湖南省新高考十八校联盟2024届高三下学期3月月考数学试题（附解析版）

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注意专项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如简改动，用橡皮擦干静后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设复数，则复数（其中表示的共轭复数）表示的点在（ ）上
A. x轴B. y轴C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合复数的运算公式，化解复数，再结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】复数，
所以对应的点在直线上.
故选：C
2. 已知，则“”是“”的 （ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【详解】若则不存在，
若，可得，故选D
3. 已知圆锥的底面圆半径为，侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆锥侧面展开图得圆锥母线，高，再由体积公式计算．
【详解】设圆锥的底面半径为r，母线为l，
由于圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则，
所以，
所以圆锥的高，
圆锥的体积为.
故选：C
4. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据渐近线的倾斜角求出渐近线的斜率，进而求得，再根据点到直线的距离公式可求出结果.
【详解】因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为，，
所以该渐近线的方程为，所以，
解得或（舍去），所以，
此双曲线的右焦点坐标为，到一条渐近线的距离为.
故选：A
5. 一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩不相邻的站法种数是（ ）
A. 6B. 12C. 18D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】根据插空法即可求解.
【详解】将老人位置固定，夫妻两人在老人左右，此时有种站法，
将三个孩子插入两两大人之间空隙中，有种站法，
故总的站法有.
故选：D
6. 已知递增的等比数列，，公比为q，且，，成等差数列，则q的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，列出方程求解即得.
【详解】依题意，，即，又数列递增，
而，则，且，整理得，解得，
所以q的值为.
故选：A
7. 已知平面内的三个单位向量、、，且，，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】求出、的夹角、、的夹角，数形结合可得出、的夹角，利用平面向量数量积的定义可求得的值.
【详解】如图，，，（或），

由得，又，所以，
由得，又，所以，
（或，又，所以）
所以、夹角为或，
当、夹角为时，则；
当、夹角为时，则.
所以或.
故选：D.
8. 设方程的两根为，，则（ ）
A. ，B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先结合函数的图象和零点存在性定理确定的范围，判断AD；再去绝对值后，即可判断BC.
【详解】由题意得，，由得，
如图画出函数和的图象，两个函数有2个交点，
令，则，，，
由，得，，故A错；
由，得，
由，，得，
即，所以，故C对，B错，
由，，所以，D错误.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程的根的问题，转化为函数图象的交点问题，并结合零点存在性定理，判断根的范围，这是这个题的关键.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若事件A和事件B互斥，
B. 数据4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位数为8
C. 若随机变量服从，，则
D. 已知y关于x的回归直线方程为，则样本点的残差为
【答案】BCD
【解析】
【分析】结合互斥事件易判断A错；将8个数排序，结合百分位数概念可判断B项；结合二项分布图象的对称特征得；结合残差概念可直接判断D项.
【详解】对于A，若事件A和事件B互斥，，未必有，A错；
对于B，对数据从小到大重新排序，即：2，4，5，6，7，8，10，12，共8个数字，
由，得这组数据的第70百分位数为第6个数8，B正确；
对于C，因为变量服从，且，
则，故C正确；
对于D，由，得样本点的残差为，故D正确.
故选：BCD.
10. 设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 若，则
D. 若函数在上单调递减且，则满足的x的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断AB，根据奇偶性的性质即可判断C，根据函数的单调性即可判断D.
【详解】令，则，定义域为,关于原点对称，因为是奇函数，是偶函数，
所以，，所以，所以是奇函数，A正确；
同样，令，定义域为,关于原点对称，则，所以是奇函数，B错误；
令代入，则，
又，，所以，C正确；
因为为奇函数，又，所以，
由于上单调递减，要使成立，则，所以，D正确.
故选：ACD
11. 已知体积为2的四棱锥，底面是菱形，，，则下列说法正确的是（ ）

A. 若平面，则为
B. 过点P作平面，若，则
C. 与底面所成角的最小值为
D. 若点P仅在平面的一侧，且，则P点轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用体积公式即可求解A，根据空间中垂直关系的转化即可求解B,根据体积公式以及线面角的性质即可结合三角函数的性质求解C，根据圆的性质即可求解D.
【详解】设到底面的距离为，
，
则当平面时，，则，即为或，A错误；
如图1，若平面，平面，则，又，
平面，
则平面，平面,故，又，
平面,
所以平面，平面,，B正确；
设与底面所成角为，又，
则，因为，则，
由于，所以
则与底面所成角的最小值为，C正确；

如图2，当，根据，得，即P点到底面的距离为，过A点作底面的垂线为l，过点P作交l于点O，则，点P的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，轨迹长度为，D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知关于x的不等式的解集为M，且，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系即可求解.
【详解】由且，得所以.
故答案为：
13. 已知抛物线的弦的中点的横坐标为2，则弦的最大值为______.
【答案】5
【解析】
【分析】可采用常规法，分直线斜率不存在和存在两种情况讨论，直线斜率存在时，由韦达定理和中点公式可求关系式，结合弦长公式和基本不等式即可求解；也可设抛物线的焦点为F，则，结合焦半径公式转化即可求解.
【详解】方法一：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入得或，所以；
当直线的斜率存在时，显然不为零，设直线的方程为，
代入消y并整理得，
设，，判别式时有，
因为弦的中点的横坐标为2，所以，所以，
，
所以，
当且仅当即时取到等号，
故弦的最大值为5.
方法二：设抛物线的焦点为F，则，
又，
当弦的中点的横坐标为2时，有，所以，
当直线过焦点F时取到等号，故弦的最大值为5.
故答案为：5
14 已知，，则______，______.
【答案】 ①. ##0.5 ②.
【解析】
【分析】（1）利用余弦的二倍角公式以及两角和与差的余弦公式求解；
（2）利用正弦的二倍角公式以及两角和与差的正弦公式求解；
【详解】由得，则，
因为，
所以，
令则，
所以，
则，
所以，
因为，
所以，
令则，
所以，
又因为，
.
故答案为: ;.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在如图所示的中，有.

（1）求的大小；
（2）直线绕点C顺时针旋转与的延长线交于点D，若为锐角三角形，，求长度的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一：移项平方再结合同角三角函数基本关系即可得，则得到大小；方法二：利用二倍角的正弦、余弦公式得，则得到角大小；
（2）利用余弦定理得，再利用正弦定理得，再结合范围和正切函数的性质即可得到范围.
【小问1详解】
方法一：由得，两边同时平方可得：
，由，
整理得，解得或，
又，则.
方法二：，则，
得或，又，则，.
【小问2详解】
由（1）得，则，由题可知，则，
设，则，
由余弦定理有，所以，
由正弦定理有，
所以，
因为为锐角三角形，则得，
所以，则，
所以，
即的取值范围为.

16. 已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，椭圆W上的点到F的最大距离是短半轴长的倍，且椭圆W过点.记坐标原点为O，圆E过O、A两点且与直线相交于两个不同的点P，Q（P，Q在第一象限，且P在Q的上方），，直线与椭圆W相交于另一个点B.
（1）求椭圆W的方程；
（2）求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的几何性质，结合点在椭圆上即可求解，
（2）根据切线的性质以及圆的性质，可得，即可求解斜率，进而可得直线方程，即可联立直线与椭圆方程求解B点坐标，根据弦长公式以及点到直线的距离公式即可求解面积.
【小问1详解】
依题有，又，所以，
所以椭圆W的方程为，
又点在椭圆W上，所以，
解得，
所以椭圆W的方程为.
【小问2详解】
设，，，，，
因为，所以，①
圆E过点O与A且与直线相交于两个不同的点P，Q，则圆心E的坐标为，
又，所以，
解得，②
（另法一：设直线与x轴交于点G，则有，
又，，所以，②
另法二：由知，，，②）
由①②解得，，
所以，，
所以直线的方程为，
与椭圆方程联立消去y得，
解得B点的横坐标，
所以，
又O到直线的距离，
所以的面积.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.
17. 如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，.

（1）证明：平面；
（2）若点Q是线段的中点，M是直线上的一点，N是直线上的一点，是否存在点M，N使得?请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，根据线面垂直的判定即可求解
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线的距离，即可求解.
【小问1详解】
如图，取的中点O，因为，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，又，平面，平面，，
所以平面.
【小问2详解】
因为，O为的中点，，所以，
过点O作交于点E，则由平面,平面,可得，
则以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设与，都重直的向量为，
则得
令，则，
设直线与直线的距离为d，
则，
则不存在点M和N使得.
18. 已知函数的导数为.
（1）若恒成立，求实数k的取值范围；
（2）函数的图象上是否存在三个不同的点，，（其中且成等比数列），使直线的斜率等于?请说明理由.
【答案】（1）
（2）不存，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意参变分离可得，，进而可得，即可求解；
（2）根据题意，可设公比为，则，，结合题意可得，，从而有，化简得，设函数，讨论其零点个数求解.
【小问1详解】
恒成立即恒成立，
又，所以恒成立，
今，所以，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，取到极小值也是最小值，且，
所以，
故实数的取值范围为.
【小问2详解】
成等比数列且，
设公比为，则，，
求导得，所以，
直线的斜率为，
若存在不同的三点使直线的斜率等于，
则有，
整理成.
令，则，
所以在时单调递增，而，
故方程在时无实数解，
所以不存在不同的三点,使直线的斜率等于.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据斜率关系式得到，再利用导函数得到其单调性，则得到结论.
19. 2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为.
（1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；
（2）若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵；
（3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.
参考公式：时，，.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据全概率公式、条件概率计算公式求得正确答案.
（2）根据独立重复事件概率计算公式求得.
（3）先求得的表达式，根据根据极限的知识证得结论成立.
【小问1详解】
设“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为个”，，1，2，
“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为个”，
则，，
，，，
则，
故.
【小问2详解】
由题知，1，2，
由（1）知，
同理可得，
则，
故的信息熵.
【小问3详解】
由题知，其中，2，3，…，
则，
又，
则，①
，②
得：
，
由题知，当无限增大时，趋近于零，趋近于零，则趋近于.
所以当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.
【点睛】本题中有很多新定义名词，如“逻辑门”、“信息熵”，“上旋粒子”，“下旋粒子”等等.解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.