2024九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系学情评估新版试卷（山西专版北师大版）

这是一份2024九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系学情评估新版试卷（山西专版北师大版），共13页。
第一章学情评估一、选择题(每小题3分，共30分)1．tan 45°的值为(　　)A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D．12．一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为70°，则梯子底端到墙脚的距离为(　　)A．5cos 70°米 B．5sin 70°米 C.eq \f(5,tan 70°)米 D.eq \f(5,cos 70°)米3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正确的是(　　)A．tan A＝eq \f(5,12) B．tan A＝eq \f(5,13) C．sin A＝eq \f(5,12) D．cos A＝eq \f(5,12)4．如图，∠α的顶点为O，一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P(3，4)，则sin α＝(　　)A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,5) (第4题)　　 (第5题)　　 (第7题)　　 (第8题)5．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos α的值中，错误的是(　　)A.eq \f(BD,BC) B.eq \f(BC,AB) C.eq \f(AD,AC) D.eq \f(CD,AC)6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝eq \f(\r(2),3)，则cos B的值等于(　　)A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(2),3) D．17．如图，港口A在观测站O的正西方向，AO＝4 n mile，某船从港口A出发，沿北偏西30°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏西60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为(　　)A．2 eq \r(3) n mile B．4 n mile C.eq \r(3) n mile D．(eq \r(3)＋1) n mile8．如图为某大坝的横截面，斜坡AB的坡比为1∶2，背水坡CD的坡比为1∶1，若坡面CD的长度为6 eq \r(2)米，则斜坡AB的长度为(　　)A．4 eq \r(3)米 B．6 eq \r(3)米 C．6 eq \r(5)米 D．24米9．将一副三角尺按如图所示的方式摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于(　　)A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) C.eq \f(\r(3)＋1,3) D.eq \f(\r(3)－1,2) (第9题) 　　　 (第10题)10．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前C处的距离DC是20米，坡长BC是12米，斜坡BC的坡度为1∶eq \r(3)，则大楼AB的高度为(精确到0.1米，参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，eq \r(6)≈2.45)(　　)A．39.4米 B．37.9米 C．32.1米 D．30.6米二、填空题(每小题3分，共15分)11．计算eq \r(18)－4sin 45°的结果是________．12．如图，斜坡AB的坡度为1∶3，该斜坡的水平距离AC＝6米，那么斜坡AB的长等于______米． (第12题)　　 　 (第13题)　　　 (第14题)　　　 (第15题)13．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，BE＝4，cos A＝eq \f(3,5)，则菱形的周长为________．14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cos C＝eq \f(1,2)，AB＝6 eq \r(3)，AC＝6，则BC的长为________________________．15．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B(0，eq \r(3))，点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是________．三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16．(10分)计算：(1)sin2 30°＋cos2 30°＋tan 30°tan 60°；　　(2)tan 45°sin 45°－2sin 30°cos 45°.17．(8分)如图，AD是△ABC的中线，tan B＝eq \f(1,5)，cos C＝eq \f(,2)，AC＝.求：(1)BC的长；(2)∠ADC的正弦值．18．(7分)如图，小明在自己家中(点A处)分别测得正对面大楼最高处点C的仰角为60°，大楼底部点D的俯角为15°.已知两楼AB，CD之间的距离BD为60 m，求楼高DC.(参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27，≈1.73，结果保留整数)　(第18题)19．(8分)如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度为1∶，且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，M、E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度．(结果精确到1米，参考数据：≈1.73，≈1.41)．20．(8分)双塔寺，三晋名刹，位于太原市城区东南方向，距市中心四公里左右．文峰塔直上直下，呈直线型；舍利塔上下直径相差很大．周末，小明和小亮结伴游玩，他俩很想知道舍利塔的高度，但因舍利塔塔身在进行修缮，四周设置了围栏，无法靠近，只有文峰塔对游客开放．于是两人开展了测量舍利塔的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并完成了实地测量．两人分别在文峰塔中不同塔层的对应的东窗口处，分别测量了舍利塔塔顶的仰角，又合作测量了在不同塔层测仰角时测角仪相对地面的高度．为了减小测量误差，两人在测量所有数据时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整). (1)小亮在文峰塔中二层东窗口处测仰角时测角仪相对地面的高度BA的平均值是________．(精确到0.01 m)(2)根据以上测量结果，请你帮助小明求出舍利塔的高度GD.(精确到0.1m)(参考数据：sin 40.03°≈0.64，cos 40.03°≈0.77，tan 40.03°≈0.84，sin 44.83°≈0.71，cos 44.83°≈0.71，tan 44.83°≈0.99)(3)该二人小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目(写出一个即可)．21．(8分)请阅读下列材料，并完成相应的任务：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B).证明：如图①，过点C作CD⊥AB于点D，则在Rt△BCD中，CD＝a sin B；在Rt△ACD中，CD＝b sin A，∴a sin B＝b sin A．∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B).任务：(1)如图②，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)；(2)如图③，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80 m，求△ABC的面积．(结果保留根号．参考数据：sin 53°≈0.8，sin 67°≈0.9)22．(13分)综合与实践：【问题情境】在一节数学实践课上，老师出示了这样一道题，如图①，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，请用含a，c及∠B的三角函数的式子表示b2.【实践操作】经过同学们的思考后，甲同学说：要将锐角三角形转化为直角三角形来解决问题，并且不能破坏∠B，因此可以过点A作AD⊥BC于点D，如图②，大家认同；乙同学说：要想得到b2，要在Rt△ABD或Rt△ACD中解决；【探索发现】(1)丙同学说：那就要先求出AD＝________，BD＝________；(用含c及∠B的三角函数的式子表示)(2)丁同学顺着他们的思路，求出b2＝AD2＋DC2＝____________(其中sin2α＋cos2α＝1)；【解决问题】(3)请利用丁同学的结论解决如下问题：如图③，在四边形ABCD中，∠B＝∠ADC＝90°，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝5，求AC的长．　23．(13分)综合与探究：图①是太原市某前后门都是大小相等的双开门型公共汽车，前门上车，后门下车；图②是此公共汽车双开门开合过程中某一时刻俯视示意图，AB，CD，BD表示门轴的滑动轨道，且AB⊥BD，CD⊥BD，EF，GH分别代表两扇门，E，G分别在AB，CD上以相同的速度滑动，带动F，H在BD上滑动；两门关闭时如图③，此时，点E与点B重合，点G与点D重合，点F与点H重合；两门完全开启时如图④，此时，点F与点B重合，点H与点D重合；已知EF＝GH＝50厘米．(1)某天因轨道润滑问题，双开后门最大只能开启到图②的位置，测得∠EFB＝∠GHD＝66.4°，求此时车门打开的宽度，即线段FH的长度．(参考数据： sin 66.4°≈0.92，cos 66.4°≈0.40，tan 66.4°≈2.29)(2)在(1)的情况下，后门每分钟可下乘客12名，若后门完全开启时，可下乘客18名，出现轨道润滑问题时，公交车距离终点站还有12千米，离规定到站时间还有1小时，已知公交车的平均速度为20千米/时，则本次公交车要晚到多长时间？ 答案一、1.D　2.A　3.A　4.C5．C　6.C　7.B　8.C9．D　点拨：过点D作DE垂直于BC，交BC的延长线于点E，可得∠CED＝90°.∵∠ACB＝45°，∠ACD＝90°，∴∠DCE＝45°，∴∠CDE＝45°，∴DE＝CE.设DE＝CE＝x，则易得CD＝eq \r(2)x，在Rt△ACD中，∵∠ADC＝60°，∴tan∠ADC＝eq \r(3)＝eq \f(AC,CD)，∴AC＝eq \r(6)x，在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°，∴BC＝eq \r(3)x，∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝eq \f(DE,BE)＝eq \f(x,（1＋\r(3)）x)＝eq \f(\r(3)－1,2).10．A二、11.eq \r(2)　12.2 eq \r(10)　13．40　14.1215．(1，eq \r(3))　点拨：∵点B(0，eq \r(3))，∴OB＝eq \r(3)，连接ME.∵点B和点E关于直线OM对称，∴OB＝OE＝eq \r(3).∵点E是线段AO的中点，∴AE＝OE＝eq \r(3)，AO＝2OE＝2 eq \r(3).∵AB⊥OB，∴∠ABO＝90°.根据勾股定理得AB＝eq \r(AO2－OB2)＝eq \r(（2 \r(3)）2－（\r(3)）2)＝3，易知∠AEM＝90°，∴cos A＝eq \f(AE,AM)＝eq \f(AB,AO)，即eq \f(\r(3),AM)＝eq \f(3,2 \r(3))，解得AM＝2，∴BM＝AB－AM＝3－2＝1，∴易得点M的坐标是(1，eq \r(3))．三、16.解：(1)原式＝eq \f(1,4)＋eq \f(3,4)＋eq \f(\r(3),3)×eq \r(3)＝2.(2)原式＝1×eq \f(\r(2),2)－2×eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝0.17．解：(1)如图，作AH⊥BC于H.在Rt△ACH中，∵cos C＝eq \f(\r(2),2)＝eq \f(CH,AC)，AC＝eq \r(2)，∴CH＝1，∴AH＝eq \r(AC2－CH2)＝1.在Rt△ABH中，∵tan B＝eq \f(AH,BH)＝eq \f(1,5)，∴BH＝5，∴BC＝BH＋CH＝6.(2)∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.∵BC＝6，∴CD＝3，∴DH＝CD－CH＝2，∴AD＝eq \r(AH2＋DH2)＝eq \r(5).在Rt△ADH中，sin∠ADH＝eq \f(AH,AD)＝eq \f(\r(5),5).∴∠ADC的正弦值为eq \f(\r(5),5).18．解：由题意得∠AHC＝∠AHD＝90°，AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，∴四边形ABDH是矩形．∴AH＝BD.∵BD＝60 m，∴AH＝BD＝60 m，在Rt△AHD中，tan∠HAD＝eq \f(HD,AH).∵∠HAD＝15°，tan 15°≈0.27，∴HD＝tan∠HAD·AH≈0.27×60＝16.2(m)，在Rt△AHC中，tan∠CAH＝eq \f(HC,AH).∵∠CAH＝60°，∴HC＝eq \r(3)×AH＝60 eq \r(3)≈103.8(m)，∴DC＝HC＋HD≈103.8＋16.2＝120(m)．答：楼高DC约为120 m.19．解：如图，过点D作DH⊥AN于H，过点E作EF⊥DH于F，∴∠AHD＝∠DHN＝∠DFE＝∠EFH＝90°.易知四边形EFHN为矩形，∴EN＝FH，EF＝HN.∵坡面DE＝20米，山坡的坡度为1∶eq \r(3)，∴易得EF＝10米，DF＝10 eq \r(3)米，∴DH＝DF＋FH＝DF＋EN＝DF＋EC＋CN＝10 eq \r(3)＋10＋20＝10 eq \r(3)＋30(米)，在Rt△ADH中，∵∠ADH＝30°，∴AH＝DH×tan 30°＝(10＋10 eq \r(3))米，∴AN＝AH＋HN＝AH＋EF＝10＋10 eq \r(3)＋10＝20＋10 eq \r(3)(米)．∵∠BCN＝45°，∴易得CN＝BN＝20米，∴AB＝AN－BN＝10 eq \r(3)≈17(米)．答：条幅的长度约是17米．20．解：(1)5.00 m(2)由题意可得，四边形ADEB，四边形BEFC，四边形ADFC都是矩形，∴ED＝BA＝5.00 m，FD＝AC＝12.50 m，AD＝BE＝CF，∴EF＝CB＝12.50－5.00＝7.50(m)．设AD＝x m，则BE＝CF＝x m.在Rt△BEG中，∠BEG＝90°，tan ∠GBE＝eq \f(GE,BE).∵∠GBE＝44.83°，∴GE＝tan 44.83°x≈0.99x(m)．在Rt△CFG中，∠CFG＝90°，tan ∠GCF＝eq \f(GF,CF).∵∠GCF＝40.03°，∴GF＝tan 40.03°x≈0.84x(m)．∵EF＝GE－GF，∴0.99x－0.84x≈7.50，∴x≈50，∴GD＝GE＋ED≈0.99×50＋5.00＝54.5(m)．答：舍利塔的高度GD约为54.5 m.(3)(答案不唯一)还需要补充计算过程．21．(1)证明：如图①，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，AD＝c sin B，在Rt△ACD中，AD＝b sin C，∴c sin B＝b sin C，∴eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C) .(2)解：如图②，过点A作AE⊥BC于点E.∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，∴∠C＝60°.在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 60°＝80×eq \f(\r(3),2)＝40 eq \r(3)(m)．又∵eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin ∠BAC)，∴BC＝eq \f(AC·sin∠BAC,sinB)≈eq \f(80×0.9,0.8)＝90(m)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AE≈eq \f(1,2)×90×40 eq \r(3)＝1 800 eq \r(3)(m2)．22．解：(1)csin B；ccos B(2)a2＋c2－2ac·cos B(3)如图，延长BC，AD交于点E.∵∠B＝90°，∠BAD＝60°，∴∠E＝30°.∵AB＝4，∴AE＝2AB＝8.∵AD＝5，∴DE＝3.∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴易得CE＝2 eq \r(3).∴AC2＝CE2＋AE2－2CE·AE·cos 30°＝12＋64－2×2 eq \r(3)×8×eq \f(\r(3),2)＝28.∴AC＝2 eq \r(7).23．解：(1)由题意得BD＝EF＋GH＝50＋50＝100(厘米)．∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°.在Rt△EBF中，∠B＝90°，∠EFB＝66.4°，EF＝50厘米．∵cos∠EFB＝eq \f(BF,EF)，∴BF＝EF·cos∠EFB＝50×cos 66.4°≈50×0.40＝20(厘米)．同理可得DH≈20厘米，∴FH＝BD－BF－DH≈100－20－20＝60(厘米)．答：线段FH的长度约为60厘米．(2)设本次公交车要晚到x分钟，由题意得12×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(60×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(12,20)))＋x))＝18×60×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(12,20)))，解得x＝12.答：本次公交车要晚到12分钟．课题测量舍利塔的高度成员组长：小明　　　　　　　　组员：小亮测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量示意图说明：线段GD表示舍利塔塔高，HA表示文峰塔塔高，线段CA表示小明在文峰塔中四层东窗口处测仰角时测角仪相对地面的高度，线段BA表示小亮在文峰塔中二层东窗口处测仰角时测角仪相对地面的高度，线段GD，HA都垂直于地面AD，点E，F都在线段GD上，且CF∥BE∥AD测量数据测量项目第一次第二次平均值小明测得仰角∠GCF的度数40.01°40.05°40.03°小亮测得仰角∠GBE的度数44.84°44.82°44.83°CA12.48 m12.52 m12.50 mBA4.97 m5.03 m……