天津市红桥区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 若分式有意义，则该分式中的字母x满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义，分母不等于0求解即可得到答案；
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故选：C．
2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称图形，如果一个图形沿某一条直线对折，对折后的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，据此逐项判断即可．
【详解】解：A．“旭”字找不到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．“日”字沿中轴线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．“东”字找不到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．“升”字找不到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可．
【详解】A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了是否构成三角形，熟练掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘除法、积的乘方等知识．根据同底数幂的乘除法、积的乘方法则逐一解答．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
5. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为，的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C. 三边分别相等的两个三角形全等
D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据中点得到，再根据对顶角相等，得到，即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴；
∴理论依据是：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
故选A．
6. 计算的结果是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是分式的加减，先通分最简公分母是，再根据分母不变，把分子相加减约分后可得答案．
【详解】解：原式
，
故选：A．
7. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，根据，求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得
，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项正确，符合题意．
故选：D．
8. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式应用，根据完全平方公式逐一判断各个选项即可．
【详解】A. ，错误，不符合题意；
B. ，正确，符合题意；
C. ，错误，不符合题意；
D. ，错误，不符合题意；
故选：B．
9. 把多项式分解因式，其结果是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据把多项式写成几个因式的积的形式叫做因式分解，判断即可．本题考查了因式分解的定义即把多项式写成几个因式的积的形式，正确理解定义是解题的关键．
【详解】解：．
故选：B．
10. 分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．
【详解】解：原方程去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：将代入得，
故原方程的解为，
故选：C．
11. 阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）

A. 且B. 且
C. 且D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答．
详解】解：由作图过程可得：，
∵，
∴．
∴．
∴A选项符合题意；
不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；
不能确定,故C选项不符合题意，
不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．
12. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边上，连接，．有下列命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
其中，正确命题的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，根据可得，结合，无法证明,继而得不到，可判断①；结合，可得，可证，继而判断②④；结合，可得，可证，继而判断③；解答即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
无法证明,
继而得不到，
故①错误；
∵，
∵，
∴，
∴，，
∴②④正确；∵，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∴正确命题的个数是3个．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题；每小题3分，共18分）
13. 计算的结果等于 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，利用平方差公式即可算得答案．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
14. 将多项式分解因式的结果等于________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
15. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点．若，，则的长是 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查等角对等边及垂直平分线的性质，根据，得到，
【详解】解：∵，，
∴，
∵是垂直平分线，
∴，
故答案为：2．
16. 分式方程的解为 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解分式方程，根据解分式方程的步骤去分母、移项合并同类项和系数化为1，并检验即可．
【详解】解：原方程去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：将代入得，
故原方程解为，
故答案为：．
17. 一个多边形内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】多边形的外角和是，多边形的内角和是外角和的2倍，
它的内角和是，
设这个多边形的边数为，根据题意得
，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步程或推理过程）
18. 如图，在中，，，．
（1）的面积等于_______．
（2）D为的中点，P是上的动点，连接，．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点P；并简要说明点P的位置是如何找到的．（保留作图痕迹，不要求证明）
【答案】（1）6 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图——作轴对称点，
（1）根据三角形的面积公式即可求解；
（2）作点B关于的对称点，连接交于点P，，结合两点之间线段距离最短点P即为所求．
【小问1详解】
解：（1）∵，，，
∴．
故答案为：6；
【小问2详解】
如图，作点B关于的对称点，连接交于点P，点P即为所求．
19. 在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为．若与关于x轴对称，点A，B，C的对应点分别为，，．请在图中作出，并写出点，，的坐标．

【答案】见解析，点
【解析】
【分析】本题考查了关于x轴对称的作图．根据横不变，纵相反，计算坐标，并画图即可．
【详解】∵与关于x轴成轴对称，，
∴，画图如下：

则即为所求．且．
20. 如图，，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，根据题意证明，继而得，证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴
∴，
∴．
21. 先化简，再求值：
（1），其中，；
（2），其中．
【答案】（1），
（2），1
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值题，
利用完全平方公式和多项式乘以多项式展开，再去括号合并同类项，代入化简后的结果求值即可．
先把括号内的通分后，利用平方差公式展开，直接相加合并同类项，再把分式的分子利用平方差公式因式分解约分化简，然后代入求值即可．
【小问1详解】
解：
，
当，时，原式．
【小问2详解】
，
当时，原式．
22. 如图，在中，，为的角平分线．以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，连接，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，角的平分线，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理
（1）根据，结合，证明：即可．
（2）根据，结合，可得，结合，平分，可得．根据计算即可．
【小问1详解】
证明：根据以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴．
∴．
23. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电柱．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？
【答案】（1）型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元
（2）购买16个A型充电桩、9个B型充电桩总费用最少
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，找到题目中的数量关系是解本题关键．
（1）设型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价万元，根据“用15万元购买型充电桩与用20万元购买型充电桩的数量相等”列出方程，求解并检验方程的根即可；
（2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据总费用型单价型数量型单价型数量，列出不等式组，求出的解集，取符合题意的整数解，即可得出各购买方案，再对方案分析即可得购买总费用最少的方案．
【小问1详解】
解：设型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元．
【小问2详解】
解：设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，
根据题意得：，
解得：，
∵为整数，
或15或16，
∴该停车场共有3种购买方案：
方案一：购买14个型充电桩、11个型充电桩；
方案二：购买15个型充电桩、10个型充电桩；
方案三：购买16个型充电桩、9个型充电桩；
∵型充电桩的单价低于型充电桩的单价，
∴购买A型充电桩越多总费用越低，
∴购买16个型充电桩、9个型充电桩总费用最少．
24. 在和中，，，，连接，．

【发现问题】如图①，若，延长交点D，则与的数量关系是_________，的度数为_________．
【类比探究】如图②，若，延长，相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由．
【拓展延伸】如图③，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】【发现问题】，；【类比探究】，理由见解析；【拓展延伸】，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先根据证明≌，再根据全等三角形的性质得出答案，仿照上述过程解答后两问.
【详解】，，
理由如下：如图1所示，设与交于点O，

∵，
∴，
即.
∵，，
∴≌，
∴，.
∵，，
∴．
故答案为：，；
，.
理由如下：如图2，

∵，
∴，
即.
∵，，
∴≌，
∴，.
∵，，
∴，
∴．
，
理由如下：如图3，

∵，
∴，
即，
∵，，
∴≌，
∴.
∵，，，
∴，即.
∵，
∴．