中考数学一轮复习考点（精讲精练）复习专题26 特殊三角形（2份打包，原卷版+教师版）

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知识精讲
考点1：等腰三角形的性质与判定
1．定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形.
2．性质:① 等腰三角形的两腰相等;
② 等腰三角形的两底角相等，即“等边对等角”;
③ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”;
④ 等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边的垂直平分线.
3．判定:
① 有两条边相等的三角形是等腰三角形;
② 有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”.

【例1】如图，在 SKIPIF 1 < 0 的正方形网格中有两个格点A、B，连接 SKIPIF 1 < 0 ，在网格中再找一个格点C，使得 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．
【例2】如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则 SKIPIF 1 < 0 的度数是_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】分①点P在BC的延长线上，②点P在CB的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：①当点P在BC的延长线上时，如图
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴∴
∵以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，∴AC=PC∴
∵∴∴
②当点P在CB的延长线上时，如图
由①得，∵AC=PC∴
∴故答案为：或
针对训练
1．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（ ）
A．10B．5C．4D．3
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【解析】∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：B．
2．（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是 ．
【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【解析】①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，
所以周长＝3+4+4＝11．综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．故答案为：10或11．
3．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 边上， SKIPIF 1 < 0 ，将边 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转到 SKIPIF 1 < 0 的位置，使得 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的度数．
【答案】（1）见详解；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由题意易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，然后问题可求证；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴根据三角形内角和可得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
考点2：等边三角形的性质与判定
1．定义:三边相等的三角形是等边三角形.
2．性质:
① 等边三角形的三边相等,三角相等,且都等于60°;
② “三线合一”;
③ 等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴.
3．判定:
① 三条边都相等的三角形是等边三角形;
② 三个角都相等的三角形是等边三角形;
③ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

【例3】如图，在四边形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，点E是AC的中点，且 SKIPIF 1 < 0
（1）尺规作图：作 SKIPIF 1 < 0 的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 为等边三角形．
【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出 SKIPIF 1 < 0 的平分线AF即可解答；
（2）根据直角三角形斜边中线性质得到 SKIPIF 1 < 0 并求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据等腰三角形三线合一性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到EF为中位线，进而可证 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．
【详解】解：（1）如图，AF平分 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵AF平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 又∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形．
方法技巧
（1）等边三角形与全等三角形的结合运用;
（2）等边三角形与含30°角的直角三角形的结合运用. 针对训练
1．在等边 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．

图1 图2 图3
（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；
②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且 SKIPIF 1 < 0 ，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当 SKIPIF 1 < 0 最小时，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】（1）① SKIPIF 1 < 0 ；②见解析；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）①连接AG，根据题意得出△ABC和△GEF均为等边三角形，从而可证明△GBC≌△GAC，进一步求出AD=3，AG=BG= SKIPIF 1 < 0 ，然后利用勾股定理求解即可；②以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，先证明出△BFK是顶角为120°的等腰三角形，然后推出△FEB≌△FHK，从而得出结论即可；
（2）利用“胡不归”模型构造出含有30°角的直角三角形，构造出 SKIPIF 1 < 0 ，当N、P、J三点共线的时候满足条件，然后利用相似三角形的判定与性质分别计算出PN与DN的长度，即可得出结论．
【详解】（1）解：①如图所示，连接AG，由题意可知，△ABC和△GEF均为等边三角形，
∴∠GFB=60°，∵BD⊥AC，∴∠FBC=30°，∴∠FCB=30°，∠ACG=30°，
∵AC=BC，GC=GC，∴△GBC≌△GAC（SAS），∴∠GAC=∠GBC=90°，AG=BG，
∵AB=6，∴AD=3，AG=BG= SKIPIF 1 < 0 ，
∴在Rt△ADG中， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②证明：以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，如图，
∵△ABC和△GEF均为等边三角形，∴∠ABC=60°，∠EFH=120°，∴∠BEF+∠BHF=180°，
∵∠BHF+∠KHF=180°，∴∠BEF=∠KHF，由辅助线作法可知，FB=FK，则∠K=∠FBE，
∵BD是等边△ABC的高，∴∠K=∠DBC=∠DBA=30°，∴∠BFK=120°，
在△FEB与△FHK中，
SKIPIF 1 < 0 ∴△FEB≌△FHK（AAS），∴BE=KH，∴BE+BH=KH+BH=BK，
∵FB=FK，∠BFK=120°，∴BK= SKIPIF 1 < 0 BF，即： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图1所示，以MP为边构造∠PMJ=30°，∠PJM=90°，则PJ= SKIPIF 1 < 0 MP，
∴求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，即为求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，
如图2所示，当运动至N、P、J三点共线时，满足 SKIPIF 1 < 0 最小，
此时，连接EQ，则根据题意可得EQ∥AD，且EQ= SKIPIF 1 < 0 AD，∴∠MEQ=∠A=60°，∠EQF=90°，
∵∠PEF=60°，∴∠MEP=∠QEF，
由题意，EF=EP，∴△MEP≌△QEF（SAS），∴∠EMP=∠EQF=90°，
又∵∠PMJ=30°，∴∠BMJ=60°，∴MJ∥AC，∴∠PMJ=∠DNP=90°，
∵∠BDC=90°，∴四边形ODNJ为矩形，NJ=OD，
由题，AD=3，BD= SKIPIF 1 < 0 ，∵MJ∥AC，∴△BMO∽△BAD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴OD= SKIPIF 1 < 0 BD= SKIPIF 1 < 0 ，OM= SKIPIF 1 < 0 AD= SKIPIF 1 < 0 ，
设PJ=x，则MJ= SKIPIF 1 < 0 x，OJ= SKIPIF 1 < 0 x- SKIPIF 1 < 0 ，由题意可知，DN= SKIPIF 1 < 0 CD=2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，即：PJ= SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
2．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1） SKIPIF 1 < 0 是边长为3的等边三角形，E是边 SKIPIF 1 < 0 上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，小亮以 SKIPIF 1 < 0 为边作等边三角形 SKIPIF 1 < 0 ，如图1，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
（2） SKIPIF 1 < 0 是边长为3的等边三角形，E是边 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，小亮以 SKIPIF 1 < 0 为边作等边三角形 SKIPIF 1 < 0 ，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3） SKIPIF 1 < 0 是边长为3的等边三角形，M是高 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，小亮以 SKIPIF 1 < 0 为边作等边三角形 SKIPIF 1 < 0 ，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
（4）正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为3，E是边 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，其中点F、G都在直线 SKIPIF 1 < 0 上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．
【答案】（1）1；（2）3；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可证 SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，可证 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处时， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在A处时，点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合．可得点 SKIPIF 1 < 0 运动的路径的长 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，可证 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．又点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处时， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处时，点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合．可求点 SKIPIF 1 < 0 所经过的路径的长 SKIPIF 1 < 0 ；
（4）连接CG ,AC ，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的 SKIPIF 1 < 0 上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理 SKIPIF 1 < 0 即，可求 SKIPIF 1 < 0 ，点G所经过的路径长为 SKIPIF 1 < 0 长= SKIPIF 1 < 0 ，点H所经过的路径长为 SKIPIF 1 < 0 的长 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】解:（1）∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处时， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在A处时，点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合．∴点 SKIPIF 1 < 0 运动的路径的长 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处时， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处时，点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，
∴点 SKIPIF 1 < 0 所经过的路径的长 SKIPIF 1 < 0 ；
（4）连接CG ,AC ，OB，∵∠CGA=90°，∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的 SKIPIF 1 < 0 上运动，
∵四边形ABCD为正方形，BC为边长，∴∠COB=90°，设OC=x，
由勾股定理 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
点G所经过的路径长为 SKIPIF 1 < 0 长= SKIPIF 1 < 0 ，
点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧 SKIPIF 1 < 0 上运动，
点H所经过的路径长为 SKIPIF 1 < 0 的长度，
∵点G运动圆周的四分之一，∴点H也运动圆周的四分一，
点H所经过的路径长为 SKIPIF 1 < 0 的长= SKIPIF 1 < 0 ，故答案为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
考点3：直角三角形的性质
1．性质:
① 直角三角形的两锐角互余;
② 直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;
③ 直角三角形中,斜边上的 中线长等于斜边长的一半.
2．判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形.

【例4】如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重
叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 ．
【分析】求出∠ACD，根据三角形内角和定理求出∠AFC，求出∠DFB，根据三角形的外角性质求出即可．
【详解】如图，
∵∠ACB＝90°，∠DCB＝65°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣65°＝25°，
∵∠A＝60°，∴∠DFB＝∠AFC＝180°﹣∠ACD﹣∠A＝180°﹣25°﹣60°＝95°，
∵∠D＝45°，∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，故答案为：140°．
针对训练
1．如图，已知点 SKIPIF 1 < 0 是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据菱形的基性质，得到∠PAE=30°，,利用勾股理求出AC=，则AP= +PC，PE=AP=+PC ，由∠PCF=∠DCA=30°，得到PF=PC ，最后算出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=120°，AB=2，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD，∴∠CAE=30︒，
∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2，∴AC=，∴AP=+PC，
在直角△AEP中，∵∠PAE=30°，AP=+PC，∴PE=AP=+PC，
在直角△PFC中，∵∠PCF=30°，∴PF=PC，∴=+PC-PC=，故选：B．
考点4：勾股定理及其逆定理
①勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方;
②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形.

【例5】《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图，则水深为 尺．
【答案】12
【分析】依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．
【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，
因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2=x2，解之得x=13，
即水深12尺，芦苇长13尺．故答案为：12．
．
方法技巧
（1）已知直角三角形的两边长，求第三边长.
（2）已知直角三角形的一边长，求另两边长的关系.
（3）用于证明平方关系的问题.
针对训练
1．如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据题意得出OA=8，OC=2，再根据勾股定理计算即可
【详解】解：由题意可知：AC=AB∵，∴OA=8，OC=2∴AC=AB=10
在Rt△OAB中，∴B(0，6)故选：D
2．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到，再由勾股定理解得，解得，据此解题即可．
【详解】解：如图所示，正方形的顶点都在同一个圆上，
圆心在线段的中垂线的交点上，即在斜边的中点，且AC=MC，BC=CG，
∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，∴AG=BM，又∵OG=OM，OA=OB，
∴△AOG≌△BOM，∴∠CAB=∠CBA，∵∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，
，
，．
故选：C．
专题26 特殊三角形
考点1：等腰三角形的性质与判定
1．如图．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】54°
【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A=∠AEF，再根据三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠B的度数即可．
【详解】∵ AF=EF，∴ ∠A=∠AEF，∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，∴ ∠A=36°，
∵ ∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，∴ ∠B=180°-∠A-∠C=54°．故答案为：54°．
2．如图，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______（用含 SKIPIF 1 < 0 的代数式表示）．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由等腰的性质可得：∠ADB= SKIPIF 1 < 0 ，∠BDC= SKIPIF 1 < 0 ，两角相加即可得到结论．
【详解】解：在△ABD中，AB=BD∴∠A=∠ADB= SKIPIF 1 < 0
在△BCD中，BC=BD∴∠C=∠BDC= SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
3．将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径 SKIPIF 1 < 0 对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线 SKIPIF 1 < 0 剪开，再将 SKIPIF 1 < 0 展开得到如图3的一个六角星．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为______．
【答案】135°
【分析】利用折叠的性质，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题．
【详解】解：连接OC，EO
由折叠性质可得：∠EOC= SKIPIF 1 < 0 ，EC=DC，OC平分∠ECD
∴∠ECO= SKIPIF 1 < 0 ∴∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°
即 SKIPIF 1 < 0 的度数为135°故答案为：135°
4．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 的平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ；交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．
【答案】（1）见详解；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由题意易得 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，然后问题可求证；
（2）由题意易得 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，然后由（1）可求解．
【详解】（1）证明：∵BD平分 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ．
5．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）判断△BOC的形状，并说明理由．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：
∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO，∴△BOC是等腰三角形．
考点2：等边三角形的性质与判定
6．）如图，等边三角形ABC的边长为4， SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，P为AB边上一动点，过点P作 SKIPIF 1 < 0 的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．
【答案】3
【分析】连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．
【详解】解：连接QC和PC，
∵PQ和圆C相切，∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，
∴当CP最小时，PQ最小，
∵△ABC是等边三角形，∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB，
∵AB=BC=AC=4，∴AP=BP=2，∴CP= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∵圆C的半径CQ= SKIPIF 1 < 0 ，∴PQ= SKIPIF 1 < 0 =3，故答案为：3．
7．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ．
【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．
【解析】∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，
∵DE∥AB，DF∥AC，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．
故答案为：6．
8．如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．
（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP即可；
（2）先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝60°；
（3）先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝120°．
【解析】（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC
∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°；
（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变
理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，
即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．
考点3：直角三角形的性质
9．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
【分析】（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论．
（2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，∴BD＝CD，
在△BED与△CFD中，
，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF；
（2）解：∵∠BDE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠C＝50°，∴∠BAC＝80°．
10．小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．
探究发现：
（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？ ．（填“是”或“否”）
拓展延伸：
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．
【分析】（1）证明∠FDC+∠BDC＝90°可得结论．
（2）结论成立：利用等角的余角相等证明∠E＝∠EDF，推出EF＝FD，再证明FD＝FC即可解决问题．
（3）如图3中，取EC的中点G，连接GD．则GD⊥BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可．
【解析】（1）如图（2）中，
∵∠EDC＝90°，EF＝CF，∴DF＝CF，∴∠FCD＝∠FDC，
∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵BA＝BD，∴∠A＝∠ADB，
∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC，∴∠ADB+∠FDC＝90°，∴∠FDB＝90°，∴BD⊥DF．
故答案为是．
（2）结论成立：理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，
∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠EDF+∠CDF＝90°，∴∠BDC＝∠EDF，
∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠EDF，
∵∠A+∠ACB＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴∠A＝∠E，∴∠E＝∠EDF，∴EF＝FD，
∵∠E+∠ECD＝90°，∠EDF+∠FDC＝90°，
∴∠FCD＝∠FDC，∴FD＝FC，∴EF＝FC，∴点F是EC的中点．
（3）如图3中，取EC的中点G，连接GD．则GD⊥BD．
∴DGEC，∵BD＝AB＝6，
在Rt△BDG中，BG，∴CB3，
在Rt△ABC中，AC3，
∵∠ACB＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC∽△EDC，
∴，∴，∴CD，∴AD＝AC+CD＝3．
11．已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．
（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：
①EB＝EP；
②∠EFP＝30°；
（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．
【分析】（1）①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；
②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°；
（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．
【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，
∴，即M是BC的中点，
∵EP＝CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，
∴BEPC＝EP；
②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，
∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；
（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，
∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，
∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF＝DF，
∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，
∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，
∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，
∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，
∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．
考点4：勾股定理及其逆定理
12．如图， SKIPIF 1 < 0 中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=AB=5，
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=，∴CE==，
故选：D．