中考数学一轮复习考点（精讲精练）复习专题16 探究函数图象与性质问题（2份打包，原卷版+教师版）

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题型精讲
题型一：根据解析式探究函数图像与性质
【例1】（2021·山东临沂市）已知函数 SKIPIF 1 < 0
（1）画出函数图象；列表：
描点，连线得到函数图象：
（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；
（3）设 SKIPIF 1 < 0 是函数图象上的点，若 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）见解析；（2）有，当 SKIPIF 1 < 0 时，最大值为3；当 SKIPIF 1 < 0 时，函数有最小值 SKIPIF 1 < 0 ；（3）见解析
【分析】（1）选取特殊值，代入函数解析式，求出y值，列表，在图像中描点，画出图像即可；
（2）观察图像可得函数的最大值；
（3）根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 互为相反数，再分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别验证 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】解：（1）列表如下：
函数图像如图所示：
（2）根据图像可知：当x=1时，函数有最大值3；当 SKIPIF 1 < 0 时，函数有最小值 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）∵ SKIPIF 1 < 0 是函数图象上的点， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 互为相反数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；同理：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，综上： SKIPIF 1 < 0 ．
【例2】在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 （m为常数）的顶点为A．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，点A的坐标是 ，抛物线与y轴交点的坐标是 ．
（2）若点A在第一象限，且 SKIPIF 1 < 0 ，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围．
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，若函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为3，求m的值．
（4）分别过点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线 SKIPIF 1 < 0 与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，抛物线与y轴交点的坐标为(0， SKIPIF 1 < 0 )；(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；(3) m的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；(4) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)将 SKIPIF 1 < 0 时代入直接可以求出顶点A的坐标，令 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 求出与y轴交点坐标；
(2)顶点 SKIPIF 1 < 0 ，由点A在第一象限，且 SKIPIF 1 < 0 即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，进而求出解析式，再由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小，由此即可求解；
(3)分m≥0和m＜0时讨论：当m≥0且 SKIPIF 1 < 0 时，函数的最小值为 SKIPIF 1 < 0 时取得；当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时，函数的最小值为 SKIPIF 1 < 0 时取得；
(4)先算出P、Q、M、N四个点的坐标，然后再分情况讨论二次函数与矩形PQMN的两边交点，求出B、C坐标，由“B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等”即可求解．
【详解】解：(1)由题意可知，二次函数顶点坐标 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，此时抛物线解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴抛物线与y轴交点的坐标为(0， SKIPIF 1 < 0 )；
(2)顶点坐标 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又已知 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，且A点在第一象限，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，此时抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，抛物线的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小，
∴y随x的增大而减小时 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为： SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(3)函数的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，且开口向上，
当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时，函数有最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知：函数的最小值为3，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时，函数有最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知：函数的最小值为3，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (正值舍去)，故m的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
(4)由题意可知， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
分类讨论：
情况一：抛物线与矩形PQMN的两边PQ和NQ相交时，
∵点B的纵坐标大于点C的纵坐标，∴B在线段PQ上，C在线段NQ上，
此时B到y轴的距离为P点横坐标的绝对值，即为4，
C到x轴的距离为Q点纵坐标的绝对值，即为 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知：点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
此时抛物线变为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 均与线段PQ没有交点，如下图所示，
故舍去；
情况二：抛物线与矩形PQMN的两边PQ和MN相交时，
∵点B的纵坐标大于点C的纵坐标，∴B在线段PQ上，C在线段MN上，
此时B到y轴的距离为P点横坐标的绝对值，即为4，
C到x轴的距离为C点纵坐标的绝对值，又C的横坐标为m，代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 中，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知：点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当时，抛物线与线段PQ无交点，故舍去，当时，P点与Q点重合，故舍去；
情况三：抛物线与矩形PQMN的两边MP和MN相交时，
∵点B的纵坐标大于点C的纵坐标，∴B在线段PM上，C在线段MN上，
此时B到y轴的距离为P点横坐标的绝对值，B点的纵坐标为4，代入抛物线中，得到或
C到x轴的距离为C点纵坐标的绝对值，又C的横坐标为m，代入抛物线中，得到，
由已知：点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，
∴，解得或或或，
由上述第一、二种情况可知，或舍去，当或时，符合题意，
综上所述，m的值为或．
题型二：实际问题探究函数性质
【例2】《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
（实验观察）实验小组通过观察，每2小时记录次箭尺读数，得到下表：
（探索发现）(1)建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
（结论应用）应用上述发现的规律估算：
(3)供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？
(4)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）

【答案】(1)见解析；(2)在同一直线上，解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 ；(4)当天晚上的22:00．
【分析】(1)将各点在坐标系中直接描出即可；
(2)观察发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm，由此可判断它们在同以直线上，设直线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，再代入两个点坐标即可求解；
(3)当时代入(2)中解析式即可求出箭尺的读数；
(4)当时代入(2)中解析式即可求出供水时间，再结合实验开始时间为8:00即可求解．
【详解】解：(1)将表格中各点在直角坐标系中描出来如下图所示：
(2)分析表格中数据发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm，观察(1)中直角坐标系点的特点，发现它们位于同一直线上，设直线解析式为，代入点(0，6)和点(2，18)，
得到，解得，∴直线的表达式为：；
(3)当供水时间达到12小时时，即时，代入中，解得cm，
∴此时箭尺的读数为；
(4)当箭尺读数为90厘米时，即时，代入中，解得(小时)，
∴经过14小时后箭尺读数为90厘米，∵实验记录的开始时间是上午8:00，
∴箭尺读数为90厘米时对应的时间为8+14=22，即对应当天晚上的22:00．
提分训练
1．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y的图象并探究该函数的性质．
（1）列表，写出表中a，b的值：a＝ ，b＝ ；
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：
①函数y的图象关于y轴对称；
②当x＝0时，函数y有最小值，最小值为﹣6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．
（3）已知函数yx的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x的解集．
【分析】（1）将x＝﹣3，0分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；
（2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；
（3）根据图象求得即可．
【解析】（1）x＝﹣3、0分别代入y，得a，b6，
故答案为，﹣6；画出函数的图象如图：
，
故答案为，﹣6；
（2）根据函数图象：①函数y的图象关于y轴对称，说法正确；
②当x＝0时，函数y有最小值，最小值为﹣6，说法正确；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小，说法错误．
（3）由图象可知：不等式x的解集为x＜﹣4或﹣2＜x＜1．
2．在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．
（1）y关于x的函数关系式是 ，x的取值范围是 ；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据题意在平面直角坐标系中画出该函数图象即可；
（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝﹣x+3+a，根据一元二次方程根的判别式即可得到结论．
【解析】（1）∵在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2，
∴xy＝2，∴xy＝4，∴y关于x的函数关系式是y，x的取值范围为x＞0，
故答案为：y，x＞0；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示；
（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝﹣x+3+a，
解，整理得，x2﹣（3+a）x+4＝0，
∵平移后的直线与上述函数图象有且只有一个交点，∴△＝（3+a）2﹣16＝0，
解得a＝1，a＝﹣7（不合题意舍去），故此时a的值为1．
3．表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线1，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．
（1）求直线1的解析式；
（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；
（3）设直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）画出直线l，求得两直线的交点，根据勾股定理即可求得直线l'被直线l和y轴所截线段的长；
（3）求得两条直线与直线y＝a的交点横坐标，分三种情况讨论求得即可．
【解析】（1）∵直线l′：y＝bx+k中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，
∴，解得，∴直线1′的解析式为y＝3x+1；
∴直线1的解析式为y＝x+3；
（2）如图，解得，∴两直线的交点为（1，4），
∵直线1′：y＝3x+1与y轴的交点为（0，1），
∴直线l'被直线l和y轴所截线段的长为：；
（3）把y＝a代入y＝3x+1得，a＝3x+1，解得x；
把y＝a代入y＝x+3得，a＝x+3，解得x＝a﹣3；
当a﹣30时，a，当（a﹣3+0）时，a＝7，
当（0）＝a﹣3时，a，
∴直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为或7或．
4．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3．
③当x＜﹣1或x＞1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大．
（3）已知函数y＝2x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式2x﹣1的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
【分析】（1）将x＝﹣3，3分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；
（2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；
（3）根据图象求得即可．
【解析】（1）补充完整下表为：
画出函数的图象如图：
；
（2）根据函数图象：
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴，说法错误；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3，说法正确；
③当x＜﹣1或x＞1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大，说法正确．
（3）由图象可知：不等式2x﹣1的解集为x＜﹣1或﹣0.3＜1.8．
5．二次函数的图象交轴于原点及点．
感知特例
（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；
②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；
③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．
【答案】（1）①2，0；②见解析；（2）①；②；③m=1．
【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；
（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②结合（1）②的图象以及（2）①的图象即可回答；③根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象L′的顶点为 (3m，)，再根据题意即可求解．
【详解】（1）∵点B(-1，3)与点B′(5，-3)关于点A中心对称，
∴点A的坐标为(，)，即A(2，0)，故答案为：2，0；
②描点，连线，得到的图象如图所示：
（2）①当m=−1时，抛物线L为，对称轴为，
它的“孔像抛物线”L′的解析式为，对称轴为，
画出草图如图所示：
∴抛物线L与它的“孔像抛物线”L′的函数值都随着x的增大而减小，
则x的取值范围为：；②画出草图，
由图象知，这条抛物线的解析式只能是；故答案为：；
③L：，设顶点为，过点P作PM⊥轴于点M，“孔像抛物线”的顶点为，过点作⊥x轴于点，
由题意可知△PMA≌△A，得 (3m，0)，所以 (3m，)，
∵抛物线L及“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，∴=m或=m，解得m=1或0，
当m=0时，与只有一个交点，不合题意，舍去，
∴m=1．x
．．．
．．．
y
．．．
．．．
x
．．．
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
．．．
y
．．．
-1
SKIPIF 1 < 0
-3
0
3
SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0
．．．
供水时间x（小时）
0
2
4
6
8
箭尺读数y（厘米）
6
18
30
42
54
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…

a
﹣2
﹣4
b
﹣4
﹣2


…
x
﹣1
0
y
﹣2
1
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…




﹣3
0
3




…
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…



﹣3
0
3



…
…
（___，___）
…
…
…