第8章立体几何初步8.5.1直线与直线平行学案含解析

这是一份第8章立体几何初步8.5.1直线与直线平行学案含解析，共7页。

8.5　空间直线、平面的平行8.5.1　直线与直线平行如图，在长方体ABCD ­A′B′C′D′中，BB′∥AA′，DD′∥AA′．问题：BB′与DD′平行吗？知识点1　直线与直线平行1．已知在棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．平行　[如图所示，∵M，N分别为CD，AD的中点，MNeq \f(1,2)AC，由正方体的性质可得ACA′C′，∴MNeq \f(1,2)A′C′，即MN与A′C′平行．]知识点2　空间等角定理(1)文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．(2)符号语言：如图①②所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′B′，则∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°．图①　　　　　　图②(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同(或相反)，那么这两个角相等；(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且一边的方向相同，另一边的方向相反，那么这两个角互补．2．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　)A．30°　　　　　　 B．30°或150°C．150° D．以上结论都不对B　[因为AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR与∠ABC相等或互补．因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°．] 类型1　平行线传递性的应用【例1】　在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点．求证：四边形B1EDF是菱形．[证明]　取B1C1的中点G，连接GD1，GE，则GE∥C1C∥D1D，GE＝C1C＝D1D，∴四边形GEDD1是平行四边形，GD1∥ED，GD1＝ED．∵FD1∥B1G，FD1＝B1G，∴四边形FB1GD1是平行四边形，∴B1F∥GD1，B1F＝GD1，∴B1F∥ED，B1F＝ED，∴四边形B1EDF是平行四边形，又B1E＝eq \r(BB\o\al(2,1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC))eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(5),2)BB1，B1F＝eq \r(B1A\o\al(2,1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)A1D1))eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(5),2)A1B1，A1B1＝BB1，∴B1E＝B1F，∴四边形B1EDF是菱形．空间两条直线平行的证明判断两条直线平行，除了平面几何中常用的判断方法以外，基本事实4，即平行线的传递性，也是判断两直线平行的重要依据．解题时要注意中位线的作用．eq \o([跟进训练])1．如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．[证明]　如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1．∵E是AA1的中点，∴EQA1D1．∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，∴EQB1C1，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1EC1Q．又Q，F分别是D1D，C1C的中点，∴QDC1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1QFD．又B1EC1Q，∴B1EFD，故四边形B1EDF为平行四边形． 类型2　等角定理的应用【例2】　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1．[证明]　(1)∵ABCD­A1B1C1D1为正方体．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1．又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM．同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM．∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1．法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM．同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM．又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1．证明两角相等的方法有哪些？[提示]　证明角相等，利用空间等角定理是常用的思考方法；另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等．在应用等角定理时，应注意当两个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反时，这两个角相等，否则这两个角互补．因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的．eq \o([跟进训练])2．如图，已知三棱锥A­BCD的四个面分别是△ABC，△ABD，△ACD和△BCD，E，F，G分别为线段AB，AC，AD上的点，EF∥BC，FG∥CD．求证：△EFG∽△BCD．[证明]　∵在△ABC中，EF∥BC，∴eq \f(AE,EB)＝eq \f(AF,FC)．又FG∥CD，∴eq \f(AF,FC)＝eq \f(AG,GD)．∴eq \f(AE,EB)＝eq \f(AG,GD)，∴EG∥BD．∵∠EFG与∠BCD的两条边分别对应平行，且方向相同，∴∠EFG＝∠BCD．同理∠FGE＝∠CDB．∴△EFG∽△BCD．1．若直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则b与c(　　)A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线C　[若b∥c，由a∥b，知a∥c，这与a，c异面相矛盾，则b与c不可能平行，故选C．]2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的是(　　)A．OB∥O1B1，且方向相同B．OB∥O1B1，方向可能不同C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行D　[当∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1时，OA与O1A1的方向相同，OB与O1B1不一定平行，如图所示，故选D．]3．如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为________．6　[eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(EH綉\f(1,2)BD,FG綉\f(1,2)BD))⇒EH＝FG＝eq \f(1,2)BD＝1．同理EF＝GH＝eq \f(1,2)AC＝2，所以四边形EFGH的周长为6．]4．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．平行　[在△ABC中，因为AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC．又BC∥B1C1，所以EF∥B1C1．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)基本事实4的内容是什么？有什么作用？(2)如何证明两直线平行？(3)空间等角定理的内容是什么？有什么作用？(4)证明空间角相等的方法有哪些？.学 习 任 务核 心 素 养1．理解并掌握基本事实4，并会用其解决相关直线与直线平行问题．2．理解等角定理，并会用其解决有关问题．1．通过基本事实4和等角定理内容的学习，培养数学抽象和直观想象的核心素养．2．通过基本事实4及等角定理的应用，培养直观想象和逻辑推理能力．文字语言平行于同一条直线的两条直线平行(基本事实4)图形语言符号语言直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c作用证明或判断两条直线平行说明基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性