2023-2024学年福建省泉州市泉港二中九年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市泉港二中九年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.二次根式 x−3中字母x的取值范围是( )
A. x3D. x≥3
2.用配方法解方程x2−2x−1=0，配方后所得方程为( )
A. (x+1)2=0B. (x−1)2=0C. (x+1)2=2D. (x−1)2=2
3.下列各组长度的线段(单位：cm)中，成比例线段的是( )
A. 2，3，4，5B. 1，3，5，10C. 2，3，4，6D. 1，5，3，7
4.cs45°的值为( )
A. 33B. 22C. 12D. 32
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，BC=6，则AC等于( )
A. 6B. 12C. 6 3D. 6 2
6.如图，点G是△ABC的重心，AD=6，则GD的值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 1.5
7.如图所示的是一所学校的平面示意图，若用(3,2)表示教学楼，(4,0)表示旗杆，则实验楼的位置可表示成( )
A. (1,−2)B. (−2,1)C. (−3,2)D. (2,−3)
8.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为( )
A. 12
B. 22
C. 3
D. 13
9.已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是( )
A. B. C. D.
10.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，BEEC=2− 2；④BE+DF=EF；⑤若点F是DC的中点，则CE=23CB，其中正确的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.一斜坡的坡角为30°，那么这个斜坡的坡度i=______．
12.已知b是a，c的比例中项，若a=4，c=16，则b=______．
13.△ABC与△DEF是相似三角形，且对应面积比为4：9，则△ABC与△DEF的周长比为______．
14.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=3，BC=4，则AD= ______．
15.如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为19米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为x米，可列出方程为 ．
16.如图，在Rt△AOB中，点A在第一象限，点B在第二象限，且AO：BO=1：2，若点A在反比例函数y=1x上，则经过点B的反比例函数为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解方程：2x2−3x−1=0．
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算： 3tan60°−(π−3.14)0+ 12．
19.(本小题8分)
先化简，再求值：(x−1)÷(x−2x−1x)，其中x= 2+1．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠A=60°，∠ADE=50°，∠B=70°.求证：△ADE∽△ACB．
21.(本小题9分)
如图，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)、A(3,2)、B(2,0)，将这三个顶点的坐标同时扩大到原来的2倍，得到对应点D、E、F．
(1)在图中画出△DEF；
(2)点E是否在直线OA上？为什么？
(3)△OAB与△DEF______位似图形(填“是”或“不是”)．
22.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠B=108°，AB=BC．
(1)尺规作图：在AC上求作一点D，使得BD=CD；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)作图的基础上，连接BD，求证：AB2=AC⋅CD．
23.(本小题10分)
中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝.常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等.如图1的古代建筑屋顶，被称为“悬山顶”，它的侧视图呈轴对称图形，如图2所示，已知屋檐EA=6米，屋顶E到支点C的距离EC=5.4米，墙体高CF=3.5米，屋面坡角∠ECD=28°．

(1)求房屋内部宽度FG的长；
(2)求点A与屋面FG的距离．
(以上结果均精确到0.1米.参考数值：sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53)
24.(本小题12分)
如图，已知在四边形ABCD中，AD//BC，AH⊥BC于H，HC=CD，AH=2，AD=1，点E在边DC上，联结BE分别交AH、DH于点M、N．
(1)求线段CD的长；
(2)当DE=12BH时，设BH=x，HM=y，求y关于x的函数解析式．
25.(本小题14分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−43x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B.动点P、Q分别从O、B同时出发，其中点P以每秒4个单位的速度沿OB向终点B运动，点Q以每秒5个单位的速度沿BA向终点A运动.设运动时间为t秒．
(1)连结PQ，若△AOB和以B、P、Q为顶点的三角形相似，求t的值；
(2)连结AP、OQ，若AP⊥OQ，求t的值；
(3)试证明：PQ的中点在△AOB的一条中位线上．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解∵二次根式 x−3有意义，
∴x−3≥0，解得：x≥3．
故选：D．
根据二次根式中的被开方数是非负数列不等式求解即可．
本题主要考查的是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：x2−2x=1，
x2−2x+1=2，
(x−1)2=2．
故选：D．
先把常数项1移到方程右边，再把方程两边加上，然后根据完全平方公式得到(x−1)2=2．
本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
3.【答案】C
【解析】解：A.2：3≠4：5，故四条线段不成比例，不合题意；
B.1：3≠5：10，故四条线段不成比例，不合题意；
C.2：3=4：6，故四条线段成比例，符合题意；
D.1：3≠5：7，故四条线段不成比例，不合题意．
故选：C．
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．
此题考查了比例线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
4.【答案】B
【解析】解：cs45°= 22．
故选B．
直接根据特殊角的三角函数值即可得出结论．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC=12，
∴AC= AB2−BC2=6 3．
故选：C．
根据直角三角形的性质可得AB=2BC=12，再根据勾股定理，即可求解．
本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵点G是△ABC的重心，
∴DG：AG=1：2，
∴DG=13AD=13×6=2．
故选：B．
三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.由此得到DG=13AD，即可求出DG的长．
本题考查三角形的重心，关键是掌握三角形重心的性质．
7.【答案】D
【解析】解：如图所示：实验楼的位置可表示成(2,−3)．
故选：D．
直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
8.【答案】D
【解析】解：在直角△ACD中，AD=2，CD=6，
则tan∠ACB=ADCD=26=13．
故选D．
在直角△ACD中利用正切函数的定义即可求解．
本题考查了正切函数的定义，三角函数就是直角三角形中边的比，确定直角三角形是关键．
9.【答案】D
【解析】解：A、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；
B、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；
C、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；
D、△ABC与△A′B′C′对应边BC和B′C′不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；
故选：D．
根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°，
∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，
∴△AMN∽△BME，
∴AMBM=MNEN，
∴AMMN=BMEN，
∵∠AMB=∠EMN，
∴△AMB∽△NME，故①正确，
∴∠AEN=∠ABD=45°
∴∠NAE=∠AEN=45°，
∴△AEN是等腰直角三角形，故②正确，
在△ABE和△ADF中，
∵AB=AD∠ABE=∠ADF=90°AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，
∵BC=CD，
∴CE=CF，
假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1−x，
如图2，连接AC，交EF于H，
∵AE=AF，CE=CF，
∴AC是EF的垂直平分线，
∴AC⊥EF，OE=OF，
Rt△CEF中，OC=12EF= 22x，
△EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，
∴OE=BE，
∵AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AOE(HL)，
∴AO=AB=1，
∴AC= 2=AO+OC，
∴1+ 22x= 2，
x=2− 2，
∴BEEC=1−(2− 2)2− 2= 22，故③不正确，
③如图3，
∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF=AH，∠DAF=∠BAH，
∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE，
∵∠ABE=∠ABH=90°，
∴H、B、E三点共线，
在△AEF和△AEH中，
AE=AE∠FAE=∠HAEAF=AH，
∴△AEF≌△AEH(SAS)，
∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故④正确，
如图4中，设正方形的边长为2a，则DF=CF=a，AF= 5a，
∵DF/​/AB，
∴FNAN=DFAB=12，
∴AN=NE=23AF=2 53a，
∴AE= 2AN=2 103a
∴BE= AE2−AB2= (2 103a)2−(2a)2=23a，
∴EC=43a=23BC，故⑤正确．
故选：C．
①如图1，证明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME，
②利用相似三角形的性质可得∠NAE=∠AEN=45°，则△AEN是等腰直角三角形可作判断；
③先证明CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1−x，表示AC的长为AO+OC可作判断；
④如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH(SAS)，则EF=EH=BE+BH=BE+DF，可作判断；
⑤如图4中，设正方形的边长为2a，则DF=CF=a，AF= 5a，想办法求出BE，EC即可判断．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．
11.【答案】 33
【解析】解：∵斜坡的坡角为30°，
∴这个斜坡的坡度i=tan30°= 33．
故答案为： 33．
由于斜坡的坡角为30°，而坡度为坡角的正切，由此即可确定个斜坡的坡度i．
此题主要考查了解直角三角形应用−坡度的问题，解题的关键是根据题意正确画出图形，然后利用三角函数即可解决问题．
12.【答案】±8
【解析】解：若b是a、c的比例中项，
即b2=ac，则b=± ac=± 4×16=±8．
故答案为：±8．
根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2=ac.即可求解．
本题主要考查了比例中项的定义，此题难度一般．
13.【答案】2：3
【解析】解：∵△ABC与△DEF相似且面积的比为4：9，
∴△ABC与△DEF的相似比为：2：3，
∴△ABC与△DEF周长的比为：2：3．
故答案为：2：3．
由△ABC与△DEF相似且面积的比为4：9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意熟记性质定理是解此题的关键．
14.【答案】95
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2=5，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴ACAB=ADAC，
∴35=AD3，
∴AD=95．
故答案为：95．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，证明出△ADC∽△BCA，然后利用相似三角形的性质即可求解．
本题主要考查了勾股定理、以及三角形相似的判定与性质，属于基础题．
15.【答案】x(19−3x)=24
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
若设垂直于墙的一段篱笆长为x米，则平行于墙的一段篱笆长为(19−3x)米，根据围成的大长方形花圃的面积为24平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：若设垂直于墙的一段篱笆长为x米，则平行于墙的一段篱笆长为(19−3x)米，
依题意得：x(19−3x)=24．
故答案为x(19−3x)=24．
16.【答案】y=−4x
【解析】解：如图，作BC⊥x轴，垂足为C，作AD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCO=∠ODA，∠BOC=∠OAD，
∴△BCO∽△ODA，
∴S△AODS△BCO=(AOBO)2=14，
∵S△AOD=12，
∴S△BCO=2，
设经过点B的反比例函数为y=kx，
∴丨k丨=2S△BCO=2×2=4，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k=−4，
∴点B所在的反比例函数解析式为：y=−4x．
故答案为：y=−4x．
作BC⊥x轴，作AD⊥x轴可得△BCO∽△ODA，继而得到S△AODS△BCO=(AOBO)2=14，根据S△AOD=12，求出S△BCO=2，继而得到点B所在的反比例函数解析式．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用相似求出S△BCO=2是解答本题的关键．
17.【答案】解：2x2−3x−1=0，
a=2，b=−3，c=−1，
∴△=b2−4ac=9+8=17，
∴x=3± 174，
x1=3+ 174，x2=3− 174．
【解析】此题这样考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握求根公式即可解决问题．
利用公式法解方程即可求解．
18.【答案】解： 3tan60°−(π−3.14)0+ 12
= 3× 3−1+2 3
= 3× 3−1+2 3
=2+2 3．
【解析】将特殊角的三角函数值代入计算即可．
本题考查了含特殊角的三角函数值的运算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
19.【答案】解：原式=(x−1)÷x2−2x+1x
=(x−1)⋅x(x−1)2
=xx−1，
当x= 2+1时，
原式= 2+1 2+1−1
=1+ 22．
【解析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
先化简分式，然后将x的值代入计算即可．
20.【答案】证明：∵∠A=60°，∠ADE=50°，
∴∠AED=180°−∠A−∠ADE=70°，
∵∠B=70°，
∴∠B=∠AED，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
【解析】根据三角形内角和定理可得∠B=∠AED，即可证明△ADE∽△ACB．
本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
21.【答案】(1)如图所示：△DEF，即为所求；
(2)点E在直线OA上，
理由：设直线OA的解析式为：y=kx，
将A(3,2)代入得：2=3k，
解得：k=23，故直线OA的解析式为：y=23x，
当x=6时，y=23×6=4，
故点E在直线OA上；
(3)是．
【解析】解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)△OAB与△DEF是位似图形．
故答案为：是．
【分析】
(1)根据题意将各点坐标扩大2倍得出答案；
(2)求出直线OA的解析式，进而判断E点是否在直线上；
(3)利用位似图形的定义得出△OAB与△DEF的关系．
此题主要考查了位似变换以及待定系数法求正比例函数解析式，正确把握位似图形的定义是解题关键．
22.【答案】(1)解：作法1
作法2
作法3
所以点D为所求作点；
(2)证明：如图，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
又BD=CD，
∴∠CBD=∠C，
即∠CBD=∠A，
在△CDB与△CBA中，∠C=∠C，∠CBD=∠A，
∴△CDB∽△CBA，
∴CDBC=BCAC，
即BC2=AC⋅CD，
又AB=BC，
∴AB2=AC⋅CD．
【解析】(1)利用尺规作线段BC的垂直平分线，交AC于点D，
(2)根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，证明△CDB∽△CBA即可．
本题考查了作垂直平分线，相似三角形的性质与判定，掌握垂直平分线的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
23.【答案】解：(1)解：如图，过E作EO⊥CD，交CD于点O，交FG于点H．

则在Rt△CEO中，CO=CE⋅cs∠ECO=5.4×cs28°=4.752(米)．
∵△ECD是等腰三角形，
∴CD=2CO≈9.5(米)．
∵四边形CDGF是矩形，
∴FG=CD=9.5(米)．
(2)如图，过A作AI⊥EH，交EH于点I．
在Rt△EAI中，EI=AE⋅sin∠EAI=6×sin28°=2.82(米)．
在Rt△ECO中，EO=CE⋅sin∠ECO=5.4×sin28°=2.538(米)，
∴EH=EO+OH=EO+CF=6.038(米)，
∴IH=EH−EI=3.218≈3.2(米)，
即点A到屋面FG的距离约为3.2米．
【解析】(1)如图，过E作EO⊥CD，交CD于点O，交FG于点H.运用三角函数解直角三角形可得CO=4.752，然后再根据等腰三角形的性质可得CD=2CO≈9.5，然后再根据矩形的性质即可解答；
(2)如图，过A作AI⊥EH，交EH于点I.再解直角三角形可得EI=2.82、EO=2.538，然后再根据EH=EO+OH求得EH，最后根据IH=EH−EI即可解答．
本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形的应用、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用三角函数解直角三角形成为解答本题的关键．
24.【答案】解：(1)过点C作CF⊥HD于F，

∵AD/​/BC，AH⊥BC，
∴AH⊥AD，
在Rt△ADH中，AH=2，AD=1，
由勾股定理得：DH= AD2+AH2= 5，
∵HC=CD，CF⊥HD，
∴HF=DF=12HD= 52，
∵AH⊥BC，CF⊥HD，
∴∠AHC=∠CFH=90°，
∴∠AHD+∠DHC=∠DHC+∠FCH，
∴AHD=∠FCH，
又AH⊥AD，
∴∠HADF=∠CFH=90°，
∴△ADH∽△FHC，
∴AD：HF=AH：CF，
∴AD⋅CF=HF⋅AH，
即：1×CF= 52×2，
∴CF= 5，
在Rt△HCF中，CF= 5，HF= 52，
由勾股定理得：CH= CF2+HF2=2.5，
∴CD=CH=2.5．
(2)过点E作EP⊥BC于P，过点D作DQ⊥BC于Q，

∵BH=x，DE=12BH，
∴DE=12x，
由(1)可知：CD=HC=2.5，
∴EC=CD−DE=5−x2，
∵AH⊥BC，AH⊥AD，DQ⊥BC，AD//BC，
∴四边形AHQD为矩形，
∴DQ=AH=2，
∵EP⊥BC，DQ⊥BC，
∴EP//DQ，
∴△CPE∽△CQD，
∴EC：CD=EP：DQ，
即：EP⋅CD=DQ⋅EC，
即：EP×2.5=2×5−x2，
∴EP=10−2x5，
在Rt△CEP中，EC=5−x2，EP=10−2x5，
由勾股定理得：CP=3(5−x)10，
∵BP=BH+CH−CP，
即：BP=13x+1010，
∵AH⊥BC，EP⊥BC，
∴AH//EP，
∴△BHM∽△BPE，
∴BH：BP=HM：EP，
∴HM⋅BP=BH⋅EP，
即：y⋅13x+1010=x⋅10−2x5，
整理得：y=20x−4x213x+10．
【解析】(1)过点C作CF⊥HD于F，先计算出DH= 5，再根据等腰三角形的性质得HF=DF=12HD= 52，然后证△ADH和△FHC相似，进而利用相似三角形的性质可得CF的长，最后利用勾股定理可求出CH的长，进而可得出答案；
(2)过点E作EP⊥BC于P，过点D作DQ⊥BC于Q，由DE=12BH，BH=x得DE=12x，EC=5−x2，证四边形AHQD为矩形得DQ=AH=2，再证△CPE和△CQD相似得EP=10−2x5，进而得CP=3(5−x)10，BP=13x+1010，最后再证△BHM和△BPE相似，利用相似三角形的性质即可得出y关于x的函数解析式．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例，难点是准确的作出辅助线，构造相似三角形．
25.【答案】(1)解：直线y=−43x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，
则点A、B的坐标：(6,0)、(0,8)，
则AB=10，
由题意得，OP=4t，BQ=5t，则PB=8−4t，
若△AOB和以B、P、Q为顶点的三角形相似时，
则存在∠BPQ=90°或∠BQP=90°，
则csB=BPBQ 或BQBP=OAAB=810=45，
即5t8−4t=45或8−4t5t=45，
解得：t=1或3241；
(2)解：由(1)知，BQ=5t，
过点Q作QN⊥y轴于点N，

则BN=BQcsB=5t×45=4t，则NQ=3t，
则点Q(3t,8−4t)，
设AP交OQ于点H，
在Rt△OAH中，tan∠PAO×tan∠QOA=1，
由点A、P、Q的坐标得，tan∠PAO×tan∠QOA=4t6×8−4t3t=1，
解得：t=0(舍去)或78；
(3)证明：由中点坐标公式得，PQ的中点坐标为：(3t2,4)，
则PQ的中点在OB的中垂线上，
即PQ的中点在△AOB的一条中位线上．
【解析】(1)若△AOB和以B、P、Q为顶点的三角形相似时，则存在∠BPQ=90°或∠BQP=90°，则csB=BPBQ 或BQBP=OAAB=810=45，即可求解；
(2)在Rt△OAH中，tan∠PAO×tan∠QOA=1，即可求解；
(3)证明：由中点坐标公式得，PQ的中点坐标为：(3t2,4)，则PQ的中点在OB的中垂线上，即可求解．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形、中位线的性质等，有一定的综合性，难度适中．