高中数学8.6 空间直线、平面的垂直教案设计

这是一份高中数学8.6 空间直线、平面的垂直教案设计，共9页。


教学基本信息
课题
平面与平面垂直性质及应用
学科
数学
学段： 高一
年级
高一
教材
书名：普通高中教科书数学必修第二册 出版社：人民教育出版社
出版日期： 2019年6 月
教学目标及教学重点、难点
本节课主要掌握平面与平面垂直的性质定理并能够初步运用性质定理解决问题；对“垂直”关系进行梳理，理解直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质之间的关系，体会“降维”思想在立体几何中的应用.教学过程中重点关注学生直观想象、逻辑推理能力的发展.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
前面我们研究了平面与平面垂直的判定，下面我们来研究平面与平面垂直的性质.也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论.
如果两个平面互相垂直，根据以往的研究经验，我们从哪儿入手开始研究呢？我们可以先研究一个平面内的直线与另一个平面具有怎样的位置关系.
平面与平面垂直的判定与性质是我们研究的两个方面，性质的出发点是已知两个平面垂直，那么按照立体几何中“降维”的思想，很自然想到可以从“直线与平面”的位置关系入手进行研究.
新课
【探究】如图，设.则内任意一条直线与是什么关系？相应地，与有什么位置关系？为什么？
显然，与平行或相交.
（1）当时，；
（2）当与相交时，与也相交.
平行关系我们在前面已经研究过了，下面我们来研究特殊的相交情况，即的情况.
【思考】当时，与是什么位置关系？
设与的交点为，过点在内作直线，则直线所成的角就是二面角的平面角.
由，则.（平面与平面垂直的定义）
又因为，,则有.
由此，我们得到平面与平面垂直的性质定理：
定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
用符号语言表示如下：
已知平面，直线.若，且，则有
用图形表示如下图：
这个定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直.
这个定理可以用于解决现实生活中的问题.例如，装修房子时，要在墙壁上画出与地面垂直的直线，只需在墙面上画出地面与墙面交线的垂线即可.
【探究2】设，点在平面内，过点作平面的垂线，直线与平面具有什么位置关系？
设，过点在平面内作直线，根据平面与平面的性质定理知，.
因为过一点有且只有一条直线与平面垂直，所以直线与直线重合，因此有.

此结论说明，若两个平面垂直，则过一个平面内的点且垂直于另一个平面的直线必在此平面内.（垂直于两个平面的交线）
对于两个平面互相垂直的性质，我们前面探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系.如果直线不在平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论？希望同学们能在课下进行探究.
本探究问题的方法包含了两个层次：
1.将面面关系转化为线面关系；
2.在一个平面内研究线线关系，再从线线关系出发研究线面关系.
这样做更加易于学生接受.
进一步熟悉平面与平面垂直的概念以及线面垂直的判定定理.
实现定理三种语言之间的统一，便于学生直观理解.
此结论一定程度上可以看做是平面与平面垂直性质定理的逆定理，它也实现了从“面面关系”到“线线关系”的“降维”过程.
例题
例题 如图，已知，直线
判断与的关系.
例题 已知,,
求证：.
例题 如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．
求证：BC⊥平面PAB．
例题 如图，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD．
求证：平面VBC⊥平面VAC．
例题 如图，三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱与底面垂直，AC=9， BC=12，AB=15，AA'=12 ，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥B'C；
（2）求证：AC'∥平面CDB'．
例题 如图，已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，a α，判断 a与α的位置关系．
例题 已知平面α⊥平面β，平面γ∥平面α．
求证： γ⊥β．
例题 如图，已知平面满足，求证：.
课堂练习 如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD．
求证：AD⊥AC．
课堂练习 如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PDC是正三角形，且侧面PDC⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：平面BDE⊥平面PBC；
（2）求二面角B-DE-C的余弦值．
课堂练习 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E为DC的中点．以AE为折痕将△ADE折起，使D到达点P的位置，且平面PAE⊥平面ABCE．
（1）求证：BE⊥PA；
（2）对于线段PB上任意一点M，是否都有PA⊥EM成立？
请证明你的结论．
课堂练习 如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB=，CE=EF=1．
（1）求证：AF∥平面BDE；
（2）求证：CF⊥平面BDE．
进一步熟悉平面与平面垂直的性质定理，体会直线、平面之间位置关系的相互转化；在证明过程中要厘清证明的思路，强调严谨的推理和规范的书写，进一步提高学生的逻辑推理能力.
前面采用是“在一个平面内找一条直线，研究它与另一个平面的特殊位置关系”的方法，此处几个例题是从另一个角度进行研究：即如果直线不在平面内或者直线变成平面的情况.从而深化对平面与平面垂直性质定理的理解.
总结
至此，直线、平面间的垂直关系我们就讨论完了.由我们的讨论知道：
1.由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直；由直线与平面的垂直的定义可以得到直线与直线垂直；
2.由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直；而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直.
这进一步揭示了直线、平面之间的位置关系可以互相转化.
性质
判定
判定
直线与直
线垂直
直线与平面垂直
平面与平面垂直
将直线、平面之间的垂直关系进行总结，进一步体会直线、平面之间位置关系的相互转化.
作业
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）如果，那么平面内所有直线都垂直于平面. （ ）
（2）如果，那么平面内一定存在直线平行于平面. （ ）
（3）如果平面不垂直于平面，那么平面垂直于内一定不存在直线平面. （ ）
2.若，且，则下列命题中正确的个数是（ ）
（1）平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线.
（2）平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线.
（3）平面内的任一条直线必垂直于平面.
（4）过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面.
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
3.已知是两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
4.已知平面，直线，且，，，判断直线与平面的位置关系，并说明理由.