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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系教案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系教案，共8页。教案主要包含了引入，新课，例题，课堂小结，作业等内容，欢迎下载使用。
教学基本信息
课题
8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
学科
数学
学段：高一
年级
高一
教材
书名：人教A版数学必修第二册 出版社：人民教育出版社
出版日期：2019年6月
教学目标及教学重点、难点
本节课通过图形、实验、和说理，使学生进一步学习空间中两条直线之间的三种位置关系，重点理解两异面直线的定义；直线与平面之间的三种位置关系，以及不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言进行表示；培养学生数学抽象、逻辑推理以及直观想象的能力；同时为下一步学习判断直线与平面的平行、垂直打基础．在教学过程中设计了四道例题.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
新课
一、引入
由上一小节“平面”的学习，我们认识了空间中，点、直线、平面之间的一些位置关系，如点在平面内，直线在平面内，两个平面相交，等等，空间中，点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？
我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面，12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面，观察：如图所示的长方体，点与直线，点与平面之间有哪些不同的位置关系？
【分析】经观察我们不难得到： 空间中、点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外. 例如，点A在直线AB上，却在直线A1B1外.空间中、点与平面的位置关系也有两种：点在平面内和点在平面外. 例如，点A在平面ABCD内，却在平面A1B1C1D1外.
二、新课
1、空间中直线与直线的位置关系．
还是请同学们观察：如图所示的长方体中,直线与直线之间有哪些不同的位置关系？
经过观察我们不难发现，直线AB与DC在同一个平面ABCD内,它们没有公共点,它们是平行直线;直线AB与BC也是在同一个平面ABCD内,它们只有一个公共点B,它们是相交直线; 那么，直线AB与CC1具有怎样的位置关系呢？
直观上这两条直线没有公共点，其次它们既不是平行直线又不是相交直线，因此，它们不会同在任何一个平面内，因为，如果他们同在某一个平面内，那么他们必定是平行直线或者是相交直线了．看来，没有公共点，不同在任何一个平面内，是它的两个显著的特征．
生活中具有这样位置关系的例子有很多．
观察：黑板一侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？
观察：旗杆所在的直线与其正后方跑道所在直线是什么位置关系？
1.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（skew lines）
思考：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面直线？
【答案】不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行．
经过以上的分析，我们可以得出，空间中两条直线的位置关系有三种：
2.异面直线的画法：
画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，我们常借助一个平面或两个平面来衬托．这样的衬托使得两条直线是不共面的特点更加立体直观，否则，就难以画出让人一目了然的两条异面直线，而且很容易与两条相交直线混淆．
2、直线与平面的位置关系
还请同学们观察如图所示的长方体中,直线与平面有哪些不同的位置关系？
经观察不难发现：在长方体中直线与平面之间共有三种不同的位置关系，比如，直线AB与平面ABCD，直线AA1与平面ABCD，以及直线A1B1与平面ABCD．同时我们还发现这些不同的位置关系都分别和直线与平面的公共点的个数有关．请看，直线AB与平面ABCD有无数公共点，直线AA1与平面ABCD有且只有一个公共点A，而直线A1B1与平面ABCD没有公共点.
观察:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？
也不难发现有三种可能的情况：一、笔与作业本有无数个公共点；二、笔与作业本有且只有一个公共点；三、笔与作业本没有公共点．
我们可以定义出，直线与平面的位置关系有且只有三种．
当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外．
方法：判断直线与平面的位置关系关键在于——判断直线与平面的交点个数．
直线与平面的位置关系的图形及符号进行表示．
符号表示：
在作图时，一般地，直线在平面内，应把直线画在表示平面的平行四边形内；直线在平面外(当然是指直线与平面平行或相交的情况)，应把直线或它的一部分画在表示平面的平行四边形外，这样画出来的位置关系更加立体直观！另外，我们常把直线与平面相交或平行的情况称为直线在平面外，所以符号记作aα．
思考：“直线与平面不相交”和“直线与平面没有公共点”是一回事吗？
提示：显然不是一回事，根据空间中直线与平面的位置关系，直线与平面不相交包括直线与平面平行及直线在平面内两种可能情况；而直线与平面没有公共点仅指直线与平面平行．看来只要同学们清晰直线与平面的三种关系，解决这样的问题就会轻而易举．
3、平面与平面之间的位置关系
观察:如图所示的长方体中，平面与平面之间有哪些不同的位置关系呢？
也是不难观察到，长方体各面之间有两种不同的位置关系：比如，平面ABCD与平面A1B1C1D1之间；平面ABCD与平面BCC1B1之间．类似刚刚研究直线与平面之间位置关系的过程，发现它们的区别也是在于它们之间是否有公共点．显然，平面ABCD与平面A1B1C1D1没有公共点；而平面ABCD与平面BCC1B1有无数个公共点（由基本事实3我们知道这些公共点的集合是一条直线）所以我们也可以说平面ABCD与平面BCC1B1有一条公共直线BC．
观察：教室里的地面与桌面、黑板面所在墙面与地面之间有哪些关系？
【答案】桌面与地面平行，墙面与地面：相交．
我们可以看出，两个平面之间的位置关系有且只有两种：即两个平面平行，两个平面相交.
（1）两个平面平行---没有公共点；
（2）两个平面相交---有一条公共直线.
图形及符号表示：
符号表示： α∩β＝l
注意：画两个互相平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．
思考：
1、若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之间有什么位置关系？
提示：答案是平行 因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，那么，所有直线构成的该平面与另一平面也没有公共点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行．
2、若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行是否正确？
提示：不正确．如图，
设α∩β＝l，则在平面α内与交线l平行的直线可以有无数条且它们是一组平行直线，同时这些平行直线与平面β也都平行，但此时平面α不平行于β，而是α与β 相交．
通过复习上节所学知识，引入本节新课．建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力．
通过观察图形，引入新课，提高学生分析问题的能力．
通过观察实际生活中的例子，引入异面直线，提高学生分析问题、概括能力．
通过思考题，进一步理解异面直线的定义．
通过观察与思考，得到直线与平面的位置关系，提高学生的分析问题、观察思考能力．
通过观察，得到平面与平面的位置关系，提高学生的分析问题、观察思考能力．
通过思考题，进一步熟悉直线、平面之间的位置关系，提高学生解决问题的能力．
例题
三、例题
例题.如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．
解：在（1）中，
在（2）中，
例题 判断下列命题是否正确．
(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//α ；
(2)若l//α，则直线l 与平面α内任一条直线都平行；
(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
(4)若l//α，则直线l与平面α内任意一条直线都没有公共点．
答案：(1)错误；(2)错误；(3)错误；(4)正确
这道例题要求我们，要弄清楚空间中点、直线、平面之间各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，同时要有画图意识，或者借助熟悉的长方体，充分发挥自己的空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题．
例题 如图直线AB与直线a具有怎样的位置关系？为什么？
解：直线AB与a是异面直线．理由如下．
若直线AB与直线a不是异面直线，则它们相交或平行．
设它们确定的平面为，则．由于经过点B与直线a有且仅有一个平面，因此平面与平面重合，从而，进而，这与矛盾．所以直线AB与a是异面直线．
方法总结：判断两直线是异面直线的方法：1.异面直线的定义；
2.与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线．
例题 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么，AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线呢？
【答案】共3对：AB与CD，AB与GH，EF与GH．
这道题主要考察同学们的空间想象能力，识图、画图、用图能力，以及异面直线的判断方法，有一点的挑战性．
通过例题的讲解，让学生进一步理解直线、平面之间的位置关系及其符号表示，提高学生解决与分析问题的能力．
这道题主要考察同学们的空间想象能力，识图、画图、用图能力，以及异面直线的判断方法，有一点的挑战性．
小结
四、课堂小结
1.弄清楚空间中点、直线、平面之间各种位置关系的特征，利用其定义作出判断.同时要有画图意识，并借助于空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题.
2.长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何中的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之称.
通过方法总结，提高学生的概括能力、解决问题的能力．
作业
五、作业
作业一
1、画出满足下列条件的图形：
（1）a⊂α，b⊂α，a∩b=Α，c∩α=Α；
（2）α∩β=l，ΑΒ⊂α，CD⊂β，ΑΒ//l，CD//l．
2、填空题
（1）如果a，b是异面直线，直线c与a，b都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有_______个；
（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是_____________；
（3）已知两条相交直线a，b，且a//平面α，则b与α的位置关系是___________；
（4）已知直线a，b，平面α，β，且a⊂α，b⊂β，α//β．则直线a与b的位置关系是_____________．
作业二
写一段个人学习感想：哪个知识最重要，最有用，需要注意的关键之处等．
课后作业，加深对知识的理解和掌握.
教学基本信息
课题
8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
学科
数学
学段：高一
年级
高一
教材
书名：人教A版数学必修第二册 出版社：人民教育出版社
出版日期：2019年6月
教学目标及教学重点、难点
本节课通过图形、实验、和说理，使学生进一步学习空间中两条直线之间的三种位置关系，重点理解两异面直线的定义；直线与平面之间的三种位置关系，以及不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言进行表示；培养学生数学抽象、逻辑推理以及直观想象的能力；同时为下一步学习判断直线与平面的平行、垂直打基础．在教学过程中设计了四道例题.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
新课
一、引入
由上一小节“平面”的学习，我们认识了空间中，点、直线、平面之间的一些位置关系，如点在平面内，直线在平面内，两个平面相交，等等，空间中，点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？
我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面，12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面，观察：如图所示的长方体，点与直线，点与平面之间有哪些不同的位置关系？
【分析】经观察我们不难得到： 空间中、点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外. 例如，点A在直线AB上，却在直线A1B1外.空间中、点与平面的位置关系也有两种：点在平面内和点在平面外. 例如，点A在平面ABCD内，却在平面A1B1C1D1外.
二、新课
1、空间中直线与直线的位置关系．
还是请同学们观察：如图所示的长方体中,直线与直线之间有哪些不同的位置关系？
经过观察我们不难发现，直线AB与DC在同一个平面ABCD内,它们没有公共点,它们是平行直线;直线AB与BC也是在同一个平面ABCD内,它们只有一个公共点B,它们是相交直线; 那么，直线AB与CC1具有怎样的位置关系呢？
直观上这两条直线没有公共点，其次它们既不是平行直线又不是相交直线，因此，它们不会同在任何一个平面内，因为，如果他们同在某一个平面内，那么他们必定是平行直线或者是相交直线了．看来，没有公共点，不同在任何一个平面内，是它的两个显著的特征．
生活中具有这样位置关系的例子有很多．
观察：黑板一侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？
观察：旗杆所在的直线与其正后方跑道所在直线是什么位置关系？
1.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（skew lines）
思考：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面直线？
【答案】不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行．
经过以上的分析，我们可以得出，空间中两条直线的位置关系有三种：
2.异面直线的画法：
画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，我们常借助一个平面或两个平面来衬托．这样的衬托使得两条直线是不共面的特点更加立体直观，否则，就难以画出让人一目了然的两条异面直线，而且很容易与两条相交直线混淆．
2、直线与平面的位置关系
还请同学们观察如图所示的长方体中,直线与平面有哪些不同的位置关系？
经观察不难发现：在长方体中直线与平面之间共有三种不同的位置关系，比如，直线AB与平面ABCD，直线AA1与平面ABCD，以及直线A1B1与平面ABCD．同时我们还发现这些不同的位置关系都分别和直线与平面的公共点的个数有关．请看，直线AB与平面ABCD有无数公共点，直线AA1与平面ABCD有且只有一个公共点A，而直线A1B1与平面ABCD没有公共点.
观察:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？
也不难发现有三种可能的情况：一、笔与作业本有无数个公共点；二、笔与作业本有且只有一个公共点；三、笔与作业本没有公共点．
我们可以定义出，直线与平面的位置关系有且只有三种．
当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外．
方法：判断直线与平面的位置关系关键在于——判断直线与平面的交点个数．
直线与平面的位置关系的图形及符号进行表示．
符号表示：
在作图时，一般地，直线在平面内，应把直线画在表示平面的平行四边形内；直线在平面外(当然是指直线与平面平行或相交的情况)，应把直线或它的一部分画在表示平面的平行四边形外，这样画出来的位置关系更加立体直观！另外，我们常把直线与平面相交或平行的情况称为直线在平面外，所以符号记作aα．
思考：“直线与平面不相交”和“直线与平面没有公共点”是一回事吗？
提示：显然不是一回事，根据空间中直线与平面的位置关系，直线与平面不相交包括直线与平面平行及直线在平面内两种可能情况；而直线与平面没有公共点仅指直线与平面平行．看来只要同学们清晰直线与平面的三种关系，解决这样的问题就会轻而易举．
3、平面与平面之间的位置关系
观察:如图所示的长方体中，平面与平面之间有哪些不同的位置关系呢？
也是不难观察到，长方体各面之间有两种不同的位置关系：比如，平面ABCD与平面A1B1C1D1之间；平面ABCD与平面BCC1B1之间．类似刚刚研究直线与平面之间位置关系的过程，发现它们的区别也是在于它们之间是否有公共点．显然，平面ABCD与平面A1B1C1D1没有公共点；而平面ABCD与平面BCC1B1有无数个公共点（由基本事实3我们知道这些公共点的集合是一条直线）所以我们也可以说平面ABCD与平面BCC1B1有一条公共直线BC．
观察：教室里的地面与桌面、黑板面所在墙面与地面之间有哪些关系？
【答案】桌面与地面平行，墙面与地面：相交．
我们可以看出，两个平面之间的位置关系有且只有两种：即两个平面平行，两个平面相交.
（1）两个平面平行---没有公共点；
（2）两个平面相交---有一条公共直线.
图形及符号表示：
符号表示： α∩β＝l
注意：画两个互相平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．
思考：
1、若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之间有什么位置关系？
提示：答案是平行 因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，那么，所有直线构成的该平面与另一平面也没有公共点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行．
2、若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行是否正确？
提示：不正确．如图，
设α∩β＝l，则在平面α内与交线l平行的直线可以有无数条且它们是一组平行直线，同时这些平行直线与平面β也都平行，但此时平面α不平行于β，而是α与β 相交．
通过复习上节所学知识，引入本节新课．建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力．
通过观察图形，引入新课，提高学生分析问题的能力．
通过观察实际生活中的例子，引入异面直线，提高学生分析问题、概括能力．
通过思考题，进一步理解异面直线的定义．
通过观察与思考，得到直线与平面的位置关系，提高学生的分析问题、观察思考能力．
通过观察，得到平面与平面的位置关系，提高学生的分析问题、观察思考能力．
通过思考题，进一步熟悉直线、平面之间的位置关系，提高学生解决问题的能力．
例题
三、例题
例题.如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．
解：在（1）中，
在（2）中，
例题 判断下列命题是否正确．
(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//α ；
(2)若l//α，则直线l 与平面α内任一条直线都平行；
(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
(4)若l//α，则直线l与平面α内任意一条直线都没有公共点．
答案：(1)错误；(2)错误；(3)错误；(4)正确
这道例题要求我们，要弄清楚空间中点、直线、平面之间各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，同时要有画图意识，或者借助熟悉的长方体，充分发挥自己的空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题．
例题 如图直线AB与直线a具有怎样的位置关系？为什么？
解：直线AB与a是异面直线．理由如下．
若直线AB与直线a不是异面直线，则它们相交或平行．
设它们确定的平面为，则．由于经过点B与直线a有且仅有一个平面，因此平面与平面重合，从而，进而，这与矛盾．所以直线AB与a是异面直线．
方法总结：判断两直线是异面直线的方法：1.异面直线的定义；
2.与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线．
例题 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么，AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线呢？
【答案】共3对：AB与CD，AB与GH，EF与GH．
这道题主要考察同学们的空间想象能力，识图、画图、用图能力，以及异面直线的判断方法，有一点的挑战性．
通过例题的讲解，让学生进一步理解直线、平面之间的位置关系及其符号表示，提高学生解决与分析问题的能力．
这道题主要考察同学们的空间想象能力，识图、画图、用图能力，以及异面直线的判断方法，有一点的挑战性．
小结
四、课堂小结
1.弄清楚空间中点、直线、平面之间各种位置关系的特征，利用其定义作出判断.同时要有画图意识，并借助于空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题.
2.长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何中的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之称.
通过方法总结，提高学生的概括能力、解决问题的能力．
作业
五、作业
作业一
1、画出满足下列条件的图形：
（1）a⊂α，b⊂α，a∩b=Α，c∩α=Α；
（2）α∩β=l，ΑΒ⊂α，CD⊂β，ΑΒ//l，CD//l．
2、填空题
（1）如果a，b是异面直线，直线c与a，b都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有_______个；
（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是_____________；
（3）已知两条相交直线a，b，且a//平面α，则b与α的位置关系是___________；
（4）已知直线a，b，平面α，β，且a⊂α，b⊂β，α//β．则直线a与b的位置关系是_____________．
作业二
写一段个人学习感想：哪个知识最重要，最有用，需要注意的关键之处等．
课后作业，加深对知识的理解和掌握.
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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系教案设计： 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系教案设计，共3页。
