广东省广州市天河区新都学校2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份广东省广州市天河区新都学校2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷，共18页。
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+＝0B．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
C．（x+1）（x+2）＝1D．（x﹣3）2+4＝x2
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）关于x的方程：x2＝3x的解是（ ）
A．x＝3B．x1＝3，x2＝﹣3
C．x1＝﹣3，x2＝0D．x1＝3，x2＝0
4．（3分）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向左平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝（x+2）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣3
5．（3分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
6．（3分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是（ ）
A．55°B．45°C．42°D．40°
7．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+2，若点，都在该抛物线上，则y1，y2，y3大小关系为（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2
8．（3分）电影《孤注一掷》于2023年8月8日在中国大陆上映，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达13亿元，若把每天的平均增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝13
B．3（1+x）2＝13
C．3+3（1+x）2＝13
D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝13
9．（3分）二次函数y＝ax2+b的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点B在第一象限内，∠OAB＝120°，AO＝AB，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转后点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若函数y＝在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两个实数根的平方和等于16，k的值为 ．
13．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+c（c＞0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B左侧，若x1＜m＜x2，则当x＝m+2时，y 0（填“＞”“＝”或“＜”号）
14．（3分）若等腰三角形三边的长分别是a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个根，则满足上述条件的m的值为 ．
15．（3分）如图，C为线段AB的中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若AB＝2，AE＝4，则CD的长为 ．
16．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分xy对应值如表：
若n＞0，下列正确的有 （填序号即可）．
①ac＜0；②；③n＜16a；④n＝10时，（ax﹣1）x+b+c＝（1﹣x）b﹣1的解为x1＝﹣1，x2＝4．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0；
（2）x2+3x＝2（x+3）．
18．（6分）在△ABC中，∠CAB＝135°，AC＝2，△ABC顺时针旋转一定角度后与△AED重合，点E落在AB边上，且点E是AB的中点．
（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数；
（2）连接DC，求出DC的长．
19．（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在边长均为1个单位长度的正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
（3）写出△A1B1C1经过怎样的旋转可直接得到△A2B2C2．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0，
（1）求证：无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于1，求m的值．
21．（8分）哈市某展览馆计划将长60米，宽40米的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是个1500平方米的矩形展览区，四周留有等宽的通道．
（1）求通道的宽为多少米？
（2）若展览区用彩色地砖铺设，铺设每平方米需要80元，通道用白色地砖铺设，铺设每平方米需要60元，铺设整个展馆需要多少钱？
22．（8分）已知抛物线L：y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝2，交y轴于（0，4a）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）直线y＝kx﹣2k+4（k≠0）与抛物线L相交A，B两点（A在B的左侧），抛物线L的顶点记为点C；
①若点A的横坐标为1，△ABC的面积为10，求a的值；
②过点A作AE⊥x轴，垂足为E，延长AE交直线BC于F，求线段EF的长．
23．（8分）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2．求值：
（1）；
（2）；
（3）|x1﹣x2|．
24．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ．
（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图2，连接QP并延长，分别交AB、CD于点M、N．
①求证：PM＝QN；
②若MN的最小值为2，直接写出菱形ABCD的面积为 ．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第一象限，当S△NBC＝S△ABC时，求N点的坐标；
（3）我们通常用（a，b）表示整数a，b的最大公约数，例如（8，12）＝4．若（a，b）＝1，则称a、b互素，关于最大公约数有几个简单的性质：①（a，b）＝（a，ka+b），其中k为任意整数；②（a，b）＝（a，﹣b）；若点Q（a，b）满足：a，b均为正整数，且（a，b）＝1，则称Q点为“互素正整点”，当0≤x≤100时，该抛物线上有多少个“互素正整点”？
广东省广州市天河区新都学校2023-2024学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A．该方程是分式方程，该选项不符合题意；
B．方程含有两个未知数，它不是一元二次方程，该选项不符合题意；
C．该方程是一元二次方程，该选项符合题意；
D．化简后不是一元二次方程，该选项不符合题意；
故选：C．
2． 解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
3． 解：∵x2＝3x，
∴x2﹣3x＝0，
则x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
故选：D．
4． 解：∵原抛物线的顶点为（1，2），
∴向左平移3个单位后，得到的顶点为（﹣2，2），
∴平移后图象的函数解析式为y＝（x+2）2+2．
故选：C．
5． 解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
6． 解：∵△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，
∴∠AOD＝∠BOC＝40°，OA＝OD，∠B＝∠C，
∴∠A＝70°，
∵∠AOC＝105°，
∴∠AOB＝65°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB＝180°70°﹣65°＝45°，
∴∠C＝45°，
故选：B．
7． 解：∵y＝﹣x2+2x+2，
∴a＝﹣1，b＝2，c＝2，
∴抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝1，
∵，
∵且二次函数图象开口方向向下自变量距离对称轴越近函数值越大，
∴y1＜y3＜y2．
故选：C．
8． 解：若把每天的平均增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，
依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝13．
故选：D．
9． 解：如图所示：抛物线开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，b＞0，
故一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
10． 解：过点B作BH⊥y轴于H．
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠BAH＝180°﹣120°＝60°，AB＝OA＝2，
∴AH＝AB•cs60°＝1，BH＝AH＝，
∵∠BOH＝30°，
∴OB＝2BH＝2，B（，3），
由题意B1（﹣，3），B2（﹣2，0），B3（﹣，﹣3），B4（，﹣3），B5（2，0），…，6次一个循环，
∵2023÷6＝337…1，
∴B2023（﹣，3），
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：由题意得：3﹣2x≥0，
解得：x≤，
故答案为：x≤．
12． 解：∵关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，
解得，k≤1．
设方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0两个实数根为x1、x2．则
x1+x2＝2（k﹣1），x1•x2＝k2﹣1，
∴+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（k﹣1）2﹣2（k2﹣1）＝16，即k2﹣4k﹣5＝0，
解得，k1＝﹣1，k2＝5（不合题意，舍去），
故答案为：﹣1．
13． 解：∵抛物线y＝x2﹣2x+c（c＞0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），
对称轴为x＝1，
∴0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∵x1＜m＜x2，
∴0＜m＜2，
∴2＜m+2＜4，
∴当x＝m+2时，y＞0，
故答案为：＞．
14． 解：当a＝b时，关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×m＝0，
∴m＝4，
将m＝4代入原方程得x2﹣4x+4＝0，
解得：a＝b＝2，
∵2+2＝4，4＞3，
∴2，2，3能组成三角形，
∴m＝4符合题意；
当a≠b时，x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，
∴32﹣4×3+m＝0，
∴m＝3，
将m＝3代入原方程得x2﹣4x+3＝0，
解得：a＝1，b＝3，
∵1+3＝4，4＞3，
∴1，3，3能组成三角形，
∴m＝3符合题意．
综上，m的值为4或3，
故答案为：4或3．
15． 解：连接AD，过D作DF⊥AE于F，延长BA交DF的延长线于H，
∵D为AB垂直平分线上一点，AB＝2，
∴BD＝AD，AC＝AB＝，
∴∠ADC＝ADB，
∵将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，
∴DE＝BD，
∴DE＝AD，
∴∠ADF＝ADE，AF＝AE＝2，
∴∠HDC＝∠ADF+∠ADC＝BDE＝30°，
∵∠HCD＝∠AFH＝90°，
∴∠H＝60°，
∴∠CDH＝30°，AH＝，
∴CH＝AH+AC＝，
∴CD＝CH＝7，
故答案为：7．
16． 解：①函数的对称轴为直线x＝（0+2）＝1，即＝﹣1，则b＝﹣2a，
∵n＞0，故在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故抛物线开口向上，则a＞0，
而c＝﹣5，故ac＜0，所以①正确；
②∵对称轴在y轴的右侧，a＞0，
∴b＜0，
∵x＝1时，y＜﹣5，
∴a+b+c＜0，
∴a+c＜﹣b，
∴﹣＜1，故②错误；
③当x＝﹣3时，n＝y＝9a﹣3b+c＝15a+c，
∴c＝n﹣15a，
∵a＞c，
∴a＞n﹣15a，
∴16a＞n，故③正确；
④当n＝10时，即：x＝﹣3时，y＝10，
∵抛物线经过点（﹣3，10），（0，﹣5），（2，﹣5），
∴，解得，
（ax﹣1）x+b+c＝（1﹣x）b﹣1可以变形为ax2+bx+c＝x﹣1，即探讨一次函数y＝x﹣1与二次函数为y＝x2﹣2x﹣5图象的交点情况，
∵（﹣1，﹣2）和（4，3）是上述两个图象的交点，
∴关于x的一元二次方程，（ax﹣1）x+b+c＝（1﹣x）b﹣1的解为x1＝﹣1，x2＝4，④正确，
故答案为：①③④．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17． 解：（1）x2﹣2x﹣8＝0，
∴（x﹣4）（x+2）＝0，
∴x﹣4＝0，x+2＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣2；
（2）x2+3x＝2（x+3），
∴x（x+3）﹣2（x+3）＝0，
∴（x﹣2）（x+3）＝0，
∴x﹣2＝0，x+3＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣3．
18． 解：（1））∵△ABC顺时针旋转一定角度后与△AED重合，
∴旋转中心是点A，旋转角的度数∠BAD＝∠CAB＝135°；
（2）连接DC，
∵△ABC顺时针旋转一定角度后与△AED重合，
∴△ABC≌△AED，
∴AC＝AE＝2，AB＝AD，
∵点E是AB的中点，
∴AD＝2AE＝4，
∵∠DAC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴DC＝＝2．
19． 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；点C1的坐标（4，1）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；点B2的坐标（﹣3，﹣3）；
（3）△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2．
20． （1）证明：x2﹣（m+3）x+m+2＝0，
Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，
所以无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程有一个根的平方等于1，
∴此根是±1，
当根是1时，代入得：1﹣（m+3）+m+2＝0，
即0＝0，此时m为任何数；
当根是﹣1时，1+（m+3）+m+2＝0，
解得：m＝﹣3，
综上所述，m为任意实数．
21． 解：（1）设通道的宽为x米，则中间的矩形展览区的长为（60﹣2x）米，宽为（40﹣2x）米，
根据题意得：（60﹣2x）（40﹣2x）＝1500，
整理得：x2﹣50x+225＝0，
解得：x1＝5，x2＝45（不符合题意，舍去）．
答：通道的宽为5米．
（2）80×1500+60×（60×40﹣1500）
＝80×1500+60×（2400﹣1500）
＝80×1500+60×900
＝120000+54000
＝174000（元）．
答：铺设整个展馆需要174000元钱．
22． 解：（1）∵抛物线L：y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝2，交y轴于（0，4a），
∴﹣＝2，c＝4a，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax+4a＝a（x﹣2）2，
∴抛物线的顶点为（2，0）；
（2）①过点D作DM∥y轴，交直线AB于M，
∵D（2，0），
∴M的横坐标为2，
把x＝2代入y＝kx﹣2k+4得，y＝4，
∴DM＝4，
∵△ABC的面积为10，
∴×4•（xB﹣xA）＝10，
∴xB﹣xA＝5，
∵点A的横坐标为1，
∴点B的横坐标为6，
∴A（1，﹣k+4），B（6，4k+4），
把A、B的坐标代入y＝a（x﹣2）2，得，
解得a＝1；
②联立直线AB和抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
∴点A的坐标为（，），点B的坐标为（，+4）．
∵点C的坐标为（2，0）．
∴直线BC的解析式为y＝x﹣k﹣．
∵过点A作AE⊥x轴，垂足为E，与直线BD交于点F，
∴点E的坐标为（，0），点F的坐标为（，﹣4），
∴EF＝4．
23． 解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
（1）＝＝＝7；
（2）＝x1x2（x1+x2）＝1×3＝3；
（3））|x1﹣x2|＝＝＝．
24． （1）证明：四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，AB∥CD，
∴∠PBM＝∠PBC＝∠ABC＝30°，∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°，
由旋转的性质得：PC＝QC，∠PCQ＝120°，
∴∠BCD＝∠PCQ，
∴∠BCP＝∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，，
∴△BCP≌△DCQ（SAS）；
（2）①证明：由（1）得：△BCP≌△DCQ，
∴BP＝DQ，
∠QDC＝∠PBC＝∠PBM＝30°．
在CD上取点E，使QE＝QN，如图2所示：
则∠QEN＝∠QNE，
∴∠QED＝∠QNC＝∠PMB，
在△PBM和△QDE中，，
∴△PBM≌△QDE （AAS），
∴PM＝QE＝QN．
②解：由①知PM＝QN，
∴MN＝PQ＝PC，
∴当PC⊥BD时，PC最小，此时MN最小，
则PC＝2，BC＝2PC＝4，
∴菱形ABCD的面积＝2S△ABC＝2××42＝8；
故答案为：8．
25． 解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得：，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点M坐标为（1，﹣4）；
（2）∵N是抛物线上第一象限的点，
∴设N（t，t2﹣2t﹣3）（t＞0），又点C（0，﹣3），
设直线NC的解析式为y＝kx﹣3，N在直线NC上，解得k＝t﹣2，
∴直线NC的解析式为y＝（t﹣2）x﹣3，
设直线CN与x轴交于点D，
当y＝0时，x＝，
∴D（，0），BD＝3﹣，
∵S△NBC＝S△ABC，
∴S△CDB+S△BDN＝AB•OC，即BD•|yC﹣yN|＝[3﹣（﹣1）]×3，
即×（3﹣）[3﹣（﹣t2+2t+3）]＝6，
整理，得：t2﹣3t﹣4＝0，
解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去），
当t＝4时，t2﹣2t﹣3＝5，
∴N（4，5）；
（3）抛物线上的任意正整点R（横纵坐标为正整数的点）可以表示为R（t，t2﹣2t﹣3），t为正整数，且t≥4，
由性质①②，t与t2﹣2t﹣3的最大公约数（t，t2﹣2t﹣3）＝（t，（t﹣2）t﹣3）＝（t，﹣3）＝（t，3），
即只需满足（t，3）＝1即可，又因为3是素数，当且仅当t不是3的倍数时，t与3互素，
在4到100共97个数中，总共有32个数是3的倍数，
故共有65个数不是3的倍数，满足（t，t2﹣2t﹣3）＝1，
即在0≤x≤100时，该抛物线上有65个“互素正整点”．
x
﹣3
0
2
y
n
﹣5
﹣5