第6章平面向量及其应用6.2.1向量的加法运算学案含解析

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6.2　平面向量的运算6.2.1　向量的加法运算在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一桶水，两人手臂夹角越小越省力．在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力．问题：你能从数学的角度解释上述现象吗？知识点1　向量的加法1．向量加法的定义(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋0＝a．2．向量求和的法则3．|a＋b|与|a|、|b|之间的关系一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？[提示]　不是，向量相加要考虑大小及方向，而模相加是数量的加法．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任意两个向量的和仍然是一个向量． (　　)(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加． (　　)(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线． (　　)(4)|a|＋|b|＞|a＋b|． (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×知识点2　向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a．(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．2．(1)eq \o(CB,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(BA,\s\up7(→))等于(　　)A．eq \o(DB,\s\up7(→))　　　　B．eq \o(CA,\s\up7(→))　　　　C．eq \o(CD,\s\up7(→))　　　　D．eq \o(DC,\s\up7(→))(2)如图，在平行四边形ABCD中，eq \o(DA,\s\up7(→))＋eq \o(DC,\s\up7(→))＝________．(3)小船以10eq \r(,3) km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h．(1)C　(2)eq \o(DB,\s\up7(→))　(3)20　[(1)eq \o(CB,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(BA,\s\up7(→))＝eq \o(CB,\s\up7(→))＋eq \o(BA,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))＝eq \o(CD,\s\up7(→))．(2)由平行四边形法则可知eq \o(DA,\s\up7(→))＋eq \o(DC,\s\up7(→))＝eq \o(DB,\s\up7(→))．(3)根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际速度的大小为eq \r(,10\r(,3)2＋102)＝20(km/h)．] 类型1　向量加法的三角形法则和平行四边形法则【例1】　(1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填一个向量)：①eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(DF,\s\up7(→))＝________；②eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(FC,\s\up7(→))＝________；③eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(FC,\s\up7(→))＝________．(2)(对接教材P8例1)①如图甲所示，求作向量和a＋b；②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c．甲　　　　　　　乙1．向量加法的三角形法则和平行四边形法则的使用条件有什么不同？两者有何联系？[提示]　(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示，eq \o(AC,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))(平行四边形法则)，又因为eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AD,\s\up7(→))，所以eq \o(AC,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))(三角形法则)．2．设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，eq \o(A1A2,\s\up7(→))＋eq \o(A2A3,\s\up7(→))＋eq \o(A3A4,\s\up7(→))＋…＋An－1An的运算结果是什么？[提示]　将三角形法则进行推广可知eq \o(A1A2,\s\up7(→))＋eq \o(A2A3,\s\up7(→))＋eq \o(A3A4,\s\up7(→))＋…＋An－1An＝eq \o(A1An,\s\up7(→))．(1)①eq \o(AC,\s\up7(→))　②eq \o(AB,\s\up7(→))　③eq \o(AC,\s\up7(→))　[如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：①eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(DF,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))．②eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(FC,\s\up7(→))＝eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(DB,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))．③eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(FC,\s\up7(→))＝eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(DF,\s\up7(→))＋eq \o(FC,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))．](2)[解]　①首先作向量eq \o(OA,\s\up7(→))＝a，然后作向量eq \o(AB,\s\up7(→))＝b，则向量eq \o(OB,\s\up7(→))＝a＋b．如图所示．②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq \o(OA,\s\up7(→))＝a，再作向量eq \o(AB,\s\up7(→))＝b，则得向量eq \o(OB,\s\up7(→))＝a＋b，然后作向量eq \o(BC,\s\up7(→))＝c，则向量eq \o(OC,\s\up7(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq \o(OA,\s\up7(→))＝a，eq \o(OB,\s\up7(→))＝b，eq \o(OC,\s\up7(→))＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则eq \o(OD,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→))＝a＋b．再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则eq \o(OE,\s\up7(→))＝eq \o(OD,\s\up7(→))＋eq \o(OC,\s\up7(→))＝a＋b＋c，即为所求．1．在本例(1)条件下，求eq \o(CB,\s\up7(→))＋eq \o(CF,\s\up7(→))．[解]　因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以eq \o(CB,\s\up7(→))＋eq \o(CF,\s\up7(→))＝eq \o(CD,\s\up7(→))．2．在本例(1)图形中求作向量eq \o(DA,\s\up7(→))＋eq \o(DF,\s\up7(→))＋eq \o(CF,\s\up7(→))．[解]　过A作AG∥DF交CF的延长线于点G，则eq \o(DA,\s\up7(→))＋eq \o(DF,\s\up7(→))＝eq \o(DG,\s\up7(→))，作eq \o(GH,\s\up7(→))＝eq \o(CF,\s\up7(→))，连接eq \o(DH,\s\up7(→))，则eq \o(DH,\s\up7(→))＝eq \o(DA,\s\up7(→))＋eq \o(DF,\s\up7(→))＋eq \o(CF,\s\up7(→))，如图所示．1．应用三角形法则应注意的问题使用三角形法则求两个向量的和时，应注意“首尾相连，起点指终点”，即首尾相连的两个向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点．2．应用平行四边形法则应注意的问题(1)平行四边形法则只适用于求不共线的两个向量的和．(2)基本步骤可简述为：共起点，两向量所在线段为邻边作平行四边形，找共起点的对角线对应的向量．eq \o([跟进训练])1．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq \o(OP,\s\up7(→))＋eq \o(OQ,\s\up7(→))＝(　　)A．eq \o(OE,\s\up7(→))　　　　 B．eq \o(OF,\s\up7(→))C．eq \o(OG,\s\up7(→)) D．eq \o(OH,\s\up7(→))B　[以OP，OQ为邻边作平行四边形，则OP与OQ之间的对角线OF对应的向量eq \o(OF,\s\up7(→))即所求向量．] 类型2　向量加法运算律的应用【例2】　(1)化简：①eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(AB,\s\up7(→))；②eq \o(DB,\s\up7(→))＋eq \o(CD,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))；③eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(DF,\s\up7(→))＋eq \o(CD,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(FA,\s\up7(→))．(2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：①eq \o(DG,\s\up7(→))＋eq \o(EA,\s\up7(→))＋eq \o(CB,\s\up7(→))；②eq \o(EG,\s\up7(→))＋eq \o(CG,\s\up7(→))＋eq \o(DA,\s\up7(→))＋eq \o(EB,\s\up7(→))．[解]　(1)①eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))．②eq \o(DB,\s\up7(→))＋eq \o(CD,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(CD,\s\up7(→))＋eq \o(DB,\s\up7(→))＝0．③eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(DF,\s\up7(→))＋eq \o(CD,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(FA,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(CD,\s\up7(→))＋eq \o(DF,\s\up7(→))＋eq \o(FA,\s\up7(→))＝0．(2)①eq \o(DG,\s\up7(→))＋eq \o(EA,\s\up7(→))＋eq \o(CB,\s\up7(→))＝eq \o(GC,\s\up7(→))＋eq \o(BE,\s\up7(→))＋eq \o(CB,\s\up7(→))＝eq \o(GC,\s\up7(→))＋eq \o(CB,\s\up7(→))＋eq \o(BE,\s\up7(→))＝eq \o(GB,\s\up7(→))＋eq \o(BE,\s\up7(→))＝eq \o(GE,\s\up7(→))．②eq \o(EG,\s\up7(→))＋eq \o(CG,\s\up7(→))＋eq \o(DA,\s\up7(→))＋eq \o(EB,\s\up7(→))＝eq \o(EG,\s\up7(→))＋eq \o(GD,\s\up7(→))＋eq \o(DA,\s\up7(→))＋eq \o(AE,\s\up7(→))＝eq \o(ED,\s\up7(→))＋eq \o(DA,\s\up7(→))＋eq \o(AE,\s\up7(→))＝eq \o(EA,\s\up7(→))＋eq \o(AE,\s\up7(→))＝0．向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．eq \o([跟进训练])2．向量(eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(PB,\s\up7(→)))＋(eq \o(BO,\s\up7(→))＋eq \o(BM,\s\up7(→)))＋eq \o(OP,\s\up7(→))化简后等于(　　)A．eq \o(BC,\s\up7(→))　　　　B．eq \o(AB,\s\up7(→))　　　　C．eq \o(AC,\s\up7(→))　　　　D．eq \o(AM,\s\up7(→))D　[原式＝(eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BM,\s\up7(→)))＋(eq \o(PB,\s\up7(→))＋eq \o(BO,\s\up7(→))＋eq \o(OP,\s\up7(→)))＝eq \o(AM,\s\up7(→))＋0＝eq \o(AM,\s\up7(→))．] 类型3　向量加法的实际应用【例3】　如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的质量忽略不计)．[解]　如图所示，设eq \o(CE,\s\up7(→))，eq \o(CF,\s\up7(→))分别表示A，B所受的力，10 N的重力用eq \o(CG,\s\up7(→))表示，则eq \o(CE,\s\up7(→))＋eq \o(CF,\s\up7(→))＝eq \o(CG,\s\up7(→))．易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°．∴|eq \o(CE,\s\up7(→))|＝|eq \o(CG,\s\up7(→))|·cos 30°＝10×eq \f(\r(3),2)＝5eq \r(3)，|eq \o(CF,\s\up7(→))|＝|eq \o(CG,\s\up7(→))|·cos 60°＝10×eq \f(1,2)＝5．∴A处所受的力的大小为5eq \r(3) N，B处所受的力的大小为5 N．利用向量的加法解决实际应用问题的步骤是什么？你认为有哪些关键点和技巧？[提示]　(1)利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤(2)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量．(3)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．eq \o([跟进训练])3．如图所示，在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[解]　设eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(BC,\s\up7(→))分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是|eq \o(AB,\s\up7(→))|＋|eq \o(BC,\s\up7(→))|；两次飞行的位移的和是eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))．依题意，有|eq \o(AB,\s\up7(→))|＋|eq \o(BC,\s\up7(→))|＝800＋800＝1 600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以|eq \o(AC,\s\up7(→))|＝eq \r(,\o(|\o(AB,\s\up7(→))|2＋|\o(BC,\s\up7(→))|2))＝eq \r(,8002＋8002)＝800eq \r(,2)(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°．从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800eq \r(,2) km，方向为北偏东80°.1．(多选题)下列各式一定成立的是(　　)A．a＋b＝b＋a　　　　　　 B．0＋a＝aC．eq \o(AC,\s\up7(→))＋eq \o(CB,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→)) D．|a＋b|＝|a|＋|b|ABC　[A，B，C项满足运算律及运算法则，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等，需满足三角形法则．]2．(多选题)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为eq \o(BC,\s\up7(→))的是(　　)A．eq \o(BA,\s\up7(→))＋eq \o(AC,\s\up7(→)) B．eq \o(BD,\s\up7(→))＋eq \o(DA,\s\up7(→))＋eq \o(AC,\s\up7(→))C．eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BD,\s\up7(→))＋eq \o(DC,\s\up7(→)) D．eq \o(DC,\s\up7(→))＋eq \o(BA,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))ABD　[在A中，eq \o(BA,\s\up7(→))＋eq \o(AC,\s\up7(→))＝eq \o(BC,\s\up7(→))；在B中，eq \o(BD,\s\up7(→))＋eq \o(DA,\s\up7(→))＋eq \o(AC,\s\up7(→))＝eq \o(BA,\s\up7(→))＋eq \o(AC,\s\up7(→))＝eq \o(BC,\s\up7(→))；在C中，eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BD,\s\up7(→))＋eq \o(DC,\s\up7(→))＝eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(DC,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))；在D中，eq \o(DC,\s\up7(→))＋eq \o(BA,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))＝eq \o(DC,\s\up7(→))＋eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \o(BD,\s\up7(→))＋eq \o(DC,\s\up7(→))＝eq \o(BC,\s\up7(→))．]3．如图，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是(　　)A．eq \o(FD,\s\up7(→))＋eq \o(DA,\s\up7(→))＝eq \o(FA,\s\up7(→))B．eq \o(FD,\s\up7(→))＋eq \o(DE,\s\up7(→))＋eq \o(EF,\s\up7(→))＝0C．eq \o(DE,\s\up7(→))＋eq \o(DA,\s\up7(→))＝eq \o(EC,\s\up7(→))D．eq \o(DA,\s\up7(→))＋eq \o(DE,\s\up7(→))＝eq \o(FD,\s\up7(→))D　[由向量加法的平行四边形法则，可知eq \o(DA,\s\up7(→))＋eq \o(DE,\s\up7(→))＝eq \o(DF,\s\up7(→))≠eq \o(FD,\s\up7(→))．]4．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________．13　[|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为13．]5．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝________km，a＋b的方向是________．8eq \r(2)　东北方向　[如图所示，作eq \o(OA,\s\up7(→))＝a，eq \o(AB,\s\up7(→))＝b，则a＋b＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \o(OB,\s\up7(→))．所以|a＋b|＝|eq \o(OB,\s\up7(→))|＝eq \r(82＋82)＝8eq \r(2)(km)，因为∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北方向．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)向量加法的概念是什么？(2)向量加法的“三角形法则”和“平行四边形法则”的内容是什么？如何选用？(3)向量加法的交换律和结合律是什么？学 习 任 务核 心 素 养1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律．(难点)2．掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．(重点)3．能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点)1．教材从几何角度给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，结合了对应的物理模型，提升直观想象和数学建模的核心素养．2．对比数的加法，给出了向量的加法运算律，培养数学运算的核心素养．三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq \o(AB,\s\up7(→))＝a，eq \o(BC,\s\up7(→))＝b，则向量eq \o(AC,\s\up7(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作eq \o(AB,\s\up7(→))＝a，eq \o(AD,\s\up7(→))＝b，以eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(AD,\s\up7(→))为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量eq \o(AC,\s\up7(→))＝a＋b