中考数学一轮复习考点（精讲精练）复习专题20 平行四边形与特殊平行四边形存在性问题（2份打包，原卷版+教师版）

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方法技巧
若E为x轴上的一个动点,F为抛物线上的一个动点,使B,D,E,F构成平行四边形时,求出点E的坐标.
以其中一个已知点(如:点B)作为起点，列出所有对角线的情况(如:BD,BE,BF),分别设出两个动点(点E,点F),运用中点坐标公式,求出每一种情况下，两条对角线的中点坐标,注意到两个中点重合,其坐标对应相等,列出方程组,求解即可.
题型精讲
题型一：平行四边形存在性问题
【例1】将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值；
（3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
题型二：菱形存在性问题
【例2】如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．
（1）求的值；
（2）点为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线于点Q．
①当时，求当P点到直线的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．
题型三：矩形存在性问题
【例3】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 为第四象限内抛物线上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值及此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线 SKIPIF 1 < 0 向右平移经过点 SKIPIF 1 < 0 时，得到新抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考：若点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
题型四：正方形存在性问题
【例4】如图，已知直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段OA的长是方程x2﹣7x﹣18＝0的一个根，OBOA．请解答下列问题：
（1）求点A，B的坐标；
（2）直线EF交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线AB于点C．若C是EF的中点，OE＝6，反比例函数y图象的一支经过点C，求k的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作CD⊥OE，垂足为D，点M在直线AB上，点N在直线CD上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
提分训练
1．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知二次函数的图象过点，且对任意实数x，都有．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
5．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C，D两点之间的距离是__________；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．
（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；