广东省高州市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

这是一份广东省高州市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题，共12页。试卷主要包含了“”是“”的，已知全集，集合，则，已知函数，则，设，则，已知函数是定义在上的奇函数等内容，欢迎下载使用。


一､单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既充分又必要条件 D.既不充分又不必要条件
2.已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知函数，则（ ）
A.0 B.1 C.2 D.10
4.已知集合，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知函数是上的偶函数，当时，，且，则（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
6.设，则（ ）
A. B.
C. D.
7.随着全国高考改革的推进，上海､浙江､北京､天津､山东､海南等省（市）相继开始实行新高考政策.新高考改革下设计的“”新高考选科模式，赋予了学生充分的自由选择权，可以让学生自主决定科目组合.官方透露的数据显示，某省2022级全省学生中选择地理科目的人数占比为，选择生物科目的占比为，既选择了地理科目又选择了生物科目的占比为，则选择了地理科目或选择了生物科目的占比为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数是定义在上的奇函数.若3，则的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.0
9.若函数且的图象恒过定点，则函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共5小题，每小题5分，共25分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
11.已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.下面命题正确的是（ ）
A.“”是“”的充分不必要条件
B.命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为
C.不等式的解集是
D.设，则的最小值为4.
13.在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A.B.
C.D.
14.已知是上的奇函数，且当时，，则（ ）
A.
B.的递增区间为
C.的递减区间为
D.若在区间上的值域为，则实数的取值范围为
15.关于函数，下列命题中正确的是（ ）
A.函数图象关于轴对称
B.函数的递增区间为
C.函数在上有最小值，且最小值为2.
D.函数的值域是
三､填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.把答案填在答题卡中的横线上.
16.命题“”的否定是__________.
17.函数的定义域是__________.
18.正实数满足，则的最小值为__________.
19.计算：__________.
20.函数的单调递减区间为__________.
21.函数的值域是__________.
22.已知函数的定义域为的奇函数，，对任意两个不等的正实数都有，则不等式的解集为__________.
23.已知函数，若对任意，总存在，使成立，则实数的取值范围为__________.
四､解答题：本大题共3小题，共35分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
24.（11分）已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
25（12分）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产百台这种仪器，需另投入成本万元，假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.
（1）求出利润（万元）关于产量（百台）的函数关系式；
（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.
26.（12分）已知是定义在上的奇函数.
（1）求的解析式；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.
2023-2024学年第一学期高州一中高一期中数学试卷
参考答案与试题解析
选择题（每小题5分，共75分）
1.解：由得或，则“”是“”的充分不必要条件，故选：.
2.解：因为，
所以.故选：.
3.解：，
，故选：.
4.解：因为，
所以.故选：.
5.解：根据题意，是上的偶函数，且，
则，又由当时，，
，解得，故选：.
6.解：，
.故选：D.
7.解：设选择地理科目的人组成集合，选择生物科目的人组成集合，画出韦恩图如图所示：
所以选择了地理科目或选择了生物科目的人为，
因为集合中元素占比为，集合中元素占比为，集合中元素占比为，
所以集合中元素占比为.
故选：.
8.解：是奇函数，定义域关于原点对称，则，得，得，则，得，则，故选：.
9.解：对于函数且，令，求得2，可得它的图象恒过定点，再根据图象恒过定点，则2，
求函数的单调递增区间，即求函数的增区间
函数的增区间为，
故函数的单调递增区间为.故选：.
10.解：方程有三个不同的实数根，即函数与函数的图象有三个交点，
作函数的图象如下图所示，
由图可知，.实数的取值范围是：.故选：B.
二､多选题：本题共5小题，每小题5分，共25分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
11.解：因为，所以正确；
若，则错误；
若，则错误；故选：.
12.解：对于选项或.
“”是“”的充分不必要条件，故A正确.
对于选项：命题“，使”的否定是“”“”为真命题.故B正确.
对于选项.故C错误.
对于选项：设，则.当且仅当即时取最小值4.D正确.故选：.
13.解：①若，则函数是上的增函数，
函数的图象的对称轴方程为，故符合，不符合；
②若，则函数是上的减函数，，函数的图象与轴的负半轴相交，故选：.
14.解：是奇函数，时，
，故A正确.
先作出时，的图象，再根据对称性作时，
的图象，由图象知，的递增区间为（不能用联结），的递减区间为，故B不正确，C正确.
当时，的递减区间为，递增区间为，
，结合图象知实数的取值范围为.正确.
故选：.
15.解：由题知，的定义域为，且，
所以为偶函数，所以函数图象关于轴对称，故正确.
令（为对勾函数）
当时，，当且仅当即时取最小值2
所以当时，为增函数，当时，为减函数；
函数为增函数，由复合函数的单调性可知，
的递增区间为（不能用联结），故B错误，.
由函数的单调性结合图象可知，函数在上有最小值，且最小值为，故错误.
函数的值域是故正确.
故选：.
三､填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.把答案填在答题卡中的横线上.
16.解：命题为特称命题，则命题的否定为，
故答案为：.
17.解：
函数的定义域是
18.解：，
，
当且仅当时取等号，故答案为：3.
19.解：
20.解：由得，
故函数的定义域是；
令，则是减函数，根据复合函数“同增异减”的原则，
求的单调递减区间即求在定义域内的单调递增区间，
在上为增函数，故函数的单调递减区间
为.故答案为：.
21.解：令，
，
的对称轴为的值域是
22.解：不妨令，则等价于，
所以是在上的增函数，
，作出的图象，结合的图象得
不等式或
或，故答案为：.
23.解：对任意，总存在，使成立
对成立
当时，，
在上是增函数，
当时，，
，
故实数的取值范围为.
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，存在性问题，是函数图象和性质的综合应用，是一道中档题.
四､解答题：本大题共3小题，共35分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
24.解：（1）
当时，，
；
（2）
方程的两根为，
①若，即时，，由得，
②若，即时，，符合题意；
③若，即时，，由得，
不等式无解；
综上所述，的取值范围为或.
【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题.
25.解：（1）由题意知，当时，
当时，
综上所述，
（2）当时，
所以当时，取得最大值1625，
当时，
当且仅当时，取得最大值1900，
综上，当，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了二次函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，是中档题.
26.解：（1）因为是定义在上的奇函数，
.
法2：是定义在上的奇函数，，
（2）令
易证函数是上的减函数，
恒成立
恒成立
恒成立
的取值范围为
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和化简运算求解能力，以及逻辑推理能力，属于中档题.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
答案
A
C
B
C
A
D
D
C
A
B
AB
ABD
AC
ACD
AD