第8章立体几何初步8.6.2第2课时线面垂直的性质与空间距离学案含解析

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第2课时　线面垂直的性质与空间距离知识点1　直线与平面垂直的性质定理在长方体ABCD­A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直线与平面ABCD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？[提示]　棱AA′，BB′所在直线都与平面ABCD垂直；这两条直线互相平行．1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则(　　)A．B1B⊥lB．B1B∥lC．B1B与l异面但不垂直D．B1B与l相交但不垂直B　[因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以l∥B1B．]知识点2　空间距离1．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．2．已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的距离为(　　)A．1　　　　B．eq \r(2)　　　　C．2eq \r(2)　　　　D．2eq \r(3)B　[如图，连接AC，DB交于点O，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，∵DB⊥AC，BB1⊥AC，BB1∩DB＝B，∴AC⊥平面BDD1B1．∴点C到平面BDD1B1的距离为CO．∵AB＝2，∴AC＝2eq \r(2)，∴CO＝eq \f(1,2)AC＝eq \r(2)．] 类型1　线面垂直性质定理的应用【例1】　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：MN∥AD1．[解]　因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．证明线线平行常用的方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．eq \o([跟进训练])1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a⊂β，a⊥AB．求证：a∥l．[证明]　因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA．同理l⊥EB．又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB．因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB．由线面垂直的性质定理，得a∥l． 类型2　空间中的距离问题【例2】　如图，在四棱锥P­ABCD中，CD⊥平面PAD，AD＝2PD＝4，AB＝6，PA＝2eq \r(5)，∠BAD＝60°，点Q在棱AB上．(1)证明：PD⊥平面ABCD；(2)若三棱锥P­ADQ的体积为2eq \r(3)，求点B到平面PDQ的距离．[解]　(1)证明：因为AD＝2PD＝4，PA＝2eq \r(5)，所以PA2＝PD2＋AD2，即PD⊥AD，因为CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，且AD∩CD＝D．所以PD⊥平面ABCD．(2)因为三棱锥P­ADQ的体积为2eq \r(3)，所以eq \f(1,3)S△ADQ·PD＝2eq \r(3)，所以S△ADQ＝3eq \r(3)．所以eq \f(1,2)AD·AQ·sin 60°＝3eq \r(3)，所以AQ＝3．所以Q为AB中点，即点A到平面PDQ的距离等于点B到平面PDQ的距离．在△ADQ中，由余弦定理可得DQ＝eq \r(AD2＋AQ2－2AD·AQcos 60°)＝eq \r(13)．所以S△PDQ＝eq \f(1,2)×PD×DQ＝eq \r(13)．由VP­ADQ＝VA­PDQ⇒2eq \r(3)＝eq \f(1,3)×eq \r(13)×d，所以d＝eq \f(6\r(39),13)．所以点B到平面PDQ的距离为eq \f(6\r(39),13)．空间中距离的转化(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离．(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．eq \o([跟进训练])2．在如图所示的几何体中，ABC­A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，AA1＝AC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°．(1)求证：AC1⊥平面A1B1CD；(2)若CD＝2，求C1到平面A1B1CD的距离．[解]　(1)因为ABC­A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，又AA1＝AC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°，所以四边形AA1C1C是正方形，所以AC1⊥A1C．设CD＝a，则AD＝2a，AC＝eq \r(a2＋4a2－2×a×2a×cos 60°)＝eq \r(3)a，所以CD2＋AC2＝AD2，所以AC⊥DC，所以AC⊥AB，因为AA1⊥AB，AC∩AA1＝A，所以AB⊥平面ACC1A1，又AB∥A1B1，AC1⊂平面ACC1A1，所以A1B1⊥AC1．因为A1B1∩A1C＝A1，所以AC1⊥平面A1B1CD．(2)因为CD＝2，所以AD＝4，AC＝AA1＝eq \r(16－4)＝2eq \r(3)，所以AC1＝2eq \r(6)．所以点C1到平面A1B1CD的距离为eq \f(1,2)AC1＝eq \r(6)． 类型3　直线与平面垂直关系的综合应用【例3】　如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，求证：PB⊥EF．[证明]　因为PA⊥平面ABC，BC在平面ABC上，所以PA⊥BC．又AB是圆O的直径，所以AC⊥BC．又AC，PA在平面PAC中交于A，所以BC⊥平面PAC．又AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF．因为AF⊥PC，BC，PC在平面PBC中交于C，所以AF⊥平面PBC．又PB⊂平面PBC，所以AF⊥PB．又AE⊥PB，AF，AE在平面AEF中交于A，所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF．关于线面垂直判定、性质的应用(1)分析已知的垂直关系，得出能够推出的线线、线面垂直，即挖掘已知条件，以方便后续证明．(2)证明垂直关系时往往需要逆向思维，如要证明直线a垂直于平面α内直线b，可以考虑证明直线b垂直于直线a所在的平面β．(3)掌握线线、线面垂直的相互转化．eq \o([跟进训练])3．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2．(1)求证：CD⊥平面PAC；(2)在棱PC上是否存在点H，使得AH⊥平面PCD？若存在，确定点H的位置；若不存在，说明理由．[解]　(1)由题意，可得DC＝AC＝eq \r(2)，又AD＝2，所以AC2＋DC2＝AD2，即AC⊥DC，又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又因为PA∩AC＝A，所以DC⊥平面PAC．(2)过点A作AH⊥PC，垂足为H，由(1)可得CD⊥AH，又PC∩CD＝C，所以AH⊥平面PCD，因为在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝eq \r(2)，eq \f(PH,PA)＝eq \f(PA,PC)，解得PH＝eq \f(2\r(6),3)，所以PH＝eq \f(2,3)PC，即在棱PC上存在点H，且PH＝eq \f(2,3)PC，使得AH⊥平面PCD．1．如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定B　[由PB⊥α，AC⊂α，得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，所以△ABC为直角三角形．]2．如图，ABCD­A1B1C1D1为正方形，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1，其中正确结论的个数是(　　)A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3D　[由正方体的性质得BD∥B1D1，所以结合线面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1，所以①正确．由正方体的性质得AC⊥BD，因为AC是AC1在底面ABCD内的射影，所以由三垂线定理可得：AC1⊥BD，所以②正确．由正方体的性质得BD∥B1D1，由②可得AC1⊥BD，所以AC1⊥CB1，进而结论线面垂直的判定定理得到：AC1⊥平面CB1D1，所以③正确．故选：D．]3．已知四边形ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，当平行四边形ABCD满足条件________时，有PC⊥BD(填上你认为正确的一个条件即可)．[答案]　四边形ABCD为菱形(答案不唯一)4．在矩形ABCD中，AB＝2eq \r(2)，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，则a的最小值为________．4eq \r(2)　[假设在BC边上存在点Q，使得PQ⊥DQ，连接AQ，因为在矩形ABCD中，AB＝2eq \r(2)，BC＝a，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DQ，因为PQ⊥DQ，PA∩PQ＝P，所以DQ⊥平面PAQ，所以DQ⊥AQ，所以∠AQD＝90°，由题意得△ABQ∽△QCD，所以eq \f(AB,QC)＝eq \f(BQ,CD)，设BQ＝x，所以x(a－x)＝8，即x2－ax＋8＝0(*)，当Δ＝a2－32≥0时，(*)方程有解，所以当a≥4eq \r(2)时，在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，故a的最小值为4eq \r(2)．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)线面垂直的性质定理的内容是什么？(2)空间中的距离包括哪几类？它们之间是如何转化的？(3)如何求空间中点到平面的距离？学 习 任 务核 心 素 养1．理解直线与平面垂直的性质定理．(重点)2．能利用直线与平面垂直的性质定理进行证明．(难点)3．理解空间距离相关定义并会求相应的距离．通过学习直线与平面垂直的性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养．文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b图形语言作　用证明两条直线平行