2023-2024学年湖北省武汉市青山区武钢三中高三（下）开学数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市青山区武钢三中高三（下）开学数学试卷(含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.数据68，70，80，88，89，90，96，98的第15百分位数为( )
A. 69B. 70C. 75D. 96
2.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面向上”，事件B=“第二枚反面向上”，则事件A与B的关系是( )
A. A⊆BB. A=BC. 相互独立D. 互斥
3.已知数列{an}的通项公式为an=n2−λn(λ∈R)，若{an}为单调递增数列，则实数λ的取值范围是( )
A. A(−∞,3)B. (−∞,2)C. (−∞,1)D. (−∞,0)
4.在△ABC中，BE=23BC，AF=23AE，则BF=( )
A. −49AB+79ACB. 49AB−79ACC. −79AB+49ACD. 79AB−49AC
5.已知sin(α−π3)+ 3csα=13，则sin(2α+π6)=( )
A. 23B. 29C. −19D. −79
6.我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论：若随机变量Y～B(n,p)，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似地替代，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．法国数学家棣莫弗(1667−1754)在1733年证明了p=12时这个结论是成立的，法国数学家、物理学家拉普拉斯(1749−1827)在1812年证明了这个结论对任意的实数p∈(0,1]都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理．现抛掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为( )
(附：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)
A. 0.97725B. 0.84135C. 0.65865D. 0.02275
7.已知实数x1，x2，y1，y2满足x12+y12=2，x22+y22=2，x1x2+y1y2=0，记w=|x1+y1−2 2|+|x2+y2−2 2|，则w的最大值是( )
A. 3B. 3 2C. 6D. 6 2
8.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，满足f(f(x)−ex−2lnx+2)=e−1，则函数f(x)的零点所在区间为( )
A. (0,1e2)B. (1e2,1e)C. (1e,1)D. (1,e)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设X是全集，A⊆X，定义fAs=1,s∈A0,s∉A，对X的真子集A和B，下列说法正确的有( )
A. 若A⊆B，则fAs≤fBsB. 若A∩B=⌀，则fA∪Bs=fAs+fBs
C. 若A∩B≠⌀，则fA∪Bsb>0)的右焦点为F，过点F作倾斜角为π4的直线交椭圆C于A、B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P，若|PFAB|=14，则椭圆C的离心率e= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=sinωxcsωx− 3cs2ωx+ 32(ω>0)图象的两条相邻对称轴为π2．
(1)求函数y=f(x)的对称轴方程；
(2)若函数y=f(x)−13在(0,π)上的零点为x1，x2，求cs(x1−x2)的值．
16.(本小题15分)
四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．
(1)求异面直线DE与PA所成角的余弦值；
(2)证明：OE/​/平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．
17.(本小题15分)
英国数学家贝叶斯(1701−1763)在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪⋯∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，⋯，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)P(B)=P(Ai)P(B|Ai)k=1nP(Ak)P(B|Ak)，i=1，2，⋯，n.现有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，每加工一个零件耗时35分钟，第2，3台加工的次品率均为5%，每加工一个零件分别耗时32分钟和30分钟，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时X(分钟)的分布列和数学期望．
18.(本小题17分)
已知抛物线E：y=x2与圆M：x2+(y−4)2=r2(r>0)相交于A，B，C，D四个点．
(1)当r=2时，求四边形ABCD的面积；
(2)四边形ABCD的对角线交点是否可能为M，若可能，求出此时r的值，若不可能，请说明理由；
(3)当四边形ABCD的面积最大时，求圆M的半径r的值．
19.(本小题17分)
在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C：y=f(x)上的曲线段AB，其弧长为△s，当动点从A沿曲线段AB运动到B点时，A点的切线lA也随着转动到B点的切线lB，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于lB的倾斜角与lA的倾斜角之差).显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K−=|ΔθΔs|为曲线段AB的平均曲率；显然当B越接近A，即△s越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义K=Δs→0lim|ΔθΔs|=|y″|(1+y′2)32(若极限存在)为曲线C在点A处的曲率.(其中y′，y″分别表示y=f(x)在点A处的一阶、二阶导数)
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆x24+y2=1在( 3,12)处的曲率；
(3)定义φ(y)=2 2|y″|(1+y′)3为曲线y=f(x)的“柯西曲率”.已知在曲线f(x)=xlnx−2x上存在两点P(x1,f(x1))和Q(x2,f(x2))，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求3x1+3x2的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为8×15%=1.2，
根据百分位数的定义可知，该数学成绩的15%分位数为第2个数据70．
故选：B．
根据百分位数的定义得到答案．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查互斥事件，相互独立事件的定义，属于基础题．
根据已知条件，结合互斥事件，相互独立事件的定义，即可依次求解．
【解答】
解：依题意，记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上为 1 ，反面向上为 0 ，
则抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是： 1,1,1,0,0,1,0,0 ，
事件A包含的结果有： 1,1,1,0 ，事件B包含的结果有： 1,0,0,0 ，
而事件A，事件B中有不同的结果，则事件A与事件B不互相包含，也不相等，故AB错误；
显然事件A，事件B都含有“ 1,0 ”这一结果，即事件A，事件B能同时发生，
因此，事件A与事件B不互斥，故D错误；
因为 P(A)=24=12,P(B)=24=12,P(AB)=14 ，则 P(AB)=P(A)P(B) ，
所以A与B相互独立，故C正确．
故选：C．
3.【答案】A
【解析】解：∵数列{an}的通项公式为an=n2−λn(λ∈R)
数列{an}是递增数列，
∴an+1−an
=(n+1)2−λ(n+1)−(n2−λn)
=2n+1−λ>0恒成立
∵2n+1−λ的最小值是2×1+1−λ=3−λ>0
∴λ0恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．
本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意单调性的灵活运用．
4.【答案】C
【解析】解：△ABC中，BE=23BC，AF=23AE，如图所示，
BF=BA+AF=−AB+23AE=−AB+23(AB+BE)=−AB+23(AB+23BC)
=−AB+23[AB+23(AC−AB)]=−79AB+49AC．
故选：C．
选用基底AB,AC，利用向量的线性运算表示向量BF．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为sin(α−π3)+ 3csα=13，
所以12sinα− 32csα+ 3csα=12sinα+ 32csα=cs(α−π6)=13，
则sin(2α+π6)=cs2(α−π6)=2cs2(α−π6)−1=2×(13)2−1=−79．
故选：D．
利用两角和与差的三角函数公式化简已知等式可得cs(α−π6)的值，进而利用诱导公式，二倍角的余弦公式即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数公式，诱导公式，二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查正态分布曲线的特点及正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于一般题．
根据X服从二项分布求得期望与方差，由题意可知X服从正态分布，再根据正态分布曲线的对称性求解即可．
【解答】
解：抛掷一枚质地均匀的硬币900次，设硬币正面向上次数为X，
则X～B(900,12),E(X)=np=900×12=450,D(X)=np(1−p)=900×12×(1−12)=225，
由题意，X～N(μ,σ2)，且μ=E(X)=450，σ2=D(X)=225=152，
因为P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，即P(450−2×15≤X≤450+2×15)≈0.9545，
所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为P(X≥420)=P(X≥450−2×15)≈0.95452+0.5=0.97725．
故选：A．
7.【答案】D
【解析】解：由题意x12+y12=2，x22+y22=2，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则M，N在以原点O(0,0)为圆心， 2为半径的圆上，
由x1x2+y1y2=0得OM⊥ON．
设点M，N到直线x+y−2 2=0的距离之和为z，
则z=|x1+y1−2 2| 2+|x2+y2−2 2| 2，转化为求 2z的最大值．
设点P为点M与点N的中点，则|OP|=1．
故P点轨迹方程为圆x2+y2=1．
设P点到直线x+y−2 2=0的距离为d，
则z=2d，圆x2+y2=1上点到直线x+y−2 2=0距离的最大值dmax=3．
所以w的最大值是6 2．
故选：D．
由已知结合向量数量积的性质的坐标表示可得OM⊥ON.然后结合点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系可求．
本题主要考查圆的轨迹方程，直线与圆的位置关系，属难题．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，对任意的x∈(0,+∞)，都有f(f(x)−ex−2lnx+2)=e−1，
又由f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，
则f(x)−ex−2lnx+2为定值，
设t=f(x)−ex−2lnx+2，
则f(x)=ex+2lnx+t−2，
又由f(t)=e−1，
即et+2lnt+t=e+1，
解得t=1，
则f(x)=−1+2lnx+ex，
f′(x)=2x+ex>0，可得f(x)在x>0递增，
f(1e)=e1e−2+1−10，
则f(x)在(1e,1)有零点．
故选：C．
由题意可设t=f(x)−ex−2lnx+2，则f(x)=ex+2lnx+t+2，又由f(t)=e−1，即et+2lnt+t=e+1，
解得t=1，可得f(x)的解析式，运用函数零点存在定理即可得到所求结论．
本题考查函数的解析式的求法，注意运用换元法，考查函数零点存在定理的运用，考查运算能力，属于难题．
9.【答案】ABD
【解析】解：A项，A⊆B时，若s∉B，则fAs=fBs=0，若s∈A，则fAs=fBs=1，
若s∉A且s∈B，则fAs=0,fBs=1，所以fAs≤fBs，A正确；
B项，A∩B=⌀，若s∉A∪B，则s∉A，s∉B，fA∪Bs=0，fAs=0，fBs=0，则fA∪Bs=fAs+fBs，
若s∈A∪B，则s∈A或s∈B且只有一个成立，fA∪Bs=1，fAs=1，fBs=0或fAs=0，fBs=1，
fA∪Bs=fAs+fBs，因此B正确；
C项，A∩B≠⌀，当A∩∁XB≠⌀时，s∈A∩∁XB，则fAs=1,fsB=0,fA∪Bs=1，
此时fA∪Bs=fAs+fBs，C错误；
D.A∩B≠⌀，当s∈A∩B时，显然s∈A，s∈B，此时fA∩Bs=fAs=fBs=1，fA∩Bs≤fAs+fBs成立，
当s∉A∩|B时，fA∩Bs=0，fAs与fBs的值要么等于0要么等于1，fAs+fBs=1或0，
fAs≤fAs+fBs成立，D正确．
故选：ABD．
根据新定义计算然后判断各选项．
本题考查考查函数新定义，集合的定义，分段函数的性质，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A：∵半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切，
∴切线长定理易得l=r1+r2，A正确．
对于B：由勾股定理知(2R)2=(r1+r2)2−(r1−r2)2=4r1r2，解得R= r1r2，B正确．
对于C：S1=4πR2，S2=π(r12+r22+(r1+r2)l)=2π(r12+r22+r1r2)，
S1S2=2R2r12+r22+r1r2，
．V1V2=43πR313π(r12+r22+r1r2)h=43πR32Rπ3(r12+r22+r1r2)=2R2r12+r22+r1r2.所以S1S2=V1V2,C正确．
对于D：S1S2=2r1r2r12+r22+r1r2=2r1r2+r2r1+1≤23，
当且仅当r1=r2时等号成立，这与圆台的定义矛盾，D错误．
故选：ABC．
根据圆台的性质，结合每个选项的条件计算求解即可．
本题考查空间几何体的性质，考查运算求解能力，属中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由g(x)是偶函数，则g(−x)=g(x)，两边求导得−g′(−x)=g′(x)，
所以g′(x)是奇函数，故g′(0)=0．
对于A，由f(x)+g′(x)−8=0，
得f(x−2)+g′(x−2)−8=0，
所以f(x−2)=8−g′(x−2)，
代入f(x−2)−g′(6−x)−8=0，得8−g′(x−2)−g′(6−x)−8=0，
又因为g′(x)是奇函数，
所以g′(x−2)=−g′(6−x)=g′(x−6)，
g′(x+6−2)=g′(x+6−6)，即g′(x+4)=g′(x)，
所以g′(x)是周期函数，且周期为4，g′(0)=g′(4)=0，故A正确；
对选项B，令x=1得，f(1)+g′(1)−8=0，
令x=5得，f(3)−g′(1)−8=0，
故f(1)+f(3)=16，故B正确；
对于C：令x=2023，
得f(2023)+g′(2023)−8=0，所以f(2023)+g′(4×505+3)−8=0，
即f(2023)+g′(3)−8=0，
若f(2023)=8，则g′(3)=0，g′(3)=g′(−1+4)=g′(−1)=0，
但g′(−1)不一定为0，故C错误；
对于D：令x=4，得f(4)+g′(4)−8=f(4)+g′(0)−8=0，
故f(4)=8，g′(2)=g′(2−4)=g′(−2)=−g′(2)，所以g′(2)=0，
令x=2，得f(2)+g′(2)−8=0，则f(2)=8，
则f(1)+f(3)=16，由g′(x)是以4为周期，
得f(x)+g′(x)−8=0，
所以n=120f(n)=5[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=5×(8+16+8)=160，故D正确．
故选：ABD．
由g(x)是偶函数得出g′(x)是奇函数，由已知两条件推出g′(x)是以4为周期的函数，然后在已知式中对自变量赋值求解．
本题考查抽象函数及其应用，函数的性质综合应用，属难题．
12.【答案】150
【解析】解：首先集合A中的每个元素与集合B中元素的对应方法都有3种，
所以从集合A到集合B的映射有35=243个，
在上述映射中，A中元素都对应同一个元素的情形，即值域为{0}，{1}，{2}的不满足题意，共有3个，
同理，A中元素对应0，1，2中的2个元素的情形，即值域为{0,1}，{1,2}，{0,2}的不满足题意，各自有25−2=32−2=30个，
所以以集合A为定义域，集合B为值域的函数的个数为243−3−3×30=150种，
故答案为：150．
先求出从集合A到集合B的映射总数，再去除值域为{0}，{1}，{2}或值域为{0,1}，{1,2}，{0,2}的映射个数即可．
本题主要考查了函数的概念，考查了排列组合知识的应用，属于中档题．
13.【答案】 10
【解析】解：设z=x+yi，x，y∈R，
由|z−2|=|z−1−i|，
即|z−2|=|z−(1+i)|，
则Z(x,y)的轨迹为点(2,0)，(1,1)连线的中垂线：y=x−1，
设A(0,2)，O(0,0)，
则|z−2i|+|z|的最小值等价于求|ZA|+|ZO|的最小值，
点O(0,0)关于y=x−1的对称点O′(1,−1)，
所以(|ZA|+|ZO|)min=|AO′|= 12+(−1−2)2= 10．
故答案为： 10．
由已知求出Z(x,y)的轨迹，设A(0,2)，O(0,0)，把|z−2i|+|z|的最小值转化为|ZA|+|ZO|的最小值，求解即可．
本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了两点间的距离公式的应用，属于基础题．
14.【答案】12
【解析】解：由题意可知直线AB的斜率为tanπ4=1，又过点F，
设直线l的方程为：y=x−c，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
线段AB的中点Q(x0,y0)，则x0=x1+x22，y0=x0−c，
联立 y=x−cx2a2+y2b2=1，化为(a2+b2)x2−2a2cx+a2c2−a2b2=0，
∴x1+x2=2a2ca2+b2, x1x2=a2c2−a2b2a2+b2，
∴|AB|= 1+12 ⋅ (x1+x2)2−4x1x2=4ab2a2+b2，x0=a2ca2+b2．
∴y0=x0−c=−b2ca2+b2，
∴AB的垂直平分线为：y+b2ca2+b2=−(x−a2ca2+b2)，
令 y=0，解得 xP=c3a2+b2，∴P(c3a2+b2,0)．
∴|PF|=c−xP=2b2ca2+b2，
∴|PF||AB|=c2a=14，则 ca=12，
∴椭圆C的离心率为12．
故答案为：12．
设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，求得中点Q的坐标，求得AB垂直平分线方程，当y=0时，即可求得P点坐标，代入即可求得|PF|，即可求得 |PF||AB|，即可求得a和c的关系，即可求得椭圆的离心率．
本题考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)函数f(x)=sinωx⋅csωx− 3cs2ωx+ 32
化简可得f(x)=12sin2ωx− 32cs2ωx=sin(2ωx−π3)
由题意可得周期T=π，
∴2ω=2πT=1，
∴ω=1．
∴f(x)=sin(2x−π3)
故函数y=f(x)的对称轴方程为2x−π3=kπ+π2(k∈Z)
即x=12kπ+5π12，k∈Z
(2)由函数y=f(x)−13在(0,π)上的零点为x1，x2，
可知sin(2x1−π3)=sin(2x2−π3)=13>0，
且0s(1)=0，
所以lnt>2(t−1)t+1(t>1))
则h(t)在(1,+∞)上单调递增，又t→1limh(t)=ln2−1，t→+∞limh(t)=0，
所以ln(t1+t2)∈(ln2−1,0)，
所以3x1+3x2=t1+t2∈(2e,1)．
【解析】(1)由题意，利用平均曲率的定义计算即可；
(2)由椭圆方程求出y= 1−x24，计算y′和y″，求出x= 3时y′与y″的值，再求椭圆在点( 3,12)处的曲率；
(3)由f(x)=xlnx−2x，计算f′(x)和f″(x)，求出φ(y)，利用换元法，构造函数，求解即可得出取值范围．
本题考查了函数的导数综合应用问题，也考查了新定义的函数运算问题，以及理解与运算能力，是难题．X
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