四川省成都石室锦城外国语学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试卷

这是一份四川省成都石室锦城外国语学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试卷，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．x2﹣x﹣3＝0D．ax2+bx+c＝0
2．（4分）如右图所示，该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）已知点M（﹣4，﹣1），则下列各点不与该点在同一反比例函数图象上的是（ ）
A．（2，2）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣4，1）D．（﹣2，﹣2）
4．（4分）已知△ABC∽△DEF，AB＝2，DE＝4，则△ABC与△DEF的周长比值是（ ）
A．2B．4C．D．
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．相似图形一定是位似图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．有一组邻角相等的平行四边形是矩形
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若，C（3，2），则△OAB与△OCD的面积的比是（ ）
A．1：2B．1：3C．1：9D．9：1
7．（4分）在边长为3cm的正方形健康码区域内随机掷点，经过大量实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此估计黑色部分的总面积约为（ ）
A．0.6cm2B．1.8cm2C．5.4cm2D．3.6cm2
8．（4分）已知反比例函数y＝，下列结论正确的是（ ）
A．y值随着x值的增大而减小
B．图象关于原点中心对称
C．当x＞1时，0＜y＜1
D．图象可能与坐标轴相交
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是 ．
10．（4分）如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝4，BC＝5，DE＝3，则DF的长为 ．
11．（4分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两个实数根分别为a，b，则ab﹣2a﹣2b的值是 ．
12．（4分）将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，则纸条重叠部分的面积为 ．
13．（4分）Rt△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOB＝90°，∠B＝30°，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，则k的值是 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）解下列方程：
（1）x（x﹣5）＝2x﹣10；
（2）x2+2x﹣4＝0．
15．（8分）如图，楼AB的层数为5层，在楼顶A处观望另一幢楼CD的底部D，视线正好经过小树的顶端E，又从楼AB的底部B处观望楼CD的顶部C，视线也正好经过小树的顶端E，楼CD的层数为9层．已知这两幢楼每层楼的高度均为2.8米，B、F、D位于同一水平直线上，且AB、EF、CD均与BD垂直．求小树的高度EF．
16．（8分）某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．
17．（10分）如图，▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形：
（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝3，求的值．
18．（10分）综合运用
如图，直线y＝2x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点A（2，a），过点A作反比例函数的图象．
（1）求a的值及反比例函数的表达式；
（2）点P为反比例函数图象上的一点，若S△POB＝2S△AOB，求点P的坐标．
（3）在x轴是否存在点Q，使得∠BOA＝∠OAQ，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）已知，b+d+f＝3，那么a+c+e的值是 ．
20．（4分）从1，2，﹣3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作（m，n），那么点（m，n）在函数y＝图象上的概率是 ．
21．（4分）如图在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长是 ．
22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC边BC取点E，使BE＝2CE，连接AE，OB交于点D，已知△AOD的面积3．若反比例函数的图象恰好经过点D，则k＝ ．
23．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是AD上的一点，且AE＝2，F，G是AB，CD上的动点，且BE＝FG，BE⊥FG，连接EF，BG，当EF+FG+BG的值最小时，CG的长为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）某饮水机开始加热时，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数．若在水温为20℃时开始加热，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）在水温下降的过程中，求水温y（℃）关于通电时间x（min）的函数表达式；
（2）若水温从20℃开始加热至100℃，然后下降至20℃，在这一过程中，水温不低于40℃的时间有多长？
25．（10分）综合与探究
如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE，BF⊥AE于点F，连接DF，FG⊥DF交AB于点G．
（1）求证：△ADF∽△BGF．
（2）若E为BC的中点．
①求证：DF＝AD．
②连接CF，若CF＝4，求正方形ABCD的边长．
26．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴正半轴上，连接OB．将△OCB绕点O逆时针旋转，得到△OFG，点C的对应点为点F，点B的对应点为点G，且点G在y轴正半轴上，OF与AB相交于点D，反比例函数y＝的图象经过点D，交BC于点E，点D的坐标是（2，4）．
（1）如图1，k＝ ，点E的坐标为 ；
（2）若P为第三象限反比例函数图象上一点，连接PD，当线段PD被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求点P的横坐标；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”（如图2）．设M是第三象限内的反比例函数图象上一点，N是平面内一点，连接DE，当四边形DENM是“完美筝形”时，直接写出M，N两点的坐标．
参考答案与解析
一、单选题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．（4分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．x2﹣x﹣3＝0D．ax2+bx+c＝0
【解答】解：A． ，不是整式方程，不符合题意；
B． ，不是整式方程，不符合题意；
C．x2﹣x﹣3＝0，符合题意；
D．ax2+bx+c＝0，不一定是一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
2．（4分）如右图所示，该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从左边看，可得选项C的图形．
故选：C．
3．（4分）已知点M（﹣4，﹣1），则下列各点不与该点在同一反比例函数图象上的是（ ）
A．（2，2）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣4，1）D．（﹣2，﹣2）
【解答】解：∵点M（﹣4，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴k＝xy＝4，
A、2×2＝4，不符合题意，
B、（﹣1）×（﹣4）＝4，不符合题意，
C、（﹣4）×1＝﹣4，符合题意，
D、（﹣2）×（﹣2）＝4，不符合题意，
故选：C．
4．（4分）已知△ABC∽△DEF，AB＝2，DE＝4，则△ABC与△DEF的周长比值是（ ）
A．2B．4C．D．
【解答】解：由题意得：△ABC与△DEF的相似比为：，
故周长比为：
故选：D．
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．相似图形一定是位似图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．有一组邻角相等的平行四边形是矩形
【解答】解：A、相似图形不一定是位似图形，故错误，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，不符合题意；
D、有一组邻角相等的平行四边形是矩形，正确，符合题意．
故选：D．
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若，C（3，2），则△OAB与△OCD的面积的比是（ ）
A．1：2B．1：3C．1：9D．9：1
【解答】解：∵，C（3，2），
∴，，
∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB与△OCD的相似比是：，
∴△OAB与△OCD的面积的比是1：9，
故选：C．
7．（4分）在边长为3cm的正方形健康码区域内随机掷点，经过大量实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此估计黑色部分的总面积约为（ ）
A．0.6cm2B．1.8cm2C．5.4cm2D．3.6cm2
【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴估计点落入黑色部分的概率为0.6，
∴估计黑色部分的总面积约为3×3×0.6＝5.4（cm2）．
故选：C．
8．（4分）已知反比例函数y＝，下列结论正确的是（ ）
A．y值随着x值的增大而减小
B．图象关于原点中心对称
C．当x＞1时，0＜y＜1
D．图象可能与坐标轴相交
【解答】解：A、因为反比例函数在二、四象限内，所以在每个象限内y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意；
B、反比例函数是双曲线，所以是中心对称图形，正确，符合题意；
C、当x＞1时，y＜0，原说法错误，不符合题意；
D、x和y均不等于0，故图象不可能与坐标轴相交，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是 100﹣100 ．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分制点，且AC＞BC，AB＝200，
∴AC＝AB＝100﹣100．
故答案为：100﹣100．
10．（4分）如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝4，BC＝5，DE＝3，则DF的长为 ．
【解答】解：∵AD∥BE∥FC，AB＝4，BC＝5，DE＝3，
∴AC＝AB+BC＝9，
∴，即，
∴，
故答案为：．
11．（4分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两个实数根分别为a，b，则ab﹣2a﹣2b的值是 ﹣4 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两个实数根分别为a，b，
∴a+b＝﹣2，ab＝﹣8，
∴ab﹣2a﹣2b＝ab﹣2（a+b）＝﹣8﹣2×（﹣2）＝﹣4．
故答案为：﹣4．
12．（4分）将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，则纸条重叠部分的面积为 24 ．
【解答】解：如图，连接AC，BD，过A作AE⊥BC于E，作AF⊥CD于F，
由纸条的对边平行可得：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABC＝S△ADC，
∴BC•AE＝CD•AF，
∵纸条等宽，则AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD为菱形，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×6×8＝24，
故答案为：24．
13．（4分）Rt△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOB＝90°，∠B＝30°，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，则k的值是 ﹣6 ．
【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°．
∵∠DBO+∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC．
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA．
∴＝＝，
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，
∴＝，
∴＝＝＝，
设A（m，n），则B（﹣n，m），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴mn＝2，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣n•m＝﹣3×2＝﹣6，
故答案为：﹣6．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）解下列方程：
（1）x（x﹣5）＝2x﹣10；
（2）x2+2x﹣4＝0．
【解答】解：（1）x（x﹣5）＝2x﹣10，
x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0，
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣5＝0，
解得：x1＝2，x2＝5；
（2）x2+2x﹣4＝0，
a＝1，b＝2，c＝﹣4，
b2﹣4ac＝4+16＝20＞0，
方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，．
15．（8分）如图，楼AB的层数为5层，在楼顶A处观望另一幢楼CD的底部D，视线正好经过小树的顶端E，又从楼AB的底部B处观望楼CD的顶部C，视线也正好经过小树的顶端E，楼CD的层数为9层．已知这两幢楼每层楼的高度均为2.8米，B、F、D位于同一水平直线上，且AB、EF、CD均与BD垂直．求小树的高度EF．
【解答】解：∵EF∥AB，
∴△DEF∽△DAB，
∴①，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴②，
①+②得，
由题意得AB＝5×2.8＝14（米），CD＝9×2.8＝25.2（米），
∴，
∴EF＝9（米）．
答：小树EF的高度为9米．
16．（8分）某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生人数为：80÷40%＝200（人），
则科普类的学生人数为：200﹣40﹣50﹣80＝30（人），
补全条形统计图如下：
（2）愿意参加劳动社团的学生人数为：（人）；
（3）把阅读、美术、劳动社团分别记为A、B、C，
画出树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种，
∴甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为．
17．（10分）如图，▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形：
（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝3，求的值．
【解答】（1）证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
在▱ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴AD∥EF且AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，
∴∠AEC＝∠DFC＝90°，AE＝DF＝4，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ECA+∠DCF＝90°，
∴∠EAC＝∠DCF，
∴△AEC∽△CFD，
∴＝＝，
∴EC＝2AE＝，
∴＝＝＝．
18．（10分）综合运用
如图，直线y＝2x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点A（2，a），过点A作反比例函数的图象．
（1）求a的值及反比例函数的表达式；
（2）点P为反比例函数图象上的一点，若S△POB＝2S△AOB，求点P的坐标．
（3）在x轴是否存在点Q，使得∠BOA＝∠OAQ，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
【解答】解：（1）把A（2，a）代入y＝2x+2得，
a＝2×2+2＝6，
∴A（2，6），
把A（2，6）代入，
得k＝12，
∴反比例函数的函数表达式为；
（2）当x＝0时，
y＝2x+2＝2，
∴B（0，2），
∴OB＝2，
∴S△AOB＝OB•xA
＝×2×2
＝2，
∴S△POB＝2S△AOB＝4，
又∵S△POB＝OB•xP
＝×2×xP
＝4，
解得：xP＝4，
∴，
∴点P坐标为（4，3）；
（3）存在；理由如下：
①当点Q在x轴正半轴上时，
如图，过点A作AQ1∥y轴交x轴于Q1，
则∠BOA＝∠OAQ1，
∴点Q（2，0）；
②当点Q在x轴负半轴上时，
如上图，设AQ2与y轴交于点D（0，b），
∵∠BOA＝∠OAQ2，
∴OD＝AD，
则22+（6﹣b）2＝b2，
解得：，
∴，
设直线AQ2表达式为y＝mx+n，代入得：
，
解得，
∴直线AQ2的表达式为，
当y＝0时，，
即点Q2的坐标为，
综上所述，点Q的坐标为（2，0）或．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）已知，b+d+f＝3，那么a+c+e的值是 ．
【解答】解：∵，b+d+f＝3，
∴＝，
∴a+c+e＝，
故答案为：．
20．（4分）从1，2，﹣3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作（m，n），那么点（m，n）在函数y＝图象上的概率是 ．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数y＝图象上的有：（1，﹣6），（﹣6，1），（2，﹣3），（﹣3，2），
∴点（m，n）在函数y＝图象上的概率是：＝．
故答案为：．
21．（4分）如图在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长是 ．
【解答】解：连接BE，BD，设EF与BD相交于点O，如图，
∵矩形ABCD纸片折叠，使点D与点B重合，
∴EF垂直平分BD，∠BFE＝∠DFE，
∴ED＝EB，FD＝FB，EF⊥BD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DF＝DE，
∴DE＝EB＝BF＝FD，
∴四边形DEBF为菱形，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝10，
设BE＝x，则DE＝x，AE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝DE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴BE＝，
∵S菱形DEBF＝S三角形DEB，
∴×EF•DB＝DE•AB，
∴×EF×10＝6×，
∴EF＝．
故答案为：．
22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC边BC取点E，使BE＝2CE，连接AE，OB交于点D，已知△AOD的面积3．若反比例函数的图象恰好经过点D，则k＝ ．
【解答】解：过点D作DF⊥AO于F，设E（a，b），
则CE＝a，CO＝b，
∵四边形ABCD是矩形，
∵BE＝2CE，∠BAO＝90°，
∴BE＝2a，BC＝3a，
∴CO＝AB＝b，BC∥AO，BC＝AO＝3a，
∴△BDE∽△ODA，
∴，即，
∴，
∵∠BAO＝∠DFO＝90°，∠DOF＝∠BOA，
∴△ODF∽△OBA，
∴，即，
∴，，
∴，
∵△AOD的面积3，
∴，
∴，
又反比例函数的图象恰好经过点D，
∴．
故答案为：．
23．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是AD上的一点，且AE＝2，F，G是AB，CD上的动点，且BE＝FG，BE⊥FG，连接EF，BG，当EF+FG+BG的值最小时，CG的长为 3 ．
【解答】解：过点G作GT⊥AB于T．则四边形BCGT是矩形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
∵CT⊥AB，
∴∠GHB＝90°，
∴四边形BCGT是矩形，
∴BC＝GT，
∵BE＝GF，∠A＝∠GTF＝90°
∴△ABE≌△TGF（ASA），
∴AE＝FT＝2，
设CG＝BT＝x，则AF＝AB﹣FT﹣BT＝6﹣2﹣x＝4﹣x
∴EF+BG＝+，
欲求 +的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），使得点P到M（0，6），N（4，2）的距离和最小．
如图，作点M关于x轴的对称点M′（0，﹣6），连接NM′交x轴于P，连接PM，此时PM+PN的值最小．
∵N（4，2），M′（0，﹣6），
∴直线M′N的解析式为y＝2x﹣6，
∴P（3，0），
∴x＝3时，EF+BG的值最小，
∵BE＝FG＝定值，
∴当CG＝3时，EF+FG+BG的值最小．
故答案为：3．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）某饮水机开始加热时，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数．若在水温为20℃时开始加热，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）在水温下降的过程中，求水温y（℃）关于通电时间x（min）的函数表达式；
（2）若水温从20℃开始加热至100℃，然后下降至20℃，在这一过程中，水温不低于40℃的时间有多长？
【解答】解：（1）设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，
由题意得，点（4，100）在反比例函数的图象上，
∴，
解得：k＝400，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是；
（2）解：在加热过程中，水温为40℃时，20x+20＝40，
解得：x＝1，
在降温过程中，水温为40℃时，，
解得：x＝10，
∵10﹣1＝9，
∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min．
25．（10分）综合与探究
如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE，BF⊥AE于点F，连接DF，FG⊥DF交AB于点G．
（1）求证：△ADF∽△BGF．
（2）若E为BC的中点．
①求证：DF＝AD．
②连接CF，若CF＝4，求正方形ABCD的边长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD．
∵BF⊥AE，
∴∠BFG+∠AFG＝90°，
∵FG⊥DF，
∴∠AFG+∠AFD＝90°，
∴∠BFG＝∠AFD．
∵四边形AGFD的内角和为360°，∠BAD＝∠GFD＝90°，
∴∠AGF+∠ADF＝180°．
∵∠AGF+∠BGF＝180°，
∴∠BGF＝∠ADF，
∴△ADF∽△BGF；
（2）①证明：∵E为BC中点，
∴，
∴，
由（1）知：△ADF∽△BGF，
∴，
∴AD＝2BG，DF＝2GF，
∴AB＝2BG，
∴G为AB的中点，
∵AF⊥BF，
∴，
∴AD＝2GF，
∴DF＝AD；
②解：过点F作FH⊥BC于点H，如图，
设正方形的边长为2x，则AB＝BC＝2x，BE＝EC＝x，
∵，
∴设BF＝a，则AF＝2a，
∵AF2+BF2＝AB2，
∴（2a）2+a2＝（2x）2，
∵a＞0，x＞0，
∴，
∴，．
同理求得：，
∴．
∴．
∵FH⊥BC，AB⊥BC，
∴FH∥AB，
∴△EFH∽△EAB，
∴，
∴，，
∴．
∵FH⊥BC，
∴FH2+CH2＝CF2，
∴，
∵x＞0，
∴，
∴正方形ABCD的边长为．
26．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴正半轴上，连接OB．将△OCB绕点O逆时针旋转，得到△OFG，点C的对应点为点F，点B的对应点为点G，且点G在y轴正半轴上，OF与AB相交于点D，反比例函数y＝的图象经过点D，交BC于点E，点D的坐标是（2，4）．
（1）如图1，k＝ 8 ，点E的坐标为 （8，1） ；
（2）若P为第三象限反比例函数图象上一点，连接PD，当线段PD被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求点P的横坐标；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”（如图2）．设M是第三象限内的反比例函数图象上一点，N是平面内一点，连接DE，当四边形DENM是“完美筝形”时，直接写出M，N两点的坐标．
【解答】解：（1）将点D的坐标代入反比例函数表达式得：4＝，解得：k＝8，
则反比例函数表达式为：y＝，
由图形的旋转知：∠AOD＝∠BOC，CB＝AO＝4，
在Rt△ADO中，tan∠AOD＝＝＝tan∠BOC，
在Rt△BCO中，tan∠BOC＝＝，解得：OC＝8，
当x＝8时，y＝＝1，故点E的坐标为（8，1），
故答案为：8，（8，1）；
（2）设PD交y轴于点T，
当线段PD被y轴分成长度比为1：2的两部分时，则，
过点P作PH⊥y轴于点H，
∴AD∥PH，
∴＝或2，
∴，
解得PH＝4或1，
即点P的横坐标为﹣4或﹣1；
（3）过点D作x轴的平行线交过点M与y轴的平行线于点G，交过点E与y轴的平行线于点R，
由（1）知，点E（8，1）、D（2，4）、R（8，4），设点M（x，y），
∵∠RDE+∠GDM＝90°，∠GDM+∠GMD＝90°，
∴∠RDE＝∠GMD，
∴tan∠RDE＝＝＝＝tan∠GMD＝＝①，
∵y＝②，
联立上述①②并解得，
即点M的坐标为（﹣2，﹣4），
由点M、E的坐标得，直线ME得表达式为y＝x﹣3③，
根据筝形的定义ND⊥ME，设ND交ME于点H，则H是DN的中点，
则设直线DN的表达式为y＝﹣2x+s，
将点D的坐标代入上式得：4＝﹣2×2+s，解得s＝8，
故直线ND得表达式为y＝﹣2x+8④，
联立③④并解得，
即点H的坐标为（，﹣），
∵H是DN的中点，
由中点坐标公式得，点N的坐标为（，﹣），
即点M、N的坐标分别为（﹣2，﹣4）、（，﹣）．