理推论得：，
得，又，所以.
（2）由余弦定理得：
，
当且仅当时等号成立，即，
所以边的最小值为4.
34．(1)2
(2)
【分析】（1）根据垂直向量数量积为0求解可得，再根据三角形面积公式与余弦定理求解即可；
（2）由正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据三角函数取值范围求解即可.
【详解】（1）由可得，故，显然，故.
又，故.
由三角形面积公式可得，故.
由余弦定理可得，即，故.
（2）由（1），故，故，.
故
.
因为，故，故，.
故的取值范围为.
35．(1)；
(2)
【分析】（1）由余弦定理即可求；
（2）由余弦定理得，，结合三角形面积公式即可求.
【详解】（1）由余弦定理得，，，故；
（2）由余弦定理得，，
，
则当时，S的最大值为
36．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，利用辅助角公式求解即可；
（2）由点G是的重心，求出边，然后由三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）因为，由正弦定理得：
，
所以.
所以，
因为，所以，所以，
即，又，所以，
所以，所以.
（2）因为点G是的重心，所以，
所以，
即，解得：或（舍）.
则.
37．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角得到，结合为边中点得到，通过向量平方转化求解即可；
（2）根据等面积法直接代入计算即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
因为，
所以，因为，所以，
所以，因为，所以.
因为为边中点，所以，
则，
又因为，所以，
即长为
（2）因为为角的角平分线，所以，
所以，
所以，则
38．(1)；
(2)1.
【分析】(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系化简已知等式，可得，结合即可求解；
(2)根据三角形的面积公式可得，利用余弦定理和基本不等式求出ac的最大值，即可求解.
【详解】（1），由正弦定理，
得，
由，
得，又，
所以，有，即，
又，所以；
（2）由，得，
由余弦定理及，
得，
当且仅当时取到等号.
所以，故，
即的最大值为1.
39．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，进而结合正弦定理得，，再结合求解即可；
（2）结合（1）得，进而根据面积关系得，最后结合基本不等式与余弦定理得，进而得答案.
【详解】（1）解：是锐角三角形，.
在中，，由正弦定理得，
.
，
（2）解：由（1）知，.
由题意得.
由余弦定理得，，
当且仅当时“”成立.
所以的最小值为.