2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）专题3-3解三角形压轴综合小题-1

这是一份2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）专题3-3解三角形压轴综合小题-1，共21页。
目录
题型01 边角互化求角
题型02 判断三角型形状
题型03 三角形几解判断
题型04 正余弦应用：求面积
题型05 正余弦应用：求长度
题型06正余弦应用：比值型求值
题型07 最值型：角与对边互化面积型
题型08 最值型：周长边长范围
题型09 最值型：比值范围
题型10 最值型：余弦定理齐次式
题型11 最值型：正切 PAGEREF
题型12 三角形角平分线型
题型13 三角形中线型
题型14 三角形重心型
题型15 三角形外接圆
高考练场

题型01 边角互化求角
【解题攻略】
【典例1-1】
（2022下·黑龙江哈尔滨·高三校联考）
1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（ ）
A．B．C．D．或
【典例1-2】
（2021下·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）
2．在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，若，则角等于（ ）
A．B．C．D．或
【变式1-1】
（2023上·河南焦作·高三石家庄市第九中学校考）
3．在中，的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】
（2023·湖南·校联考模拟预测）
4．在中，，，且的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】
（2023上·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考阶段练习）
5．在中，分别为角的对边，已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
题型02 判断三角型形状
【解题攻略】
【典例1-1】
6．在中，是三角形的三条边，若方程有两个相等的实数根，则是（ ）
A．锐角三角形；B．直角三角形；C．钝角三角形；D．以上都有可能．
【典例1-2】
7．在中，已知，则是（ ）
A．直角三角形；B．锐角三角形；C．钝角三角形；D．等边三角形．
【变式1-1】
8．在中，，则三角形的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．正三角形D．等腰三角形
【变式1-2】
9．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，那么是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
【变式1-3】
10．在中，角的对边分别为，若，则一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
题型03 三角形几解判断
【解题攻略】
【典例1-1】
11．在中，，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有两解B．有一解C．有无数个解D．无解
【典例1-2】
12．在中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，则此三角形解的情况是（ ）
A．无解B．有一解C．有两解D．有无数解
【变式1-1】
13．在ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（ ）
A．一解B．两解C．一解或两解D．无解
【变式1-2】
14．在中，已知，，，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定
【变式1-3】
15．在中，已知，，，这个三角形解的情况是
A．一解B．两解C．无解D．不确定
题型04 正余弦应用：求面积
【解题攻略】
【典例1-1】
16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】
17．已知的内角所对的边分别为，则的面积为（ ）
A．B．C．27D．36
【变式1-1】
（2022春·河南许昌·高三统考期末）
18．如图，在平面四边形ABCD中，，∠ADC＝45°，∠ACD＝105°，∠B＝60°，AB＋BC＝4，则三角形ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】
（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考）
19．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式.设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，“三斜求积”公式表示为.在△ABC中，若，，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为 .
【变式1-3】
（2019·陕西宝鸡·统考二模）
20．已知三角形的内角、、所对的边分别为、、，若，，则角最大时，三角形的面积等于 ．
题型05 正余弦应用：求长度
【解题攻略】
【典例1-1】
（2023下·江西萍乡·高三统考）
21．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，，，则 ．
【典例1-2】
（2023下·江苏盐城·高三校联考）
22．中，，在上，，，则 ．
【变式1-1】
（2023下·广西钦州·高三统考）
23．在中，角、、所对的边分别为、、，且，则 .若，，则 .
【变式1-2】
（2022下·高三校考单元测试）
24．在中，、、所对的边分别为、、，又..，则 .
【变式1-3】
（2023上·山东日照·高三统考开学考试）
25．在中，，为中点，，，则边的长为 .
题型06正余弦应用：比值型求值
【解题攻略】
【典例1-1】
（2022上·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）
26．在中，斜边为，点在边上，若，，则 .
【典例1-2】
（2023下·福建泉州·高三校联考阶段练习）
27．记的内角的对边分别为，，若的面积为3，则当的周长取到最小值时， ．
【变式1-1】
（2022上·江苏南通·高三统考）
28．在中(角A为最大内角，a，b，c为、、所对的边)和中，若，，，则 .
【变式1-2】
（2020·四川成都·高三双流中学校考阶段练习）
29．在中，，，则 .
【变式1-3】
30．已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：（1）从题目给出的条件，边角关系来选择；
（2）从式子结构来选择．
边角互化的方法
（1）边化角：利用正弦定理（为外接圆半径）得，，；
（2）角化边：
①利用正弦定理：，，
②利用余弦定理：
辅助角公式
判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点①sinA=sinB⇒A=B⇒△ABC为等腰三角形
②sinA=csB⇒或⇒△ABC直角三角形或钝角三角形
③sin2A=sin2B⇒A=B或⇒△ABC为等腰三角形或钝角三角形
④cs2A=cs2B⇒A=B⇒△ABC为等腰三角形
⑤⇒⇒△ABC为直角三角形
⑥⇒
或⇒ ⇒△ABC为钝角三角形
或⇒
⑦⇒
且⇒ ⇒△ABC为锐角三角形
且⇒
判断三角形解的个数有2种：画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数.
①若无交点，则无解；
②若有一个交点，则有一个解；
③若有两个交点，则有两个解；
④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解.
公式法：运用正弦定理进行求解.
a＝bsinA，△＝0，则一个解；
a＞bsinA，△＞0，则两个解；
③a＜bsinA，△＜0，则无解.
三角形面积 ：①
②S△ABC＝（a＋b＋c）·r（r是切圆的半径）
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；
第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；
第三步：求结果.
最值范围：分式比值型化边为角型
1.通过正余弦定理，把边转化为角.
2.利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式
3.对单变量（单角）求最值.
参考答案：
1．B
【分析】利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，
又因为，所以．
故选：B．
2．A
【详解】由正弦定理和可得.
因为所以，所以，
因为，所以为.
故选：A
3．B
【分析】由正弦定理和正弦展开式再结合边化角计算得出.
【详解】由题意可得，
所以，
由正弦定理可得，即，
因为A为三角形内角，，
所以可得，即，
又，
所以．
故选：B．
4．D
【分析】先利用正弦定理角化边可得，再由三角形面积公式可得，最后根据余弦定理求解即可.
【详解】设中角所对的边分别为，
因为，所以由正弦定理可得，
又解得，
所以由余弦定理可得，
因为，所以，
故选：D
5．A
【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到，再根据两角和的正弦公式，即可求解.
【详解】由且，可得，
根据正弦定理得，
即，
因为，可得，所以.
故选：A.
6．B
【分析】方程有两个相等的实数根，则有，再利用正弦定理边角互化的应用可得，从而可得三角形的形状.
【详解】由题可知, 方程有两个相等的实数根，
，
，再由正弦定理可得，
是直角三角形.
故选：B.
7．A
【分析】由两角和的正弦公式化简已知式后确定角大小，判断三角形形状．
【详解】解：由已知，所以，
因为，所以，即三角形为直角三角形．
故选：A．
8．A
【分析】利用余弦定理化简题给条件即可得到，进而得到的形状为直角三角形.
【详解】中，，
则，整理得，则，
则的形状为直角三角形，
故选：A.
9．B
【分析】已知等式左边利用平方差公式即完全平方公式化简，整理后利用勾股定理的逆定理判断即可得到结果.
【详解】在中，，
，即，
则为直角三角形，
故选：B.
10．C
【分析】利用余弦定理求解.
【详解】解：因为，
所以,
则，
所以一定是钝角三角形，
故选：C
11．D
【分析】作出示意图，先确定边a和角B，然后算出C到AB的距离即可解得.
【详解】如图，
则，而，∴这样的三角形无解.
故选:D.
12．C
【分析】由正弦定理求得的值，并结合大边对大角进行判定角的解的个数，即得三角形的解的个数.
【详解】由正弦定理可得，,
，
，由于为锐角，角可以为锐角，也可以为钝角,即三角形的解有2个.
故选：C.
13．B
【分析】由正弦定理得，即得解.
【详解】由正弦定理得,
所以,所以可以是一个锐角，可以是一个钝角，
所以此三角形有两解.
故选：B
14．B
【分析】利用余弦定理得到关于的方程解方程即可做出判断.
【详解】∵在中，，，，
∴由余弦定理得，
即，解得
，则此三角形有两个解.
故选：B.
15．C
【分析】根据正弦定理：和三角形内角和定理，即可求得答案.
【详解】，，
根据正弦定理：
由，可得
故
违背了三角形内角和定理，故此三角形无解.
故选：C.
【点睛】本题考查根据正弦定理判断三角形解的情况问题，解题关键是掌握在三角形中“大边对大角 ”，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
16．A
【分析】根据题意和正弦定理可得，进而，利用诱导公式可得，结合三角形的面积公式计算即可求解.
【详解】，由正弦定理，
得，又，所以，
所以，则，
所以，
所以的面积为.
故选：A.
17．C
【分析】根据余弦定理求出，再根据求出，再根据面积公式求解.
【详解】由余弦定理得：
即即，即
所以，又因为，所以
所以的面积为
故选：C
18．A
【分析】在中，由正弦定理求出AC长，在中，由余弦定理求AB，BC，
再利用三角形的面积公式求三角形ABC面积.
【详解】在中，，
由正弦定理有： ，解得AC=2，
在中，设AB=x，则BC=4-x，
由余弦定理有：，
即 ，
解得：x=2，所以AB=BC=2，
由三角形的面积公式有：
=.故B，C，D错误.
故选：A.
19．
【分析】利用正弦定理推出，从而求出，最后利用面积公式计算即可.
【详解】，及正弦定理可得，
即，舍去，
因为，
所以，
从而的面积为.
故答案为：.
20．
【分析】由题意得，根据余弦定理得到，然后利用换元法和二次函数的最值的求法得到，并求出此时，进而可得三角形的面积．
【详解】∵，
∴．
由余弦定理的推论得，
设，
则，
当且仅当，即时等号成立，
∴当角最大时，，
∴，
∴，
即角最大时，三角形的面积等于．
故答案为．
【点睛】解答本题的关键是由余弦定理得到的表达式，然后根据二次函数求最值的方法得到，由于题中涉及到运算量较大，所以在解题中注意换元法的运用，通过减少参数的方法达到求解的目的．
21．2
【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系可得，然后结合正弦定理可求得的外接圆半径，即可得到结果.
【详解】在中，，，
所以，，且，
所以，
设的外接圆半径为，则，
，且，
解得，因为
，
所以.
故答案为：.
22．
【分析】由结合三角形面积公式化简可得出的值.
【详解】如下图所示：
在中，，在上，，，则，
由，即，
即，等式两边同时除以可得，
所以，.
故答案为：.
23．
【分析】设的外接圆半径为，由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值；利用二倍角的余弦公式求出的值，利用余弦定理可求得的值.
【详解】设的外接圆半径为，则
，
由二倍角的余弦公式可得，
由余弦定理可得，故.
故答案为：；.
24．##
【分析】根据正弦定理或者余弦定理求解即可；
【详解】方法一：
由正弦定理得：，
，
∴或，
又∵，∴，
∴，，
∴.
故答案为：.
方法二；
，
解得：
解得：或者（舍去），
故答案为：.
25．
【分析】设，，由、，利用正余弦定理、倍角正弦公式得、求出所设参数，结合三角形性质确定的长度.
【详解】设，，

在和中，，，
又，得，
在中，，
由，有，
所以，整理得：，①
又，即，整理得：，②
联立①②得，，即，解得或，
三角形ADC中的三边关系知：，故，所以.
故答案为：
26．
【分析】由，结合同角关系求出，，结合三角形面积公式证明，，再根据余弦定理列关系式求即可.
【详解】因为，所以，又，
，所以，，
的面积，
的面积，所以，
因为，所以，故，
所以，故，所以
由余弦定理可得，又，
所以，
所以，
故答案为：.
27．
【分析】根据给定条件，结合三角形面积定理、余弦定理求出周长的函数表达式，再借助函数性质、均值不等式计算作答.
【详解】由题意得，因为，则，
由余弦定理，所以即，即，则，
而函数在上单调递增，即当a最小时，的周长最小，
显然，当且仅当时取“=”，此时，
所以当的周长取到最小值时，．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：求的周长取到最小值时先将周长表达为变量的函数，根据函数的单调性确定当且仅当取最小值时周长最小，再用基本不等式求取最小值时的取值.
28．
【分析】根据，可知B和互余，C和互余，于是根据三角形内角和为180°，可得到，再根据可求出，从而求出和A.根据余弦定理和三角形面积公式可将要求的式子化简为，根据A的大小即可求解．
【详解】∵A是最大内角，∴均为锐角，
∵，，∴，，
∴，
∴，即，
∵是三角形内角，∴，∴，∴．
在△ABC中，由余弦定理得，，故，
∴．
故答案为：．
29．
【解析】利用降幂公式与辅助角公式化简,可得,再根据可得,化简可得.再化简,代入计算即可.
【详解】由有,又,故.故.
又,故,整理得
,因为,故解得.
故.
代入可得.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解三角形以及三角恒等变换的运用,需要根据题意先求得,再换元求得,进而根据和差角公式求解,属于难题.
30．B
【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：，通过余弦定理可将等式化简整理为，通过三角函数图像可知，同时通过基本不等式可知，即得，通过取等条件可知，，将其代入问题中即可求解答案.
【详解】已知
由正弦定理可知：，
，
整理得：，
两边同除得：，
根据余弦定理得：，即，
，，，当且仅当，即时等号成立.
又，当且仅当时，等号成立.
综上所述：且，
故得：，此时且，
，.
故选：B