第8章立体几何初步8.5.2直线与平面平行学案含解析

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8.5.2　直线与平面平行在生活中，注意到门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象．问题：(1)上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？(2)若判断直线与平面平行，由上述问题你能得出一种方法吗？知识点1　直线与平面平行的判定定理如果直线a与平面α内的一条直线b平行，直线a与平面α一定平行吗？[提示]　不一定，直线a可能在平面α内．1．下列条件中能确定直线a与平面α平行的是(　　)A．a⊄α，b⊂α，a∥bB．b⊂α，a∥bC．b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥cD．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BDA　[由直线与平面平行的判定定理知选A．]知识点2　直线与平面平行的性质定理2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若直线l∥平面α，直线a⊂平面α，则l∥a． (　　)(2)若直线m∥平面α，n∥平面α，则m∥n． (　　)[答案]　(1)×　(2)×3．如图，在三棱锥S ­ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　　)A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能B　[∵平面SBC∩平面ABC＝BC，又∵EF∥平面ABC，∴EF∥BC．]4．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线有________条．1　[如图所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．] 类型1　直线与平面平行的判定【例1】　(对接教材P138练习2)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN．求证：MN∥平面AA1B1B． [证明]　法一：如图①，作ME∥BC，交BB1于点E，作NF∥AD，交AB于点F，连接EF，①则EF⊂平面AA1B1B，且eq \f(ME,BC)＝eq \f(B1M,B1C)，eq \f(NF,AD)＝eq \f(BN,BD)．∵在正方体ABCD­A1B1C1D1中，CM＝DN，B1C＝BD，∴B1M＝NB．∴eq \f(ME,BC)＝eq \f(BN,BD)＝eq \f(NF,AD)．又AD＝BC，∴ME＝NF．又ME∥BC∥AD∥NF，∴四边形MEFN为平行四边形．∴MN∥EF．∵MN⊄平面AA1B1B，EF⊂平面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B．法二：如图②，连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接B1P，则B1P⊂平面AA1B1B．②∵△NDC∽△NBP，∴eq \f(DN,NB)＝eq \f(CN,NP)．又CM＝DN，B1C＝BD，∴eq \f(CM,MB1)＝eq \f(DN,NB)＝eq \f(CN,NP)．∴MN∥B1P．∵MN⊄平面AA1B1B，B1P⊂平面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B．证明直线与平面平行的步骤是什么？[提示]　证明直线与平面平行，可以用定义，也可以用判定定理，但说明直线与平面没有公共点不是很容易(当然也可用反证法)，所以更多的是用判定定理，用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下：eq \o([跟进训练])1．如图，P是▱ABCD所在平面外一点，E，F分别为AB，PD的中点，求证：AF∥平面PEC．[证明]　设PC的中点为G，连接EG，FG．∵F为PD的中点，∴GF∥CD，且GF＝eq \f(1,2)CD．∵AB∥CD，AB＝CD，E为AB的中点，∴GF∥AE，GF＝AE，∴四边形AEGF为平行四边形，∴EG∥AF．又∵AF⊄平面PEC，EG⊂平面PEC，∴AF∥平面PEC． 类型2　直线与平面平行的性质【例2】　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形．[证明]　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN．同理，AB∥PQ，所以MN∥PQ．同理可得MQ∥NP．所以截面MNPQ是平行四边形．1．若本例条件不变，求证：eq \f(BP,PD)＝eq \f(AM,MC)．[证明]　由例1知PQ∥AB，∴eq \f(BP,PD)＝eq \f(AQ,QD)．∵QM∥DC，∴eq \f(AQ,QD)＝eq \f(AM,MC)．∴eq \f(BP,PD)＝eq \f(AM,MC)．2．若本例中添加条件：AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，且BP∶PD＝1∶1，求四边形MNPQ的面积．[解]　由例2知，四边形MNPQ是平行四边形，∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM，∴四边形MNPQ是矩形．∵BP∶PD＝1∶1，∴PQ＝eq \f(1,2)AB，QM＝eq \f(1,2)CD．∴PQ＝5，QM＝4，∴四边形MNPQ的面积为5×4＝20．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行.eq \o([跟进训练])2．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，P，Q分别为棱AA1，AC的中点．在平面ABC内过点A作AM∥平面PQB1交BC于点M，并写出作图步骤，但不要求证明．[解]　取BB1中点E，连接AE，则AE∥PB1，连接CE，取CE中点N，连接QN，则QN∥AE，所以QN∥PB1，即Q，N，P，B1四点共面，连接B1N并延长交BC于H，连接QH，则Q，H，B1，P四点共面，过A作AM∥QH交BC于M，即为所求． 类型3　直线与平面平行的判定与性质【例3】　求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．1．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？[提示]　不是．2．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？[提示]　若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a相互平行．[解]　已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β．求证：a∥l．证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b．同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c．则b∥c．又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β．又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l．又∵a∥b，∴a∥l．线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行.利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：1确定或寻找一条直线平行于一个平面；2确定或寻找过这条直线且与这个平行平面相交的平面；3确定交线；4由性质定理得出线线平行的结论.eq \o([跟进训练])3．若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．[解]　已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l．求证：a∥b∥l．证明：如图所示，∵a∥b，b⊂β，a⊄β，∴a∥β，又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l．1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交D　[直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．]2．若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．平行或相交或b在α内　[如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设平面ABCD为α，A1B1为a，则a∥α，当分别取EF，BC1，BC为b时，均满足a与b异面，于是b∥α，b∩α＝B，b⊂α(其中E，F为棱的中点)．]3．过正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1．求证：BB1∥EE1．[证明]　如图所示，∵CC1∥BB1，CC1⊄平面BEE1B1，∴CC1∥平面BEE1B1．又∵平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，∴CC1∥EE1．由于CC1∥BB1，∴BB1∥EE1．回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)直线与平面平行的判定定理的内容是什么？应用此定理应注意什么问题？(2)判定直线与平面平行的方法有哪些？(3)直线与平面平行的性质定理的内容是什么？(4)线线平行与线面平行之间是如何转化的？学 习 任 务核 心 素 养1．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点)2．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点)借助直线与平面平行的判定与性质定理，提升逻辑推理的核心素养．文字语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行图形语言符号语言a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α作用证明直线与平面平行文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行图形语言符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b作用证明两条直线平行