高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性学案，共9页。

3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”．
问题：上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？事件A和事件B相互独立吗？
知识点 事件的相互独立性
1．相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2．相互独立事件的性质
当事件A，B相互独立时，则事件A与事件eq \(B,\s\up7(－))相互独立，事件eq \(A,\s\up7(－))与事件B相互独立，事件eq \(A,\s\up7(－))与事件eq \(B,\s\up7(－))相互独立．
(1)事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？
(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？
[提示] (1)对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立．
(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( )
(2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )
(3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是( )
A．A与B，A与C均相互独立
B．A 与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥
D．A与B互斥，A与C相互独立
A [由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A．]
3．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，则他连续做对第1题和第2题的概率是( )
A．0.64 B．0.56 C．0.81 D．0.99
C [设Ai表示“第i题做对”，i＝1,2，则P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81．]
4．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．
eq \f(1,2) [由题意知P＝eq \f(8,8＋4)×eq \f(6,6＋6)＋eq \f(4,8＋4)×eq \f(6,6＋6)＝eq \f(1,2)．]
类型1 独立性的判断
【例1】 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
[解] (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形为Ω1＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，共有4个样本点，由等可能性知概率均为eq \f(1,4)．
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(3,4)，P(AB)＝eq \f(1,2)．
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形为Ω2＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，共有8个样本点，由等可能性知概率均为eq \f(1,8)．
这时A＝{(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，B＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，AB＝{(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，
于是P(A)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4)，P(B)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(3,8)．
显然有P(AB)＝eq \f(3,8)＝P(A)P(B)成立．
所以事件A与B是相互独立的．
判断两个事件是否相互独立的方法有哪些？
[提示] (1)定量法：利用P(AB)＝P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立．
(2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件的发生的概率是否有影响，若没有影响就是相互独立事件．
eq \([跟进训练])
1．判断下列各对事件是不是相互独立事件．
(1)甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”；
(3)一个布袋里有大小完全相同的3个白球，2个红球，“从中任意取1个球是白球”与“取出的球不放回，再从中任意取1个球是红球”．
[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．
(2)由于把取出的水果又放回筐内，故“从中任意取出1个，取出的是苹果”这一事件是否发生对“再从筐内任意取出1个，取出的是梨”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．
(3)不放回地取球，前者的发生影响后者发生的概率，所以二者不是相互独立事件．
类型2 相互独立事件概率的计算
【例2】 (对接教材P248例2)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为eq \f(2,5)，eq \f(3,4)，eq \f(1,3)，且各自能否被选中互不影响．求：
(1)3人同时被选中的概率；
(2)3人中恰有1人被选中的概率．
[解] 记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，
则P(A)＝eq \f(2,5)，P(B)＝eq \f(3,4)，P(C)＝eq \f(1,3)．
(1)3人同时被选中的概率P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,10)．
(2)3人中恰有1人被选中的概率P2＝P(Aeq \x\t(B) eq \x\t(C)∪eq \x\t(A) Beq \x\t(C)∪eq \x\t(A) eq \x\t(B) C)＝eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))×eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))×eq \f(1,3)＝eq \f(5,12)．
1．本例条件不变，求3人中至少有1人被选中的概率．
[解] 法一：3人中有2人被选中的概率P3＝P(ABeq \x\t(C)∪Aeq \x\t(B)C∪eq \x\t(A)BC)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(23,60)．
由本例第(1)(2)问可知，3人中至少有1个被选中的概率为P＝P1＋P2＋P3＝eq \f(1,10)＋eq \f(5,12)＋eq \f(23,60)＝eq \f(9,10)．
法二：3人均未被选中的概率P＝P(eq \x\t(A) eq \x\t(B) eq \x\t(C))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(1,10)．
因为“3人中至少有1人被选中”与“3人均未被选中”是相互对立事件，所以“3人中至少有1人被选中”的概率为1－eq \f(1,10)＝eq \f(9,10)．
2．若本例条件“3人能被选中的概率分别为eq \f(2,5)，eq \f(3,4)，eq \f(1,3)”变为“甲、乙两人恰有一人被选中的概率为eq \f(11,20)，两人都被选中的概率为eq \f(3,10)，丙被选中的概率为eq \f(1,3)”，求恰好有2人被选中的概率．
[解] 设甲、乙两人恰有一人被选中为事件A，甲、乙都被选中为事件B，丙被选中为事件C，则恰好有2人被选中的概率P＝P(A)P(C)＋P(B)P(eq \x\t(C))＝eq \f(11,20)×eq \f(1,3)＋eq \f(3,10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(23,60)．
用相互独立事件的乘法公式解题的步骤
(1)用恰当的字母表示题中有关事件．
(2)根据题设条件，分析事件间的关系．
(3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)．
(4)利用乘法公式计算概率．
eq \([跟进训练])
2．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为eq \f(1,3)，甲胜丙的概率为eq \f(1,4)，乙胜丙的概率为eq \f(1,3)．
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．
[解] (1)设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A，则P(A)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(1,18)．
(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B∪C，
则P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)．
类型3 相互独立事件的概率的综合应用
【例3】 三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，eq \f(3,4)，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路．
(1)在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？
(2)三个元件连成怎样的电路，才能使电路不发生故障的概率最大？
如果事件A，B相互独立，事件AB的对立事件是eq \x\t(A) eq \x\t(B)吗？
[提示] 如果事件A，B相互独立，事件AB的对立事件是eq \x\t(A) eq \x\t(B)∪eq \x\t(A)B∪Aeq \x\t(B).
[解] (1)电路不发生故障包括三种情况，
一是三个元件都正常工作，
二是T1正常工作，T2正常工作，T3不能正常工作，
三是T1正常工作，T2不能正常工作，T3正常工作，
这三种情况是互斥的，每一种情况里三个元件是否正常工作是相互独立的，
∴电路不发生故障的概率P＝eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)×eq \f(3,4)＝eq \f(15,32)．
(2)把T2或T3与T1的位置互换，所得电路不发生故障的概率P′＝eq \f(3,4)×eq \f(1,2)×eq \f(3,4)＋eq \f(3,4)×eq \f(1,2)×eq \f(3,4)＋eq \f(3,4)×eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＝eq \f(21,32)．
∵eq \f(21,32)＞eq \f(15,32)，∴把T2或T3与T1的位置互换，即T1与T2(T3)并联后再与T3(T2)串联，这样的电路能使电路不发生故障的概率最大．
事件间的独立性关系
已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有
eq \([跟进训练])
3．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
(1)求P；
(2)求电流能在M与N之间通过的概率．
[解] 记事件Ai表示“电流能通过Ti”，i＝1,2,3,4，
事件A表示“T1，T2，T3中至少有一个能通过电流”，
事件B表示“电流能在M与N之间通过”．
(1)eq \x\t(A)＝eq \x\t(A)1 eq \x\t(A)2 eq \x\t(A)3，A1，A2，A3相互独立，
所以P(eq \(A,\s\up7(－)))＝P(eq \x\t(A)1 eq \x\t(A)2 eq \x\t(A)3)＝P(eq \x\t(A)1)P(eq \x\t(A)2)P(eq \x\t(A)3)＝(1－P)3．
又P(eq \x\t(A))＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，
所以(1－P)3＝0.001，解得P＝0.9．
(2)因为B＝A4＋eq \x\t(A)4A1A3＋eq \x\t(A)4 eq \x\t(A)1A2A3，
所以P(B)＝P(A4)＋P(eq \x\t(A)4A1A3)＋P(eq \x\t(A)4 eq \x\t(A)1A2A3)
＝P(A4)＋P(eq \x\t(A)4)P(A1)P(A3)＋P(eq \x\t(A)4)P(eq \x\t(A)1)P(A2)P(A3)
＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9
＝0.989 1．
1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥
A [对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．]
2．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是( )
A．eq \f(5,24) B．eq \f(5,12) C．eq \f(1,24) D．eq \f(3,8)
C [两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(9,36)×eq \f(6,36)＝eq \f(1,24)．]
3．某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
0.98 [至少有一个准时响的概率为1－(1－0.90)×(1－0.80)＝1－0.10×0.20＝0.98．]
4．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为eq \f(4,5)和eq \f(3,4)．在同一时间内，求：
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为________；
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为________．
(1)eq \f(3,5) (2)eq \f(19,20) [记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(4,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,5)．
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－P(eq \(A,\s\up7(－)) eq \(B,\s\up7(－)))＝1－P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))＝1－eq \f(1,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(19,20)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)相互独立事件的定义是什么？具有哪些性质？
(2)相互独立事件与互斥事件有什么区别？
学 习 任 务
核 心 素 养
1．结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．(重点、易混点)
2．结合古典概型，利用独立性计算概率．(重点、难点)
1．通过学习两个随机事件独立性的含义，培养数学抽象素养．
2．通过利用随机事件的独立性计算概率，培养数学运算素养．
事件
表示
概率
A，B同时发生
AB
P(A)P(B)
A，B都不发生
eq \x\t(A) eq \x\t(B)
P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))
A，B恰有一个发生
(A eq \x\t(B))∪(eq \x\t(A)B)
P(A)P(eq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A))P(B)
A，B中至少有一个发生
(A eq \x\t(B))∪(eq \x\t(A)B) ∪(AB)
P(A)P(eq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A))P(B)＋P(A)P(B)
A，B中至多有一个发生
(A eq \x\t(B))∪(eq \x\t(A)B) ∪(eq \x\t(A) eq \x\t(B))
P(A)P(eq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A))P(B)＋P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))